1、课时跟踪训练1(2014年安徽高考)设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2，所以f(x)3(xx1)(xx2)当xx1或xx2时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0.故f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增(2)因为a0，所以x10，x20.当a4时，x21，由(1)知，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时，x
2、21.由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2,1上单调递减，因此f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0和x1处同时取得最小值；当1a4时，f(x)在x0处取得最小值2已知函数f(x)ex，g(x)ax2bx1(a，bR)(1)若a0，则a，b满足什么条件时，曲线yf(x)与yg(x)在x0处总有相同的切线；(2)当a1时，求函数h(x)的单调递减区间；(3)当a0时，若f(x)g(x)对任意的xR恒成立，求b的取值的集合解：(1)f(x)ex，f(0)1，又f(0)1，yf(x)在x0处的切线方程为y
3、x1，又g(x)2axb，g(0)b，又g(0)1，yg(x)在x0处的切线方程为ybx1，当a0，aR且b1时，曲线yf(x)与yg(x)在x0处总有相同的切线(2)由a1，得h(x)，h(x)，由h(x)0，得x11，x21b，当b0时，函数h(x)的单调递减区间为(，1b)，(1，)；当b0时，函数h(x)的单调递减区间为(，)；当b0时，函数h(x)的单调递减区间为(，1)，(1b，)(3)由a0，得(x)f(x)g(x)exbx1，(x)exb，当b0时，(x)0，函数(x)在R上单调递增，又(0)0，当x(，0)时，(x)0，与函数f(x)g(x)矛盾当b0时，令(x)0，得xln
4、 b；令(x)0，得xln b，函数(x)在(，ln b)上单调递减；在(ln b，)上单调递增当0b1时，ln b0，又(0)0，(ln b)0，与函数f(x)g(x)矛盾，当b1时，同理(ln b)0，与函数f(x)g(x)矛盾，当b1时，ln b0，(x)(0)0，故b1满足题意综上所述，b的取值的集合为13(2014年北京高考)已知函数f(x)2x33x.(1)求f(x)在区间2,1上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？(只需写出结论)解：(1)由
5、f(x)2x33x得f(x)6x23.令f(x)0，得x或x.因为f(2)10，f，f，f(1)1，所以f(x)在区间2,1上的最大值为f.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线yf(x)相切于点(x0，y0)，则y02x3x0，且切线斜率为k6x3，所以切线方程为yy0(6x3)(xx0)，因此ty0(6x3)(1x0)整理得4x6xt30.设g(x)4x36x2t3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”g(x)12x212x12x(x1)，g(x)与g(x)的情况如下：x(，0)0(0,1)1(1，)g(x)00g(x)t3t1所以，g(0)
6、t3是g(x)的极大值，g(1)t1是g(x)的极小值当g(0)t30，即t3时，此时g(x)在区间(，1和(1，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点当g(1)t10，即t1时，此时g(x)在区间(，0)和0，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点当g(0)0且g(1)0，即3t1时，因为g(1)t70，g(2)t110，所以g(x)分别在区间1,0)，0,1)和1,2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(，0)和(1，)上单调，所以g(x)分别在区间(，0)和1，)上恰有1个零点综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3，1)
7、(3)过点A(1,2)存在3条直线与曲线yf(x)相切；过点B(2,10)存在2条直线与曲线yf(x)相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线yf(x)相切4(2014年山东高考)设函数f(x)k(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)(1)当k0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围解：(1)函数yf(x)的定义域为(0，)f(x)k.由k0可得exkx0，所以当x(0,2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递减，当x(2，)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)(2)由(1)知，k0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)在(0,2)内不存在极值点；当k0时，设函数g(x)exkx，x0，)因为g(x)exkexeln k，当0k1时，当x(0,2)时，g(x)exk0，yg(x)单调递增故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；当k1时，得x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递减当x(ln k，)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k)函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当解得ek，综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为.
