1、1.圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.3.圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)，其中(a，b)为圆心，r为半径.4.圆的一般方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是D2E24F0，其中圆心为，半径r.5.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.6.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)(1)
2、点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)20.()(4)方程x22axy20一定表示圆.()(5)圆x22xy2y0的圆心是.()(6)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()1.(教材改编)x2y24x6y0的圆心坐标是_.答案(2，3)解析圆x2y2DxEyF0的圆心为，圆x2y24x6y0的圆心为(2，3).2.方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是_.答案2a0，解得2a0)，则有解得故圆的方程是x2y26x2y10.巧妙解法(几何法)曲线yx26
3、x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0).故可设C的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1.则圆C的半径为3，所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.温馨提醒(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线yx26x1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式.(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算.显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题. 方法与技巧1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题
4、设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.失误与防范1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况.A组专项基础训练(时间：40分钟)1.已知点A(1，1)，B(1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是_.答案x2y22解析AB的中点坐标为(0,0)，AB2，圆的方程为x2y22.2.设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，则原点与圆的位置关系是_.答案原点在圆外解析将圆的
5、一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a，因为0a1，所以(0a)2(01)22a(a1)20，即，所以原点在圆外.3.已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2xy40相切，则圆M的方程为_.答案(x1)2y24解析由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a2，半径为r，得解得满足条件的一组解为所以圆M的方程为(x1)2y24.4.点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是_.答案(x2)2(y1)21解析设圆上任一点坐标为(x0，y0)，xy4，连线中点坐标为(x，y)，则代入xy4中得(x2)2(y1)21
6、.5.圆心在曲线y(x0)上，且与直线2xy10相切的面积最小的圆的方程为_.答案(x1)2(y2)25解析由圆心在曲线y(x0)上，设圆心坐标为，a0.又圆与直线2xy10相切，所以圆心到直线的距离d，当且仅当2a，即a1时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为(x1)2(y2)25.6.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_.答案(x2)22解析如图，设圆心坐标为(2，y0)，半径为r，则解得y0，r，圆C的方程为(x2)22.7.已知圆O：x2y21，直线x2y50上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则的最小值为_.答
7、案4解析圆心O到直线x2y50的距离为，即|min.PA与圆O相切，PAOA，即0，()2|2|2514.8.(2014湖北)已知圆O：x2y21和点A(2,0)，若定点B(b,0)(b2)和常数满足：对圆O上任意一点M，都有MBMA，则(1)b_；(2)_.答案(1)(2)解析(1)因为点M为圆O上任意一点，所以不妨取圆O与x轴的两个交点(1,0)和(1,0).当M点取(1,0)时，由MBMA，得|b1|；当M点取(1,0)时，由MBMA，得|b1|3.消去，得|b1|3|b1|.两边平方，化简得2b25b20，解得b或b2(舍去).(2)由|b1|，得.9.一圆经过A(4,2)，B(1,3
8、)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程.解设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.令y0，得x2DxF0，所以x1x2D.令x0，得y2EyF0，所以y1y2E.由题意知DE2，即DE20.又因为圆过点A、B，所以1644D2EF0.19D3EF0.解组成的方程组得D2，E0，F12.故所求圆的方程为x2y22x120.10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程.解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.则y22r2，x23r2.y22x23，即y2x21.P点的轨迹
9、方程为y2x21.(2)设P的坐标为(x0，y0)，则，即|x0y0|1.y0x01，即y0x01.当y0x01时，由yx1得(x01)2x1.r23.圆P的方程为x2(y1)23.当y0x01时，由yx1得(x01)2x1.r23.圆P的方程为x2(y1)23.综上所述，圆P的方程为x2(y1)23.B组专项能力提升(时间：30分钟)11.(2014山东)圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为_.答案(x2)2(y1)24解析设圆C的圆心为(a，b)(b0)，由题意得a2b0，且a2()2b2，解得a2，b1.所求圆的标准方程为(x2)2(
10、y1)24.12.设P为直线3x4y30上的动点，过点P作圆C：x2y22x2y10的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为_.答案解析依题意，圆C：(x1)2(y1)21的圆心是点C(1,1)，半径是1，易知PC的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x4y30的距离，即2，而四边形PACB的面积等于2SPAC2(PAAC)PAACPA，因此四边形PACB的面积的最小值是.13.过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_.答案xy20解析当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件.圆心O与P点连线的
11、斜率k1，所求直线方程为y1(x1)，即xy20.14.已知点A(3,0)，B(3,0)，动点P满足PA2PB.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：xy30上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求QM的最小值.解(1)设点P的坐标为(x，y)，则2.化简可得(x5)2y216，此即为所求.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，由直线l2是此圆的切线，连结CQ，CM，则QM，当CQl1时，CQ取最小值，CQ4，此时QM的最小值为4.15.如图，已知圆O的直径AB4，定直线l到圆心的距离为4，且直线l垂直于直线AB.点P是圆O上异于A，B
12、的任意一点，直线PA，PB分别交l于M，N两点.(1)若PAB30，求以MN为直径的圆的方程；(2)当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.(1)解如图，建立直角坐标系，得O的方程为x2y24，直线l的方程为x4.当点P在x轴上方时，因为PAB30，所以点P的坐标为(1，)，所以lAP：y(x2)，lBP：y(x2).将x4分别代入，得M(4,2)，N(4，2)，所以线段MN的中点坐标为(4,0)，MN4.所以以MN为直径的圆的方程为(x4)2y212.同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是(x4)2y212.综上，以MN为直径的圆的方程为(x4)2y212.(2)证明设点P的坐标为(x0，y0)，则y00，所以xy4(y00)，所以y4x.因为lPA：y(x2)，lPB：y(x2)，将x4分别代入，得yM，yN，所以M，N，所以MN，线段MN的中点坐标为，以MN为直径的圆O截x轴所得的线段长度为24.则圆O与x轴的两交点坐标分别为(42，0)，(42，0).又(42)20228164，(42)20228164，所以圆O必过圆O内定点(42，0).
