1、教学设计13 三角函数的诱导公式教学分析本节主要是推导诱导公式二、三、四，并利用它们解决一些求解、化简、证明问题本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续，又是后继学习内容的基础，它们与公式一组成的六组诱导公式，用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末，这一典型的数学思想，无论在本节中的分析导入，还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，均清晰地得到体现，在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别是在本课时的三个转化问题引入后，为什么确定180角为第一研究对象
2、，角为第二研究对象，正是化归思想的运用公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90的非负角，但是在推导中却把拓广为任意角，这一思维上的转折使学生难以理解，甚至会导致对其必要性的怀疑，因此它成为本课时的难点所在课本例题实际上是诱导公式的综合运用，难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角学生第一次接触到此题型，思维上有困难，要多加引导分析，另外，诱导公式中角度制亦可转化为弧度制，但必须注意同一个公式中只能采取一种制度，因此要加强角度制与弧度制的转化的练习三维目标1通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转
3、化及分类讨论的思想2通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用3进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力重点难点教学重点：五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等教学难点：六组诱导公式的灵活运用课时安排2课时第1课时导入新课思路1.利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值复习诱导公式一及其用途思路2.在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0到360(0到
4、2)内的角的三角函数值；求锐角三角函数值，我们可以通过查表求得；对于90到360(到2)范围内的角的三角函数怎样求解，能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解，这一节就来探讨这个问题推进新课由公式一把任意角转化为0，360)内的角后，如何进一步求出它的三角函数值？活动：在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得，特殊角的三角函数值学生记住了，对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得教师可组织学生思考讨论如下问题：0到90的角的正弦值、余弦值用何法可以求得？90到360的角能否与锐角相联系？通过分析与的联系，引导学生得出解决设问的一种思路：若能把求90，3
5、60)内的角的三角函数值，转化为求有关锐角的三角函数值，则问题将得到解决，适时提出，这一思想就是数学的化归思想，教师可借此向学生介绍化归思想讨论结果：通过分析，归纳得出：如图1.图1锐角的终边与180角的终边位置关系如何？它们与单位圆的交点的位置关系如何？任意角与180呢？活动：分为锐角和任意角作图分析：如图2.图2引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论探究角的关系无论为锐角还是任意角，180的终边都是的终边的反向延长线，所以先选择180为研究对象利用图形还可以直观地解决问题，角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P1(x，y)和P2(x，y)指导学生利用单位圆
6、及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式二：sin(180)sin，cos(180)cos.并指导学生写出角为弧度时的关系式：sin()sin，cos()cos，tan()tan.引导学生观察公式的特点，明了各个公式的作用讨论结果：锐角的终边与180角的终边互为反向延长线它们与单位圆的交点关于原点对称任意角与180角的终边与单位圆的交点关于原点对称有了以上公式，我们下一步的研究对象是什么？角的终边与角的终边位置关系如何？活动：让学生在单位圆中讨论与的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考：任意角和的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标探索、概括、对照公式二的推导过程
7、，由学生自己完成公式三的推导，即sin()sin，cos()cos，tan()tan.教师点拨学生注意：无论是锐角还是任意角，公式均成立，并进一步引导学生观察分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值讨论结果：根据分析下一步的研究对象是的正弦和余弦及正切角的终边与角的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数下一步的研究对象是什么？角的终边与角的终边位置关系如何？活动：讨论与的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考：任意角和的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标探索、概括、对照公式二、三的推导过
8、程，由学生自己完成公式四的推导，即sin()sin，cos()cos，tan()tan.强调无论是锐角还是任意角，公式均成立引导学生观察分析公式三的特点，得出公式四的用途：可将求角的三角函数值转化为求角的三角函数值让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆我们可以用下面一段话来概括公式一四：k2(kZ)，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”点拨、引导学生注意公式中的是任意角讨论结果：根据分析下一步的研究对象是的三角函数；角的终边与角的终边关于y轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数思
9、路1例1利用公式求下列三角函数值：(1)cos225；(2)sin；(3)sin()；(4)cos(2 040)活动：这是直接运用公式的题目类型，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到熟练、正确地应用让学生观察题目中的角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题解：(1)cos225cos(18045)cos45；(2)sinsin(4)sin；(3)sin()sinsin(5)(sin)；(4)cos(2 040)cos2 040cos(6360120)cos120cos(18060)cos60.点评：利用公式一四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：上述步骤体
10、现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.变式训练利用公式求下列三角函数值：(1)cos(51015)；(2)sin()解：(1)cos(51015)cos51015cos(36015015)cos15015cos(1802945)cos29450.868 2；(2)sin()sin(32)sin.例2cos330等于( )A. BC. D答案：C变式训练化简：.解：1.例3化简cos315sin(30)sin225cos480.活动：这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数，再求值、合并、约分解：cos315sin(30)sin
11、225cos480cos(36045)sin30sin(18045)cos(360120)cos(45)sin45cos120cos45cos(18060)cos601.点评：利用诱导公式化简，是进行角的转化，最终达到统一角或求值的目的.变式训练求证：tan.分析：利用诱导公式化简较繁的一边，使之等于另一边证明：左边tan右边所以原式成立规律总结：证明恒等式，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简.课本本节练习13.解答：1.(1)cos；(2)sin1；(3)sin；(4)cos706.点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数2(1)；(2)；(3)0.642 8；(4).点评：先利用诱
12、导公式转化为锐角三角函数，再求值3(1)sin2cos；(2)sin4.点评：先利用诱导公式变形为角的三角函数，再进一步化简本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式，这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的，为了记牢公式，我们总结了“函数名不变，符号看象限”的简便记法，同学们要正确理解这句话的含义，不过更重要的还是应用，我们要多加练习，切实掌握由未知向已知转化的化归思想课本习题1.3 A组2、3、4.一、有关角的终边的对称性(1)角的终边与角的终边关于原点对称(2)角的终边与角的终边关于x轴对称(3)角的终边与角的终边关于y轴对称二、三角函数的诱导公式应注意
13、的问题(1)k2(kZ)，的三角函数值等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数的符号；可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限”(2)公式中的是任意角(3)利用诱导公式一、二、三、四，可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值基本步骤是：任意负角的三角函数相应的正角的三角函数0到2角的三角函数锐角的三角函数三角函数即负化正，大化小，化为锐角再查表第2课时导入新课上一节课我们研究了诱导公式二、三、四现在请同学们回忆一下相应的公式提问多名学生上黑板默写公式在此基础上，我们今天继续探究别的诱导公式，揭示课题推进新课终边与角的终边关于直线yx对称的角有何数量关系？活动：我们借助单位圆探究终边
14、与角的终边关于直线yx对称的角的数量关系教师充分让学生探究，启发学生借助单位圆，点拨学生从终边关于直线yx对称的两个角之间的数量关系，关于直线yx对称的两个点的坐标之间的关系进行引导讨论结果：如图3，设任意角的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，由于角的终边与角的终边关于直线yx对称，角的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线yx对称，因此点P2的坐标是(y，x)，于是，我们有图3siny，cosx，cos()y，sin()x.从而得到公式五：cos()sin，sin()cos.能否用已有公式得出的正弦、余弦与的正弦、余弦之间的关系式？活动：教师点拨学生将转化为()，从而利用公式四和公式
15、五达到我们的目的因为可以转化为()，所以求角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导公式六讨论结果：公式六sin()cos，cos()sin.你能概括一下公式五、六吗？活动：结合上一节课研究公式一四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括讨论结果：的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号进一步可以简记为：函数名改变，符号看象限利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化公式一六都叫做诱导公式学了六组诱导公式后，能否进一步归纳概括诱导公式，怎样概括？
16、讨论结果：诱导公式一四，函数名称不改变，这些公式左边的角分别是2k(kZ)，(可看作0)其中2k，0是横坐标轴上的角，因此，上述公式可归结为横坐标轴上的角，函数名称不改变而公式五、六及上面的例1，这些公式左边的角分别是，.其中，是纵坐标轴上的角，因此这些公式可归结为纵坐标上的角，函数名称要改变两类诱导公式的符号的考查是一致的，故而所有的诱导公式可用十个字来概括：纵变横不变，符号看象限教师指点学习方法：如果我们孤立地记忆这么多诱导公式，那么我们的学习将十分苦累，且效率低下学习过程中，能挖掘各个公式的本质特征，寻求它们之间的共性，那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了因此，要求大家多做这方面的工作
17、，以后数学的学习就不再是枯燥乏味的了思路1例1证明(1)sin()cos；(2)cos()sin.活动：直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题证明：(1)sin()sin()sin()cos；(2)cos()cos()cos()sin.点评：由公式五及六推得的三角函数值与角的三角函数值之间的关系，从而进一步可以推广到(kZ)的情形本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用例2化简.活动：仔细观察题目中的角，哪些是可以利用公式二四的，哪些是可以利用公式五、六的认真应用诱导公式，达到化简的目的解：原式tan.思路2例1(1)已知f(cosx)cos17x，求证：f(sinx)
18、sin17x；(2)对于怎样的整数n，才能由f(sinx)sinnx推出f(cosx)cosnx?活动：对诱导公式的应用需要较多的思维空间，善于观察题目特点，要灵活变形观察本例条件与结论在结构上类似，差别在于一个含余弦，一个含正弦，注意到正弦、余弦转化可借助sinxcos(x)或cosxsin(x)要善于观察条件和结论的结构特征，找出它们的共性与差异；要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转化证明：(1)f(sinx)fcos(x)cos17(x)cos(817x)cos(17x)sin17x，即f(sinx)sin17x.(2)f(cosx)fsin(x)sinn(x)sin(
19、nx)故所求的整数n4k1(kZ)点评：正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.变式训练已知cos()m(m1)，求sin()的值解：()，()sin()sin()cos()m.点评：(1)当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来(2)化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法.例2已知sin是方程5x27x60的根，且为第三象限角，求的值活动：教师引导学生先确定sin的值再化简待求式，从而架起已知与未知的桥梁解：5x27x60的两根x2或x，1x1，sin.又为第三象限角，cos.tan.原式tan.点评：综合运用相关知识解决综合问题.变式训练若函数
20、f(n)sin(nZ)，则f(1)f(2)f(3)f(102)_.解析：sinsin(2)sin，f(n)f(n12)从而有f(1)f(2)f(3)f(12)0，f(1)f(2)f(3)f(102)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)(6)2.答案：2例3已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，其中a，b，都是非零实数，又知f(2 003)1，求f(2 004)的值活动：寻求f(2 003)1与f(2 004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题的关键和要害解：f(2 003)asin(2 003)bcos(2 003)asin(2 002)bcos(2 002)asin()bcos
21、()asinbcos(asinbcos)，f(2 003)1，asinbcos1.f(2 004)asin(2 004)bcos(2 004)asinbcos1.点评：解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用解答本题的关键和要害就是求得式子asinbcos1，它是联系已知和未知的纽带课本练习47.4.sincos5(1)tan；(2)tan7939；(3)tan；(4)tan3528.6(1)；(2)；(3)0.211 6；(4)0.758 7；(5)；(6)0.647 5.7(1)sin2；(2)cos2.本节课同学们自己导出
22、了公式五、公式六，完成了教材中诱导公式的学习任务，为求任意角的三角函数值“铺平了道路”公式一至六可用一句话“纵变横不变，符号看象限”来记忆，简单方便，不会遗忘利用这些公式，可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，为求值带来很大的方便，这种转化的思想方法，是我们经常用到的一种策略，要细心去体会、去把握利用这些公式，还可以化简三角函数式，证明简单的三角恒等式，我们要多练习，在应用中达到熟练掌握的程度1课本习题1.3 B组2.2求值：sin21sin22sin23sin288sin289.答案：44.5.1本节设计指导思想是：在教师引导下放手让学生自主探究因为公式多，学生容易记混，所以在学生的主动探
23、究中明了公式的来龙去脉，在应用公式解决问题中灵活熟练掌握公式通过学生的自主探究、推导公式，培养学生独立思考、知难而上的科学态度，更进一步地体会数学的奇特美、对称美激发学生强烈的探究欲望，培养学生会学习的良好品质2用口诀记忆公式：，2k的三角函数公式为：“函数名不变，符号看象限”，的三角函数公式为：“函数名改变，符号看象限”其中看成锐角3用类比的方法学习本节课的基础知识，用化归的数学思想指导三角函数的求值、化简与证明一、错解点击是否存在角，(，)，(0，)，使得等式sin(3)cos()，cos()cos()同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由错解：将已知条件化为22得sin23(
24、1sin2)2，即sin2，sin.，或.(1)当时，由，得cos，0，；(2)当时，由，得cos，0，.故存在，或，使得两个等式同时成立点评：若将所求得的，的两组值分别代入式会发现，当，时，式不成立，造成这种错误的原因是：我们对进行平方时，扩大了角与的取值范围事实上，由式可知sin与sin须同号，由式可知cos与cos须同号，而我们在平方消元(角)时，将式平方后，sin与sin可异号，而这是不允许的因此，我们在对三角函数式进行非等价变形时，要注意检验其是否满足题设条件本题只存在一组值，符合题意本题如果改变角的范围为0，则本题有两解：，或，.二、备用习题1在ABC中，下列等式一定成立的是( )Asincos Bsin(2A2B)cos2CCsin(AB)sinC Dsin(AB)sinC答案：D2如果f(sinx)cosx，那么f(cosx)等于( )Asinx Bcosx Csinx Dcosx答案：A3计算下列各式的值：(1)sin(1 200)cos(1 290)cos(1 020)sin(1 050)tan945；(2)tan(27)tan(49)tan(63)tan(139)答案：(1)2；(2)1.4化简：.答案：tan.
