1、单元形成性评价(三)(第11章)(120分钟 150分)一、单选题(每小题 5 分，共 40 分)1在ABC 中，A60，B75，a10，则 c 等于()A5 2 B10 2 C10 63 D5 6【解析】选 C.因为 A60，B75，所以 C180AB45，所以由正弦定理知 ca sin Csin A10sin 45sin 6010 63.2ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a 5，c2，cos A23，则 b()A 2 B 3 C2 D3【解析】选 D.由余弦定理得 4b222b cos A5，整理得 3b28b30，解得 b3 或 b13(舍).3在ABC 中，
2、A60，a 13，则abcsin Asin Bsin C()A8 33 B2 393 C26 33 D2 3【解析】选 B.由正弦定理和比例的性质可得abcsin Asin Bsin C asin A 13sin 60 2 393.4在ABC 中，若AB AC 2 且BAC30，则ABC 的面积为()A 3 B2 3 C 33 D2 33【解析】选 C.由已知得AB AC|AB|AC|cos 302，所以|AB|AC|43，SABC12|AB|AC|sin 3012 43 12 33.5在ABC 中，D 是边 BC 上一点，若 ADAC，sin BAC2 23，AD3，AB3 2，BD()A
3、3 B2 C2 3 D3【解析】选 A.画出图象如图所示由诱导公式得 sin BACsin BAD2cos BAD2 23，在三角形 ABD 中，由余弦定理得 BD（3 2）23223 232 23 3.6在ABC 中，已知 a2，则 b cos Cc cos B 等于()A2 B 2 C1 D4【解析】选 A.由余弦定理得 b cos Cc cos Bba2b2c22abca2c2b22ac2a22a a2.7ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b cos A(2ca)cos B，c2，a1，则ABC 的面积是()A12 B 32 C1 D 3【解析】选 B.ABC
4、的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b cos A(2ca)cos B，利用正弦定理得 sin B cos A2sin C cos Bsin A cos B，整理得：sin(AB)sin C2sin C cos B，由于 sin C0，所以 cos B12，由于 0B，则 B3.由于 c2，a1，则 SABC12 ac sin B12 21 32 32.【加固训练】设 a，b，c 分别是ABC 的内角 A，B，C 的对边，已知(bc)sin(AC)(ac)(sin Asin C)，则 A 的大小为()A6 B3 C23 D56【解析】选 C.因为 ABC，所以 sin(AC)s
5、in B，所以已知等式可化为(bc)sin B(ac)(sin Asin C)，所以由正弦定理可得：(bc)b(ac)(ac)，整理可得：b2c2a2bc，所以由余弦定理可得：cos A12，由 A(0，)，可得 A23.8一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱 OA，为了测量喷水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的 D 处测得喷水柱顶端的仰角为 45，沿 D 向北偏东 30方向前进100 m 后到达 C 处，在 C 处测得喷水柱顶端的仰角为 30，则喷水柱的高度是()A50 m B100 m C120 m D150 m【解析】选 A.如图所示，AO平面 OCD，CD100 m，ACO30，ADO4
6、5，ODC60.设 OAh，在 RtOAD 中，ODh，同理可得：OC 3 h，在OCD 中，OC2OD2CD22ODCDcos 60，所以(3 h)2h210022h10012，化为：h250h5 0000，解得 h50，因此喷水柱的高度是 50 m 【加固训练】从高出海平面 h 米的小岛看到正东方向有一只船俯角为 30，南偏西 60方向有一只船俯角为 45，则此时两船间的距离为()A2h 米 B 3 h 米C 7 h 米D2 2 h 米【解析】选 C.根据题意作出图形(如图)，AB平面 BCD，ABh，ACB45，ADB30，CBD150，所以 BCh，BD 3 h，所以 CDh23h22
7、h 3hcos150 7 h 米二、多选题(每小题 5 分，共 20 分，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分)9三角形有一个角是 60，相邻两边长分别为 8 和 5，则下列结论正确的是()A三角形另一边长为 7B三角形周长为 20C三角形内切圆周长为 3D三角形外接圆面积为493【解析】选 ABD.根据余弦定理可得 8252285cos 6049，即另一边长为 7，故该三角形周长为 20，故 A，B 正确；设内切圆半径为 r，则12(875)r12 85sin 60，解得 r 3，故内切圆周长为 2r2 3，C 不正确；设外接圆半径为 R，则 2R7sin 60，
8、解得 R7 33，其面积为 R2493.10若ABC 为钝角三角形，且 a2，b3，则边 c 的长可能为()A2 B3 C 10 D4【解析】选 AD.由三角形的边长能构成三角形，有 1c5，又 ab，所以在ABC 中钝角可能为角 B 或角 C.则 cos B4c2922c0 或 cos C49c22230，所以 4c290 或 49c20，解得 1c 5 或 13 c5，所以选项 A，D 满足【光速解题】本题直接求解略显复杂，可以直接利用余弦定理验证即可本题 A 选项较易验证 cos B44922218 0，故最大角 C 为锐角，从而ABC 为锐角三角形，故此选项不符合题意；D 选项不需要验
9、证即可判断(多选题至少有两项满足，则 D 项必定成立).11已知ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 A60，b2，c 31，则下列说法正确的是()AC75或 C105BB45Ca 6D该三角形面积为312【解析】选 BC.由余弦定理得 a2b2c22bc cos A442 3 22(3 1)126，所以 a 6.由正弦定理asin A bsin B，所以 sin Bb sin Aa2 326 22，由于 0B120，所以 B45，C180AB75.ABC 的面积 S12 bc sin A12 2(3 1)323 32.12已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，
10、B，C 的对边，C45，c 2，ax，若满足条件的三角形有两个，则 x 的值可能为()A1 B1.5 C1.8 D2【解析】选 BC.在ABC 中，由C45，c 2，ax，则 a sin Cx sin 45 22x，要使得三角形有两个，则满足 22xcx，即 22x 2 x，解得 2 x2，即 x 的取值范围是2，2，结合选项 BC 正确三、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13在ABC 中，a3 2，b2 3，cos C13，则ABC 的面积为_【解析】因为 cos C13，0C，所以 sin C2 23.所以 SABC12 ab sin C12 3 22 3 2 234 3.答案：4
11、314在ABC 中，已知 a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，若 b2a，BA60，则 A_【解析】因为 b2a，所以 sin B2sin A，又因为 BA60，所以 sin(A60)2sin A，即 sin A cos 60cos A sin 602sin A，化简得：sin A 33cos A，所以 tan A 33，又 0A180，所以 A30.答案：30 【加固训练】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a 7，b2，A60，则sin B_，c_.【解析】由正弦定理asin A bsin B 得7sin 60 2sin B，得 sin B 217.由余弦
12、定理得cos Ab2c2a22bc4c274c12，解得 c3(负值舍去).答案：217 315.(2019浙江高考)在ABC 中，ABC90，AB4，BC3，点 D 在线段 AC 上，若BDC45，则 BD_，cos ABD_.【解析】在ABD 中，由正弦定理有：ABsin ADB BDsin BAC，而 AB4，ADB34，ACAB2BC2 5，sin BACBCAC 35，cos BACABAC 45，所以 BD12 25.cos ABDcos(BDCBAC)cos 4cos BACsin 4 sin BAC7 210.答案：12 25 7 21016如图，一位同学从 P1 处观测塔顶
13、B 及旗杆顶 A 的仰角分别为 和 90.后退l(单位：m)至点 P2 处再观测塔顶 B，仰角变为原来的一半，设塔 CB 和旗杆 BA 都垂直于地面，且 C，P1，P2 三点在同一条水平线上，则塔 CB 的高为_m；旗杆 BA的高为_m.(用含有 l 和 的式子表示)【解析】设 BCx m，在 RtBCP1 中，BP1C，在 RtP2BC 中，P22，因为BP1CP1BP2P2，所以P1BP22，即P1BP2 为等腰三角形，P1BP1P2l，所以 BCxl sin.在 RtACP1 中，ACCP1 ACl cos tan(90)，所以 ACl cos2sin，则 ABACBCl cos2sin
14、l sin l（cos2sin2）sinl cos 2sin.答案：l sin l cos 2sin 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(10 分)(2019天津高考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bc2a，3c sin B4a sin C.(1)求 cos B 的值(2)求 sin 2B6的值【解析】(1)在ABC 中，由正弦定理 bsin B csin C，得 b sin Cc sin B，又由3c sin B4a sin C，得 3b sin C4a sin C，因为 sin C0，所以 3
15、b4a.又因为 bc2a，得到 b43 a，c23 a.由余弦定理可得 cos Ba2c2b22aca249a2169 a22a23a14.(2)由(1)可得 sin B1cos2B 154，sin2B2sin B cos B 158，cos 2Bcos2Bsin2B78，故 sin2B6sin 2B cos 6 cos 2B sin 6 158 3278 12 3 5716.18(12 分)在ABC 中，求证：cos 2Aa2cos 2Bb21a2 1b2.【证明】左边12sin2Aa212sin2Bb21a2 1b22sin2Aa2 sin2Bb2右边所以原式成立19(12 分)在ABC
16、中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 cb sin Ab cos A.(1)求 B 的大小(2)若角 A 的平分线与 BC 相交于 D 点，ADAC，BD2，求 CD 的长【解析】(1)因为 cb sin Ab cos A，所以 sin Csin B sin Asin B cos Asin(AB)，所以 sin B sin Asin B cos Asin A cos Bcos A sin B，所以 sin B sin Asin A cos B，又 sin A0，所以 sin Bcos B，所以 tan B1，所以 B45.(2)由 ADAC 得ACDADC，设BADDAC，AC
17、DADC，所以452180218030，75，所以ABsin 105 ADsin 45 2sin 30 AB 6 2，AD2 2，所以 AC2 2，所以 CD28828 324(3 1)2，所以 CD2(3 1).20(12 分)已知菱形 ABCD 的边长为 2，DAB60.E 是边 BC 上一点，线段 DE交 AC 于点 F.(1)若CDE 的面积为 32，求 DE 的长(2)若 7 CF4DF，求 sin DFC.【解析】(1)依题意，得BCDDAB60.因为CDE 的面积 S12 CDCEsin BCD 32，所以12 2CE 32 32，解得 CE1.在CDE 中，由余弦定理得 DEC
18、D2CE22CDCE cos BCD 221222112 3.(2)方法一：连接 BD，依题意，得ACD30，BDC60，设CDE，则 060.在CDF 中，由正弦定理得 CFsin DFsin ACD，因为 7 CF4DF，所以 sin CF2DF 27，所以 cos 37，所以 sin DFCsin(30)12 37 32 27 3 2114.方法二：连接 BD，依题意，得ACD30，BDC60，设CDE，则 060，设 CF4x，因为 7 CF4DF，则 DF 7 x，在CDF 中，由余弦定理，得 DF2CD2CF22CDCF cos ACD，即 7x2416x28 3 x，解得 x2
19、39，或 x2 33.又因为 CF12 AC 3，所以 x 34，所以 x2 39，所以 DF2 219，在CDF 中，由正弦定理得CDsin DFC DFsin ACD，所以 sin DFC2sin 302 2193 2114.21(12 分)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 3cos(BC)16cos B cos C(1)求 cos A.(2)若 a3，ABC 的面积为 2 2，求 b，c.【解析】(1)因为 3(cos B cos Csin B sin C)16cos B cos C，所以 3cos B cos C3sin B sin C1，所以 3cos(B
20、C)1，所以 cos(A)13，所以 cos A13.(2)由(1)得 sin A2 23，由面积公式12 bc sin A2 2 可得 bc6，根据余弦定理得cos Ab2c2a22bcb2c291213，则 b2c213，两式联立可得 b2，c3 或 b3，c2.22.(12 分)如图，观测站 C 在目标 A 的南偏西 20方向，经过 A 处有一条南偏东 40走向的公路，在 C 处观测到与 C 相距 31 km 的 B 处有一人正沿此公路向 A 处行走，走 20 km 到达 D 处，此时测得 C，D 相距 21 km，求 D，A 之间的距离【解析】由已知，得 CD21 km，BC31 km
21、，BD20 km.在BCD 中，由余弦定理，得 cos BDCCD2BD2BC22CDBD17.设ADC，则 cos 17，sin 4 37.在ACD 中，由正弦定理得ADsin ACD CDsin CAD，得ADsin（60）21sin 60，所以 AD423 sin(60)423 32 cos 12sin 15(km)，即所求的距离为 15 km.【拓展延伸】解三角形应用题常见的情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解
