1、试卷第 1 页，总 4 页2019-2020 学年四川省成都市新都一中高二零诊模拟练习十五理科数学一、单选题1若复数1z，2z 在复平面内对应的点关于 y 轴对称，且12zi，则复数12zz （）A 1B1C3455 iD 3455i2命题“0 x(0，+)，20012xx”的否定为（）Ax(0，+)，21xx 2Bx(0，+)，212xx Cx(-，0，212xx Dx(-，0，21xx 2 3函数 2xxxf xee的大致图像是（）ABCD4已知直线 1l：sin10 xy ，直线 2l：3 cos10 xy，若 12ll，则sin2（）A 23B35C35D 355由曲线21yx 与直线
2、3yx 所围成图形的面积为（）A3B 92C 73D 836执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为（）试卷第 2 页，总 4 页A 34B 56C 1112D 25247已知,x yR，平面区域320:240 xyxyym 与直线33yx无公共部分，则 m 的最大值是（）A 52B3C 72D48若数列 na满足：11a ，2*1nnnaaanN，*121112,111nnTnnNaaa，整数k 使得nTk最小，则k 的值是（）A 0B1C2D39已知a、b 是相互垂直的单位向量，向量nc 满足ncan，*2nncbnN，设 121,nnnnf ncc cc，则随着n 的增大，f n（）A
3、一直增大B一直减小C先增大后减小D先减小后增大 10唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图 2 所示.已知球的半径为 R，酒杯内壁表面积为2143R,设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V，下部分（半球）的体积为2V，则12VV （）A2B 32C1D 3411如图，点 F 是抛物线28yx的焦点，点 A，B 分别在抛物线28yx及圆22(2)16xy的实线部分上运动，且 AB 始终平行于 x 轴，则 ABF的周长的取值范围是（）A(2,6)B(6,8)C(
4、8,12)D(10,14)12当 2,1x 时，不等式32430axxx 恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A5,3B91,8C6,2D4,3二、填空题13为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率 是（结构用最简分数表示）.试卷第 3 页，总 4 页14已知函数()f x 为定义在 R 上的奇函数，函数()(1)1F xf x 则：12340392020202020202020FFFF_ 15若关于 x 的不等式ln1xax 恒成立，则a 的最小值是_.16已知平面 平面 ，直线l，且l 不是平面，的交线.给出
5、下列结论：平面 内一定存在直线平行于平面；平面 内一定存在直线垂直于平面；平面 内一定存在直线与直线l 平行；平面 内一定存在直线与直线l 异面.其中所有正确结论的序号是_.三、解答题17返乡创业的大学生一直是人们比较关注的对象，他们从大学毕业，没有选择经济发达的大城市，而是回到自己的家乡，为养育自己的家乡贡献自己的力量，在享有“国际花园城市”称号的温江幸福田园，就有一个由大学毕业生创办的农家院“小时代”，其独特的装修风格和经营模式，引来无数人的关注，带来红红火火的现状，给青年大学生们就业创业上很多新的启示在接受采访中，该老板谈起以下情况：初期投入为 72 万元，经营后每年的总收入为 50 万
6、元，第 n 年需要付出房屋维护和工人工资等费用是首项为 12，公差为 4 的等差数列 na（单位：万元）（1）求na；（2）该农家乐第几年开始盈利？能盈利几年？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）（3）该农家乐经营多少年，其年平均获利最大？年平均获利的最大值是多少？（年平均获利前n 年总获利 n）18为了治疗某种疾病，某科研机构研制了甲、乙两种新药，为此进行白鼠试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.4 轮试验后，就停止试验.甲、乙两种药的治愈率分别是 25和3 4(,)5 5.（1）
7、若35，求 2 轮试验后乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多 1 只的概率；（2）已知 A 公司打算投资甲、乙这两种新药的试验耗材费用，甲药和乙药一次试验耗材花费分别为 3 千试卷第 4 页，总 4 页元和(101)千元，每轮试验若甲、乙两种药都治愈或都没有治愈，则该科研机构和 A 公司各承担该轮试验耗材总费用的 50%；若甲药治愈，乙药未治愈，则 A 公司承担该轮试验耗材总费用的 75%，其余由科研机构承担，若甲药未治愈，乙药治愈，则 A 公司承担该轮试验耗材总费用的 25%，其余由科研机构承担.以A公司每轮支付试验耗材费用的期望为标准，求A公司4轮试验结束后支付试验耗材最少费用为多少元？19已
8、知在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是边长为4 的正方形，PAD是正三角形，CD平面 PAD，E,F,G,O 分别是 PC,PD,BC,AD 的中点（）求证：PO平面 ABCD；（）求平面 EFG 与平面 ABCD所成锐二面角的大小；（）线段 PA 上是否存在点 M，使得直线GM 与平面 EFG 所成角为 6，若存在，求线段 PM 的长度；若不存在，说明理由 20已知椭圆22122:10 xyCabab的左，右两个焦点为1F、2F，抛物线22:4(0)Cymx m与椭圆1C 有公共焦点2 1,0F.且两曲线1C、2C在第一象限的交点 P 的横坐标为 23.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的
9、方程；（2）直线:l ykx与抛物线2C 的交点为Q、O（O 为坐标原点），与椭圆1C 的交点为 M、N（N 在线段OQ 上），且 MONQ.问满足条件的直线l 有几条，说明理由.21己知函数 2lnf xxxx，（1）求 f x 的最大值：（2）已知0a，若对于任意的0 x 不等式 21142aaf xxx恒成立，求整数a 的最小值（参考数据：ln31.10，ln20.69）22在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程是122xtyt（t 为参数），以原点O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为24 cos8 sin100.（）求直线l 的普通方程和
10、曲线C 的直角坐标方程；（）过原点O 的直线m 与直线l 交于点 P，与曲线C 交于 M、N 两点，求OPOPOMON 的值.答案第 1 页，总 12 页2019-2020 学年四川省成都市新都一中高二零诊模拟练习十五理科数学详解1C依题意可得22zi ，所以122(2)(2)342555ziiiizi ，故选：C.2A解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题“0 x(0，+)，20012xx”的否定为“x(0，+)，21xx 2”，故选：A 3D 2xxxfxeefx f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除 A，B当0 x 时，22xxxf xxee，排除 C故选：D4D详解：因为 l1l
11、2，所以 sin3cos=0，所以 tan=3，所以 sin2=2sincos=2222sincos2tan3.sincos1tan5故选 D5B21,2,5,1,23yxAByx ，11122322221193122322xxdxxxdxxxx ，故选：B.答案第 2 页，总 12 页6D初始条件：0,0sk，第 1 次判断 08，是，112,0;22ks 第 2 次判断 28，是，1134,;244ks 第 3 次判断 48，是，31116,;4612ks 第 4 次判断 68，是，111258,;12824ks 第 5 次判断 88，否，输出2524s;故选 D.7B由题意画出平面区域
12、与直线33yx，如图：数形结合可知，当直线 ym过点 A 时，m 取最大值，由33240yxxy 可得点2,3A，所以m 的最大值为3.故选：B.8B211nnnnnaaaaa，1111111nnnnnaaaaa，11111nnnaaa，所以，12122311111111111111111nnnnnTaaaaaaaaaaa111na ，答案第 3 页，总 12 页11a，21nnnaaa，可得22a，36a，以此类推可得0nanN，且210nnnaaa，所以，数列 na单调递增，对任意的nN，1111,12nnTa ，因此，当整数1k 时，nTk最小.故选：B.9B分别以a、b 的方向为 x、
13、y 轴的正方向建立平面直角坐标系 xOy，则1,0a，0,1b，设,nnncxy，由2nnncancb可得2nnnxny，则,2nncn，11,2nnncc，1211,2nnncc，则 211211 2 nnnnncccc，所以，2112112111211 2coscos,1 41 4nnnnnnnnnnnnnnnccccf ncc cccccc12121211 44411111 5 441 5 444 454nnnnnnnnn ，令44nt，由双勾函数的单调性可知，函数145ytt在4,上单调递增，因此，随着n 的增大，121cos,nnnncc cc 一直增大.由于余弦函数cosyx在0,
14、上单调递减，且 0,f n，所以，f n 一直减小.故选：B.10A答案第 4 页，总 12 页设酒杯上部分（圆柱）的高为h 球的半径为 R，则酒杯下部分（半球）的表面积为22 R 酒杯内壁表面积为2143R，得圆柱侧面积为223214RR283 R，酒杯上部分（圆柱）的表面积为2283R hR，解得43hR 酒杯下部分（半球）的体积332142233VRR 酒杯上部分（圆柱）的体积2314433RVRR 所以133224323RVVR.故选：A11C抛物线的准线2lx ：，焦点2 0F（，），由抛物线定义可得2AAFx，圆22216xy的圆心为 2 0（，），半径为 4，FAB 的周长246
15、ABABAFABBFxxxx，由抛物线28yx及圆22216xy可得交点的横坐标为 2，2 6Bx（，），6812Bx，故选C.12C当0 x 时，原式恒成立；当(0,1x时，原式等价于2max343()xxax恒成立；当 2,0)x 时，原式等价于2min343()xxax恒成立；令2343(),2,0)(0,1xxf xxx，232343143()xxf xxxxx，答案第 5 页，总 12 页令 11,1,2tx ，设 3234g tttt ，2981g ttt，可知1(1,)9为()g t 的增区间，1(,1),(,)9 为()g t 的减区间，所以1t 时max6y ，即max()6
16、6f xa ；()g t 在(,1)上递减，在1(1,2 上递增，所以1t 时min2y ，即min()22f xa ；综上，可知a 的取值范围是 6,2.故选：C.13 115任意选择 3 天共有310120C种方法，其中 3 天是连续 3 天的选法有 8 种，故所求概率为8112015P 144039函数()f x 为定义在 R 上的奇函数，函数()(1)1F xf x，所以 211112F xFxf xfx ，设12340392020202020202020FFFFM 则4039202020202020202024030832201FFFFFM，两式相加可得2 40392M，解得4039
17、M，所以123403940392020202020202020FFFF.故答案为：40391521e由于0 x，则原不等式可化为 ln1xax，设 ln1xf xx，则 221ln12lnxxxxfxxx，当20,xe时，0fx，f x 递增；2,xe，0fx，f x 递减，可得 f x 在2xe答案第 6 页，总 12 页处取得极大值，且为最大值21e.所以21ae，则 a 的最小值为21e.故答案为:21e.16 平面 平面 ，直线l，且l 不是平面，的交线，根据直线与直线的位置关系，如图：故正确；根据面面垂直的性质定理 由图可知正确；若l 与两平面的交线相交，则平面 内不存在直线与直线l
18、 平行，则错误；答案第 7 页，总 12 页由图可知正确；故答案为：17解：（1）由题意知，每年需付出的费用是以 12 为首项，4 为公差的等差数列，14(1)48naann（2）设该农家乐第 n 年后开始盈利，盈利为 y 万元，则2(1)5012472240722n nynnnn 由0y，得220360nn，解得 218,nnN，故3n 即第 3 年开始盈利能盈利 15 年（3）年平均获利为72240ynnn 3636240224016nnnn 当且仅当36nn，即6n 时，年平均获利最大故经过 6 年经营年平均获利最大，最大值为 16 万元 18（1）记事件 A 为“2 轮试验后，乙药治愈
19、的白鼠比甲药治愈的白鼠多 1 只”，事件 B 为“2 轮试验后，乙药治愈 1 只白鼠，甲药治愈 0 只白鼠”，事件 C 为“2 轮试验后，乙药治愈 2 只白鼠，甲药治愈 1 只白鼠”，则123233108()()()5555625P BC，21223323108()()()5555625CP CC，108108216()()()625625625P AP BP C答案第 8 页，总 12 页（2）一次实验耗材总费用为(102)千元.设随机变量 X 为每轮试验 A 公司需要支付的试验耗材费用的取值，则1(102)4X，1(102)2，3(102)4 13(102)45P X，12231(102)
20、(1)(1)25555P X，32(102)(1)45P X.X1(102)4 1(102)2 3(102)4 P35 3155 2(1)53131123()(102)()(102)(1)(102)5455254E X25116225 令225116511169()()22521040f ，3 4,5 5.函数 f 的对称轴为：1110，所以 f 在区间 3 4,5 5上单调递增，min318()()55fxf（千元）.则 A 公司 4 轮试验结束后支付实验耗材最少费用为1872414.455（千元），即 14400 元.19（）证明:因为 PAD 是正三角形，O 是 AD 的中点，所以 PO
21、 AD.答案第 9 页，总 12 页又因为CD 平面 PAD，PO 平面 PAD，所以 PO CD.ADCDD，ADCD，平面 ABCD，所以 PO 面 ABCD.（）如图，以O 点为原点分别以OA、OG、OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2 3)OABCDGP，(1,2,3),(1,0,3)EF，(0,2,0),(1,2,3)EFEG，设平面 EFG 的法向量为(,)mx y z 所以00EF mEG m，即20,230,yxyz 令1z ，则(3,0 1)m
22、，又平面 ABCD的法向量(0,0,1)n，设平面 EFG 与平面 ABCD所成锐二面角为，所以2211cos2311m nm n.所以平面 EFG 与平面 ABCD所成锐二面角为 3.（）假设线段 PA 上存在点 M，使得直线GM 与平面 EFG 所成角为 6，即直线GM 与平面 EFG 法向量m 所成的角为 3，设 PMPA，0,1，,GMGPPMGPPA，所以2,4,2 3 1GM 所以23coscos,32 467GM m，整理得22320，方程无解，所以，不存在这样的点 M.答案第 10 页，总 12 页20（1）由于椭圆1C 和抛物线2C 的公共焦点为2 1,0F，故椭圆1C 的焦
23、点坐标为1,0.所以1m ，所以抛物线2C 的方程24yx，由点 P 在抛物线上，所以2 2 6,33P，又点 P 又在椭圆1C 上，所以222222 622 621143333a，所以2a，又1c ，故3b，从而椭圆1C 的方程为22143xy；（2）联立直线与椭圆方程得22143ykxxy，得2223412xk x，解得232 34Mxk，232 34Nxk.联立直线与抛物线得24ykxyx，得224k xx，解得0Ox，24Qxk，由 MONQ，故 N 为线段OQ 的中点，即2OQNxxx，得22344 34kk，化简得423430kk，解得22133k（负值含去），故满足题意的k 值有
24、2 个，从而存在过原点O 的有两条直线l 满足题意.21（1）1210fxxxx 令 0fx，即 1210 xx ，解得01x，令 0fx，即 1210 xx ，解得1x 函数 f x 在0,1 上单调递增，在1,上单调递减；f x 的最大值为 10f 答案第 11 页，总 12 页（2）令 221111ln114242aag xf xxxxaxa x 所以 21111122122aaxxgxaxaxx 当0a 时，因为0 x，所以 0gx 所以 g x 在0,上是递增函数，又因为 120g，所以关于 x 的不等式 21142aaf xxx不能恒成立 当0a 时，22111222aaxxa x
25、xagxxx 令 0gx，得2xa 所以当20,xa时，0gx；当2,xa时，0gx，因此函数 g x 在20,a是增函数，在 2,a是减函数 故函数 g x 的最大值为222221ln11ln422aaag aaaaa，令 1ln 2ah aa，因为 1202h，133ln032h，且 h a 在0,a 是减函数 所以当3a 时，0h a 所以整数a 的最小值为 3 22（）在直线l 的参数方程中消去参数t，可得直线l 的普通方程为250 xy，答案第 12 页，总 12 页由222cossinxyxy可得出曲线C 的直角坐标方程为2248100 xyxy，即222410 xy；（）设直线m 的极坐标方程为，设点 0,P 、1,M 、2,N ，将直线l 的普通方程化为极坐标方程得cos2 sin50，将点 P 的极坐标代入直线l 的极坐标方程得052sincos，将直线m 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程得24cos2sin100，由韦达定理得124 cos2sin，1210 ，所以，012012001212125 4 cos2sincos2sin210OPOPOMON .
