1、专题04 绝对值【专题说明】1掌握一个数的绝对值的求法和性质； 2进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义； 3会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【知识点总结】一、绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小（3）一个有理数
2、是由符号和绝对值两个方面来确定的2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0二、有理数的大小比较 1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则ab2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小3. 作差法：设a、b为任意数，若ab0，则ab；若ab0，则ab；若ab0
3、，ab；反之成立4. 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立若a、b为任意负数，则与上述结论相反5. 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小.【精典例题】一、绝对值的概念1、求下列各数的绝对值 ，0.3，0，【思路点拨】，0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值还可以用绝对值法则来求解【答案与解析】方法1：因为到原点距离是个单位长度，所以因为0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|0.3|0.3因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|0因为到原点的距离是个单位长度，所以方法2：因为，所以因为0.30，所以|0.3|(0.3
4、)0.3因为0的绝对值是它本身，所以|0|0因为，所以【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零从而求出该数的绝对值2、已知一个数的绝对值等于2009，则这个数是_【答案】2009或2009【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是2009的点有两个，从原点向左侧移动2009个单位长度，得到表示数2009的点；从原点向右侧移动2009个单位长度，得到表示数2009的点【总结升华】已知绝
5、对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.3、计算：（1） （2）|4|+|3|+|0| （3）|+(8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.(1) ， (2)|4|+|3|+|0|4+3+07， (3)|+(8)|(8)8【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零从而求出该数的绝对
6、值4、如果|x|6，|y|4，且xy试求x、y的值【思路点拨】6和6的绝对值都等于6，4和4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论【答案与解析】因为|x|6，所以x6或x6； 因为|y|4，所以y4或y4； 由于xy，故x只能是6，因此x6，y4【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.此外，此题x6，y4，就是x6，y4或x6，y4.二、比较大小 1、比较下列有理数大小：(1)1和0； (2)2和|3| ；(3)和 ；（4）_【答案】(1)0大于负数，即10； (2)先化简|3
7、|3，负数小于正数，所以23，即2|3|；(3)先化简，即(4)先化简，这是两个负数比较大小：因为，而，所以，即【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断2、比较下列每组数的大小： (1)(5)与|5|；(2)(+3)与0；(3)与；(4)与【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较【答案与解析】 (1)化简得：(5)5，|5|5 因为正数大于一切负数，所以(5
8、)|5|(2)化简得：(+3)3因为负数小于零，所以(+3)0(3)化简得：这是两个负数比较大小，因为，且所以 (4)化简得：|3.14|3.14，这是两个负数比较大小，因为 |，|3.14|3.14，而3.14，所以|3.14|【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断三、绝对值非负性的应用 1、已知|2m|+|n3|0，试求m2n的值【思路点拨】由a0即绝对值的非负性可知，2m0，n30，而它们的和为0所以2m0，|n3|0因此，2m0，n30，所以m2，n3【答案与解析】因为|2
9、m|+|n3|0 且|2m|0，|n3|0 所以|2m|0，|n3|0 即2m0，n30 所以m2，n3 故m2n2234【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+|m|0时，则abm02、已知a、b为有理数，且满足：，则a=_，b=_【答案与解析】由，可得 【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0几个非负数的和为0，则每一个数均为0四、含有字母的绝对值的化简 1、把下列各式去掉绝对值的符号 (1)|a4|(a4)；(2)|5b|(b5)【答案与解析】(1) a4，a40， |a4|a4 (2) b5， 5b0，
10、|5b|(5b)b5【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.五、绝对值的实际应用1、正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数检测结果(单位：克)：25，+10，20，+30，+15，40裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由【答案】 因为+10+152025+3040，所以检测结果为+10的足球的质量好一些所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大【点评】绝对值越小，越接近标准.
