1、1.1.2 空间向量基本定理课标解读课标要求素养要求1.了解共面向量定理以及空间向量基本定理，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.2.了解空间向量的基底、基向量及向量的线性组合的概念，并能应用其解决有关问题.1.数学抽象能理解共线向量基本定理、共面向量定理以及空间向量基本定理.2.逻辑推理能运用空间向量基本定理和共面向量定理证明空间向量共线和共面问题.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一共面向量定理1.共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在 唯一的实数对(x,y)，使c= xa+yb .2.判断空间中四点共面的方法由共面向量定理还可得到判断空间中四点
2、是否共面的方法:如果A，B，C三点 不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x,y)，使AP=xAB+yAC .要点二空间向量基本定理1.空间向量基本定理（1）空间向量基本定理如果空间中的三个向量a，b，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc .（2）线性组合空间向量基本定理中,p用a，b，c表示的表达式p=xa+yb+zc唯一 .特别地，当a，b，c不共面时，可知xa+yb+zc=0x=y=z=0 .表达式xa+yb+zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式.2.基底空间中不共面的三个向量a，b，c组
3、成的集合a,b,c，常称为空间向量的一组基底.此时，a，b，c都称为 基向量；如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底a,b,c下的 分解式 .自主思考1.为何要规定向量a，b不共线?答案：提示若向量a，b共线，则对于任意的向量c，向量a，b，c都共面.2.如何由共面向量定理得到判断空间中四点共面的方法?答案：提示若四点中的任意三点不共线，连接任意两点的有向线段表示的向量，其中一个都可以用另外两个线性表示，则四点共面.3.若空间中的三个向量a，b，c不共面，且AB=xa+yb+zc=2a-3b+c，则x，y，z的值分别是什么?答案：提示x=2，y=-3，z=1 .4.给出空间中
4、的三个向量a，b，c，空间中的任意一个向量都可以用这三个向量来表示吗?答案：提示只有这三个向量不共面时才可以.5.空间向量的基底唯一吗?答案：提示不唯一，只要是不共面的三个向量都可以作为空间向量的一组基底. 名师点睛对基底的三点说明（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一组基底；（2）基底中的三个向量不共面；（3）一组基底是由三个不共面的向量构成，一个基向量是指基底中的某一个向量.互动探究关键能力探究点一空间向量的共面问题精讲精练例（1）（2021山东枣庄八中高二检测）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，都有OM=xOA+13OB+13OC，则x的值是( )A.1B.0
5、C.3D.13（2）对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，如图，则EF与BC，AD是否共面？若共面，请证明；若不共面，请说明理由.答案：（1）D解析：（1）因为OM=xOA+13OB+13OC，且M，A，B，C四点共面，所以x+13+13=1，解得x=13，故选D答案：（2）EF与BC，AD共面.证明如下：在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，则EF=EA+AD+DF，EF=EB+BC+CF，又E，F分别是AB，CD的中点，则EA=-EB，DF=-CF，将代入中，再将两式相加得2EF=AD+BC，所以EF=12AD+12BC，即EF与BC，AD共面.解题感悟
6、证明空间向量共面或四点共面的方法（1）向量共面：充分利用题干条件将其中一个向量表示成另两个向量的线性组合，即若p=xa+yb，则向量p，a，b共面.（2）四点共面：若存在唯一的有序实数组(x,y,z)使得对于空间任一点O和不共线的A，B，C三点，有OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1成立，则P，A，B，C四点共面.迁移应用1.（多选）若a，b，c不共面，则( )A.b+c，b-c，a共面B.b+c，b-c，2b共面C.b+c，a，a+b+c共面D.a+c，a-2c，c共面答案：B ; C ; D解析：2b=(b+c)+(b-c)，b+c，b-c，2b共面，故B正确；a+b+c=(b+
7、c)+a，b+c，a，a+b+c共面，故C正确；a+c=(a-2c)+3c，a+c，a-2c，c共面，故D正确；对于A选项，若设b+c=（b-c）+a，则b+c=b-c+a，解得=1,-=1,=0,无解，因此b+c，b-c，a不共面，故A不正确.2.（多选）已知点P为三棱锥O-ABC的底面ABC所在平面内的一点，且OP=12OA+mOB-nOC(m，nR)，则m，n的值可能为( )A.1，12 B.12，1C.-12，-1D.32，1答案：A ; C解析：OP=12OA+mOB-nOC(m，nR)，且P，A，B，C共面，12+m-n=1m-n=12，m=1，n=12和m=-12，n=-1符合.
8、探究点二空间向量基本定理精讲精练例（1）已知a,b,c是空间向量的一组基底，则可以与向量p=a+b，q=a-b构成基底的向量是( )A.a B.b C.a+2b D.a+2c（2）（2020山东青岛二中期末）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，A1M=2MC，AM=xAB+yAD+zAA1则实数x，y，z的值分别为( )A.13，23，23 B.23，13，23C.23，23，13 D.23，12，23答案：（1）D（2）C解析：（1）易知只有a+2c与p，q不共面，故可以与p，q构成一组基底A1M=2MC，A1M=23A1C，A1C=AC-AA1=(AB+AD)-AA1，A1M=23A
9、1C=23AB+23AD-23AA1AM=AA1+A1M=23AB+23AD+13AA1，x=23，y=23，z=13解题感悟用基底表示向量的步骤（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基底.（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果（3）下结论：利用空间向量的一组基底a，b，c可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量迁移应用1.（2020河南鹤壁一中高二检测）在四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，P是MN的三
10、等分点（靠近点N），若OA=a，OB=b，OC=c，则OP= ( )A.13a+16b+16c B.16a+13b+13cC.12a+16b+13c D.16a+12b+13c答案：B解析：如图所示：OP=OM+MP=OM+23MN=12OA+23(ON-OM)=12OA+23(12OB+12OC-12OA)=16OA+13OB+13OC=16a+13b+13c2.设a，b，c是三个不共面的向量，现在从a+b；a-b；a+c；b+c；a+b+c中选出可以与a，b构成空间向量的一组基底的向量，则所有可以选择的向量为（填序号）.答案：解析：构成基底只要三个向量不共面即可，这里只要含有向量c即可，故
11、都可以选择.探究点三空间向量基本定理的应用精讲精练例已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60 .（1）求AD1A1B；（2）求AC1的模答案：（1）如图，令AB=a，AD=b，AA1=c，a,b,c为一组基底AD1=b+c，A1B=AB-AA1=a-c，AD1A1B=(b+c)(a-c)=ab+ac-bc-c2=11cos60+11cos60-11cos60-1=12-1=-12 .（2）AC1=a+b+c，|AC1|2=AC12=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1+1+1+2(cos60+cos60+c
12、os60)=6，|AC1|=6 .变式本例的条件不变，求向量AC1与AA1的夹角的余弦值.答案：AA1AC1=AA1(AB+AD+AA1)=AA1AB+AA1AA1=2，所以向量AC1与AA1的夹角的余弦值为AA1AC1|AA1|AC1|=26=63 .解题感悟利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧根据条件确定基底，一般用已知的向量（向量的长度已知，夹角已知等）作为一组基底，用基底表示要求的向量，可证平行、垂直可求两向量的数量积、夹角，可求向量的长度迁移应用1.（多选）（2021山东德州一中高二月考）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A
13、为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，则下列说法中正确的是( )A.(AA1+AB+AD)2=2AC2B.AC1(AB-AD)=0C.向量B1C与AA1的夹角是60D.BD1与AC的夹角的余弦值为63答案：A ; B解析：由题意可设棱长为1，则AA1AB=AA1AD=ADAB=11cos60=12 .(AA1+AB+AD)2=AA12+AB2+AD2+2AA1AB+2ABAD+2AA1AD=1+1+1+3212=62AC2=2(AB+AD)2=2(AB2+AD2+2ABAD)=2(1+1+212)=23=6，所以A中说法正确；AC1(AB-AD)=(AA1+AB+AD)(AB-AD
14、)=AA1AB-AA1AD+AB2-ABAD+ADAB-AD2=0，所以B中说法正确；易知向量B1CA1D，显然AA1D为等边三角形，所以AA1D=60，所以向量A1D与AA1的夹角是120,所以向量B1C与AA1的夹角是120,所以C中说法不正确；BD1=AD+AA1-AB,AC=AB+AD，则|BD1|=(AD+AA1-AB)2=2，|AC|=(AB+AD)2=3，BD1AC=(AD+AA1-AB)(AB+AD)=1，所以cos=BD1AC|BD1|AC|=123=66，所以D中说法不正确.评价检测素养提升1.（多选）已知A，B，C，D，E是空间中的五点，若AB，AC，AD与AB，AC，A
15、E均不能构成空间向量的一组基底，则下列结论正确的是( )A.AB，AD，AE不能构成空间向量的一组基底B.AC，AD，AE不能构成空间向量的一组基底C.BC，CD，DE不能构成空间向量的一组基底D.AB，CD，EA能构成空间向量的一组基底答案：A ; B ; C2.在下列条件中，使点M与A，B，C三点一定共面的是( )A.OM=OA-OB-OCB.OM=15OA+13OB+12OCC.MA+MB+MC=0D.OM+OA+OB+OC=0答案：C3.已知在四面体ABCD中，AB=a-2c，CD=5a+6b-8c，AC，BD的中点分别为点E，F，则EF= .（用a，b，c表示）答案：3a+3b-5c
