1、加练课1 空间向量及其运算的综合应用学习目标1.进一步掌握空间向量及其运算的综合应用,从而解决新定义问题.2.进一步掌握空间向量中的最值问题.自主检测必备知识一、概念辨析,判断正误1.若a,b 均为非零向量,则ab=|a|b| 是a 与b 共线的充要条件.( )2.在向量的数量积运算中,(ab)c=a(bc) .( )3.若a,b,c 是空间的一个基底,则a,b,c 中至多有一个零向量.( )4.对空间中任意一点O 与不共线的三点A ,B ,C ,若OP=xOA+yOB+zOC （其中x,y,zR ）,则P ,A ,B ,C 四点共面.( )5.空间中任意三个向量一定是共面向量.( )二、夯实
2、基础,自我检测6.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1) ,则向量AB 与AC 的夹角为( )A.30 B.45C.60 D.90答案： C7.如图所示,在平行四边形ABCD 中,AB=AC=CD=1,ACD=90 ,把ADC 沿对角线AC 折起,使AB 与CD 成60 角,则BD 的长为 .答案：2或2解析：AB 与CD 成60 角,BA,CD=60 或120 .又AB=AC=CD=1,ACCD,ACAB ,|BD|=BD2=(BA+AC+CD)2=BA2+AC2+CD2+2BACD=1+1+1+211cosBA,CD=3+2cosBA,CD,|BD|=2 或2,BD
3、 的长为2或2 .8.在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,CA=CB=1,BCA=90, 棱AA1=2,N 为A1A 的中点.（1）求BN 的长;（2）求A1B 与B1C 所成角的余弦值.答案：（1）以CA,CB,12CC1 为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .依题意得B(0,1,0),N(1,0,1) ,|BN|=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3, 线段BN 的长为3 .（2）依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),BA1CB1=10+(-1)1+22=3 .又|BA1|=6,|CB1
4、|=5,cosBA1,CB1=BA1CB1|BA1|CB1|=3010,故A1B 与B1C 所成角的余弦值为3010 .互动探究关键能力探究点一 空间向量的新定义问题精讲精练例 已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3), 定义一种运算：(ab)c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1 .在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是一个平行四边形,AB=(2,-1,4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,1).（1）求(ABAD)AP 的值,并求证：PA 平面ABCD ;（2）求四棱锥P-ABCD 的体积,
5、说明(ABAD)AP 的值与四棱锥P-ABCD 体积的关系,并由此猜想(ABAD)AP 的绝对值的几何意义.答案： （1）由题意得(ABAD)AP=221+424+(-1)(-1)0-220-4(-1)1-(-1)24=48 .APAB=(-1)2+2(-1)+14=0,APAD=(-1)4+22+10=0 ,APAB,APAD, 即APAB,APAD, 又ABAD=A,AB,AD 平面ABCD ,AP 平面ABCD .（2）由题意知|AB|2=21,|AD|2=20,|AP|=6,ABAD=24+(-1)2+40=6 ,S平行四边形ABCD=|AB|AD|sinBAD=|AB|2|AD|2-
6、(ABAD)2=2120-62=86 ,VP-ABCD=13S平行四边形ABCDPA=13866=16 ,|(ABAD)AP|=3VP-ABCD .猜想：(ABAD)AP 的绝对值表示以AB,AD,AP 为邻边的平行六面体的体积.解题感悟向量的新定义问题,解题时根据新定义的规则运算即可.迁移应用设全体空间向量组成的集合为V,a=(a1,a2,a3) 为V 中的一个单位向量,建立一个“自变量”为向量,“因变量”也是向量的“向量函数”f(x):f(x)=-x+2(xa)a(xV) .（1）设u=(1,0,0),v=(0,0,1) ,若f(u)=v ,求向量a 的坐标;（2）对于V 中任意的单位向量
7、x ,求|f(x)-x| 的最大值.答案：（1）依题意得f(u)=-u+2(ua)a=v .设a=(x,y,z) ,代入运算得2x2-1=0,2xy=0, 2xz=1a=22,0,22 或a=(-22,0,-22) .（2）设x 与a 的夹角为 ,则xa=|x|a|cos=cos ,则|f(x)-x|=|2x-2(xa)a|=(2x-2cosa)2=4-4cos22 ,当且仅当cos=0 ,即=2+k(kZ) 时,等号成立.故|f(x)-x| 的最大值为2.探究点二 空间向量中的最值问题精讲精练类型1 构造函数求最值例1 （2021江苏扬州高二月考）已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2
8、),OC=(1,1,2) ,点M 在直线OC 上运动.当MAMB 取得最小值时,点M 的坐标为( )A.(2,2,4)B.(23,23,43)C.(53,53,103) D.(43,43,83)答案：D解析：设OM=OC,R ,即OM=(,2) ,故M(,2) ,所以MAMB=(OA-OM)(OB-OM)=(1-,2-,3-2)(2-,1-,2-2)=62-16+10=6(-43)2-23,故当=43 时,MAMB 取得最小值,此时M(43,43,83) ,故选D.解题感悟解决此类问题的关键是运用空间向量的坐标运算建立所求的目标函数,从而转化为函数的最值问题求解.类型2 直观判断求最值例2 在
9、棱长为2的正四面体ABCD 中,点M 满足AM=xAB+yAC-(x+y-1)AD, 点N 满足BN=BA+(1-)BC ,当AM、BN 最短时,AMMN= ( )A.-43 B.43C.-13 D.13答案：A解析：由共面向量基本定理和共线向量基本定理可知,M 平面BCD,NAC ,当AM、BN 最短时,AM 平面BCD,BNAC ,M 为BCD 的中心,N 为AC 的中点,此时2|MC|=2sin60=433,|MC|=233 , AM 平面BCD,MC 平面BCD ,AMMC ,|MA|=|AC|2-|MC|2=22-(233)2=263 .又MN=12(MC+MA),AMMN=12(A
10、MMC+AMMA)=-12|MA|2=-43 ,故选A.迁移应用1.（2021四川资阳高二期末）如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,P 为平面BCC1B1 上的一个动点,E,F 分别为BD1 的三等分点,则|PE|+|PF| 的最小值为( )A.33 B.522C.1+6 D.11答案：D解析：过F 作F 关于平面BCC1B1 的对称点F ,连接EF 交平面BCC1B1 于点P0 .可以证明此时的P0 使得|PE|+|PF| 最小,任取P1 （不含P0 ）,此时|P1E|+|P1F|=|P1E|+|P1F|EF| .建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,3),B(3
11、,3,0) ,因为E,F 分别为BD1 的三等分点,所以E(1,1,2),F(2,2,1) ,又点F 到平面BCC1B1 的距离为1,所以F(2,4,1),所以|PE|+|PF| 的最小值为|EF|=12+32+(-1)2=11 .2.（2021陕西宝鸡高二期末）在空间直角坐标系Oxyz 中,已知A(-1,0,2),B(0,1,-1) ,点C ,D 分别在x 轴,y 轴上,且ADBC ,那么|CD| 的最小值是 .答案：2解析：设C(x,0,0),D(0,y,0) ,A(-1,0,2),B(0,1,-1) ,AD=(1,y,-2),BC=(x,-1,1),又ADBC ,ADBC=x-y-2=0
12、, 即x=y+2 .CD=(-x,y,0),|CD|=x2+y2=(y+2)2+y2=2y2+4y+4=2(y+1)2+22 （当且仅当y=-1 时,等号成立）.评价检测素养提升1.直三棱柱ABC-A1B1C1 的底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,M,N 分别为A1C1,BC 的中点,则ABNM= ( )A.2B.-2C.10 D.-10答案：B2.（多选题）在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,点E,F,G 分别为棱A1D1,D1D,A1B1 的中点,则下列结论正确的是( )A.AC1EG B.GCEDC.B1F 平面BGC1 D.EF 和BB1 所成的角为4答案： AD3.已知OA,OB,OC 是空间中两两垂直的单位向量,OP=xOA+yOB+zOC,且x+2y+4z=1, 则|OP-OA-OB| 的最小值为 .答案：22121
