1、答案第 1页，共 12页泉州市 2022 年高考质优生考前强化训练资料推题五：选择填空（一）一、单选题1 某地区教研部门为了落实义务教育阶段双减政策，拟出台作业指导方案.在出台方案之前作一个调查，了解本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生比例，对随机抽出的 2000 名学生进行了调查因问题涉及隐私，调查中使用了两个问题：问题1：你的阳历生日日期是不是偶数？问题 2：你是否抄袭过作业？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有除颜色外完全一样的50 个白球和50 个红球的不透明袋子，每个被调查者随机从袋中摸取1个球，摸出的球看到颜色后放回袋中，只有摸球者自己才能看到摸出球的颜色.要求摸到白球的学
2、生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，答案为“是”的人从盒子外的小石子堆中拿一个石子放在盒子中，回答“否”的人什么都不要做由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案调查结果为 2000 人中共有 612人回答“是”，则本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生所占百分比最接近（）（提示：假设一年为365天，其中日期为偶数的天数为179天）A10.7%B12.2%C 24.4%D30.6%关键词：敏感问题抽样2半径为 4 的圆 O 上有三点,ABC ，满足0OAABAC，点 P 是圆 O 内一点，则 P
3、A POPB PC 的取值范围为（）A 16,56)B0,16)C 8,56D16,64关键词：向量的线性运算、向量的数量积运算3将一条线段 AB 分为两段,AM BM，若512AMBMABAM，则称点 M 为线段 AB 的黄金分割点已知直线(01)yaa与函数3cos(0,0)yxx的图象依次交于,A BC 三点，则（）A对于给定的常数 a，存在 使点 B 为线段 AC 的黄金分割点B对于给定的常数，不存在 a 使点 B 为线段 AC 的黄金分割点C对于任意的 a，存在 使点 B 为线段 AC 的黄金分割点D对于任意的，存在 a 使点 B 为线段 AC 的黄金分割点关键词：数学文化、三角函数
4、的图形与性质答案第 2页，共 12页4设3103a，ln1.03b，0.03e1c ，则下列关系正确的是（）A abcBbacCcbaD cab关键词：构造函数，利用函数单调性比较大小二、多选题5若函数(21)fx（xR）是周期为 2 的奇函数则下列选项一定正确的是（）A函数()f x 的图象关于点(1,0)对称B 2 是函数()f x 的一个周期C(2021)0fD(2022)0f关键词：函数的对称性、周期性、函数求值6已知正四棱台1111ABCDA B C D的上下底面边长分别为 4,6，高为2，E 是1 1A B 的中点，则（）A正四棱台1111ABCDA B C D的体积为 52 23
5、B正四棱台1111ABCDA B C D的外接球的表面积为104C/AE平面1BC DD1A 到平面1BC D 的距离为 4 105关键词：台体中的位置关系、体积表面积计算，多面体外接球问题、点到面的距离7在数列na中，11a ，2(1)2nnnaa ，前 n 项的和为nS，则（）A24a a 的最大值为1B数列21na是等差数列C数列2na是等差数列D25181S关键词：数列的性质、地推关系、奇偶处理问题8已知抛物线2:2(0)xpy p与圆22:8O xy相交于,A B 两点，且点 A 的横坐标为 2，过劣弧 AB上动点00(,)P xy作圆 O 的切线交抛物线 于,C D 两点，分别以,
6、C D 为切点作抛物线 的切线 12,ll，1l 与2l 相交于点 M，则（）A1p B直线CD 的方程为008x xy yCCOD为锐角D动点 M 的轨迹是双曲线2218xy关键词：抛物线的性质、曲线的切线问题、直线的夹角、轨迹问题答案第 3页，共 12页三、填空题9在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的 正 确结 论 得 到老 师 和 同学 的 一 致好 评 设随 机 变 量(,)XB n p，记(1)kkn kknpC pp，0,1,2,kn在研究kp 的最大值时，小组同学发现：若(1)np为正整数，则(1)knp时，1kkpp，此时这
7、两项概率均为最大值；若(1)np为非整数，当 k 取(1)np的整数部分，则kp 是唯一的最大值以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数当投掷到第 20次时，记录到此时点数1出现 5 次，若继续再进行80 次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为_的概率最大关键词：二项分布相关问题10以棱长为 2 6 的正四面体中心点 O 为球心，以(03)RR为半径的球面与正四面体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是_关键词：平面截球的周长或面积问题11已知点 M 为双曲线 C：2222:1(0,0)xyCabab在第一象限上一点，点 F
8、为双曲线 C 的右焦点，O 为坐标原点，447MOMFOF，则双曲线 C 的离心率为_；若,MFMO 分别交双曲线 C于,P Q 两点，记直线 QM 与 PQ 的斜率分别为12,kk，则12kk _关键词：双曲线的离心率等问题12已知实数,a b c 满足41ee41a cb cab （其中 e 为自然对数的底数），则22ab的最小值是_关键词：函数导数问题、均值不等式问题答案第 4页，共 12页参 考 答 案一、单选题1某地区教研部门为了落实义务教育阶段双减政策，拟出台作业指导方案.在出台方案之前作一个调查，了解本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生比例，对随机抽出的 2000 名学生进行
9、了调查因问题涉及隐私，调查中使用了两个问题：问题1：你的阳历生日日期是不是偶数？问题 2：你是否抄袭过作业？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有除颜色外完全一样的50 个白球和50 个红球的不透明袋子，每个被调查者随机从袋中摸取1个球，摸出的球看到颜色后放回袋中，只有摸球者自己才能看到摸出球的颜色.要求摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，答案为“是”的人从盒子外的小石子堆中拿一个石子放在盒子中，回答“否”的人什么都不要做由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案调查结果为 2000
10、 人中共有 612人回答“是”，则本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生所占百分比最接近（）（提示：假设一年为365 天，其中日期为偶数的天数为179天）A10.7%B12.2%C 24.4%D30.6%【答案】B【解析】由题意可知，抽到红球、白球的概率均为 0.5，则回答问题一、二的概率均为 0.5，即1000 人回答问题一，1000 人回答问题二，假设一年为365天，其中日期为偶数的天数为179天，阳历生日日期为偶数的概率为 17949%365，针对问题一有100049%490人回答是，针对问题二有 612490122人回答是，122 100012.2%，故本地区义务数有阶段学生中抄袭过
11、作业的学生所占百分比最接近12.2%2半径为 4 的圆 O 上有三点,ABC ，满足0OAABAC，点 P 是圆 O 内一点，则 PA POPB PC 的取值范围为（）A 16,56)B0,16)C 8,56D16,64【答案】A【解析】如图所示，设 OA与 BC 交于点 D，由0OAABAC，得四边形 OBAC 是菱形，且4OAOB，则2ADOD，2 3BDCD，由图知 PBPDDB，PCPDDC，而 DBDC，所以2222212PB PCPDDBPDDBPD，同理 PAPDDA，POPDDO，而 DADO，所以222224PA POPDDOPDDOPD，答案第 5页，共 12页所以2216
12、PA POPB PCPD ，因为点 P 是圆内一点，则06PD，所以 1656PA POPB PC ，即 PA POPB PC 的取值范围为16,563将一条线段 AB 分为两段,AM BM，若512AMBMABAM，则称点 M 为线段 AB 的黄金分割点已知直线(01)yaa与函数3cos(0,0)yxx的图象依次交于,A BC 三点，则（）A对于给定的常数 a，存在 使点 B 为线段 AC 的黄金分割点B对于给定的常数，不存在 a 使点 B 为线段 AC 的黄金分割点C对于任意的 a，存在 使点 B 为线段 AC 的黄金分割点D对于任意的，存在 a 使点 B 为线段 AC 的黄金分割点【答
13、案】D【解析】设满足 cosxa的锐角为，由 cos xa，得2,kxkZ，则(,)Aa，2(,)Ba，2(,)Aa，从而22AB，2AC，由512ABAC，得512，所以352由于 与 无关，故对任意的，存在35cos2a，使点 B 为线段 AC 的黄金分割点4设3103a，ln1.03b，0.03e1c ，则下列关系正确的是（）A abcBbacCcbaD cab【答案】C【解析】记 e1,0 xf xxx，则 e1xfx，所以当0 x 时，0fx，所以 f x 在0,上单调递增函数，所以当0 x 时，00f xf，即1xex，所以0.03e10.03，记 ln 1,0g xxxx，则 1
14、1011xgxxx，所以 g x 在0,上单调递增函数，所以当0 x 时，00g xg，即ln 1xx，所以 ln1.030.03，所以 cb；记 ln 1,01xh xxxx，则因为 2211111xh xxxx，所以当0 x 时，0h x，所以 h x 在0,上单调递增函数，答案第 6页，共 12页所以当0 x 时，00h xh，即ln 11xxx，所以0.033ln1.0310.03103，所以ba；综上所述：cba二、多选题5若函数(21)fx（xR）是周期为 2 的奇函数则下列选项一定正确的是（）A函数()f x 的图象关于点(1,0)对称B 2 是函数()f x 的一个周期C(20
15、21)0fD(2022)0f【答案】AC【解析】函数(21)fx（xR）是奇函数，(21)(21),(21)(21)0fxfxfxfx，函数()f x 图象关于点(1,0)对称，故 A 正确；函数(21)fx（xR）是周期为 2，所以()f x 的周期为 4，故 B 错误；函数(21)fx（xR）是周期为 2 的奇函数，20214 505 110fff，故 C 正确；20224 50522fff，无法判断(2)f的值，故 D 错误6已知正四棱台1111ABCDA B C D的上下底面边长分别为 4,6，高为2，E 是1 1A B 的中点，则（）A正四棱台1111ABCDA B C D的体积为
16、52 23B正四棱台1111ABCDA B C D的外接球的表面积为104C/AE平面1BC DD1A 到平面1BC D 的距离为 4 105【答案】BCD【解析】正四棱台1111ABCDA B C D的体积为1 1 111 1 1113A B C DABCDA B C DABCDVSSSSh，152 24 3163624233V，故 A 错误；连接 ACBD、相交于2O，连接1111ACB D、相交于1O，如果外接球的球心O 在正四棱台1111ABCDA B C D的内部，则O 在12O O 上，122O O，因为上下底面边长分别为 4,6，所以111112 22D OB D，213 22D
17、ODB，答案第 7页，共 12页设外接球O 的半径为 R，所以2222111212DODODODOOO，即228182RR，无解，所以外接球的球心O 在正四棱台1111ABCDA B C D的外部，如右图，则O 在12O O 延长线上，12O O，因为上下底面边长分别为 4,6，所以111112 22D OB D，213 22DODB，设外接球O 的半径为 R，所以2222111212DODODODOOO，即228182RR，解得226R，所以正四棱台1111ABCDA B C D的外接球的表面积为24104R，故 B 正确；取11D A 的中点 F，连接，AFEF，11ACEFG，连接 AG
18、，所以11/D BEF，所以G 是11AO 的中点，因为11AC4 2，所以13 2GC，又23 2AO，所以12GCAO，又因为12/GCAO，所以四边形12GC O A 是平行四边形，所以12/GA C O，GA 平面1C BD，12 C O平面1C BD，所以/GA平面1C BD，因为11/D BBD，所以/EF BD，又 EF 平面1C BD，BD 平面1C BD，所以/EF平面1C BD，因为 EFAGG，所以平面1/C BD平面 AEF，因为 AG 平面 AEF，所以/AE平面1/C BD，故 C 正确；答案第 8页，共 12页以2O 为原点，2221、O DO AO O 所在的直
19、线分别为 xy、z 建立如图所示的空间直角坐标系，则 3 2,0,0D，3 2,0,0B，1 0,2 2,2C，1 0,2 2,2A，13 2,2 2,2 DC，13 2,2 2,2BC，110,4 2,0AC设平面1BC D的一个法向量为,nx y z，所以11DnCCnB，即3 22 2203 22 220 xyzxyz，令1y 可得0,1,2n，1A 到平面1BC D的距离为114 24 1055 n ACn，故 D 正确7在数列na中，11a ，2(1)2nnnaa ，前 n 项的和为nS，则（）A24a a 的最大值为1B数列21na是等差数列C数列2na是等差数列D25181S【答
20、案】ABD【解析】对于 A：当2n 时，有422aa，若420,0aa时，由基本不等式可得：424222aaa a（421aa 时取等号），所以241a a ；若24,a a 中有一个为 0 或负值时，240a a；若420,0aa时，422aa不可能成立；故24a a 的最大值为1.故 A 正确；对于 B：数列 na中，121,(1)2nnnaaa，当 n 为奇数时，有22nnaa，所以数列21na是等差数列，故 B 正确；对于 C：当 n 为偶数时，有22nnaa，只有21nnaa 时，数列2na是等差数列，否则数列2na不是等差数列，故 C 不正确；对于 D：251325242413 1
21、2213 1621812Saaaaaa，故 D 正确8已知抛物线2:2(0)xpy p与圆22:8O xy相交于,A B 两点，且点 A 的横坐标为 2，过劣弧 AB答案第 9页，共 12页上动点00(,)P xy作圆 O 的切线交抛物线 于,C D 两点，分别以,C D 为切点作抛物线 的切线 12,ll，1l 与2l 相交于点 M，则（）A1p B直线CD 的方程为008x xy yCCOD为锐角D动点 M 的轨迹是双曲线2218xy【答案】ABC【解析】对于 A，因为点 A 的横坐标为 2，所以(2,2)A，代入抛物线22xpy，得1p ，A 正确；对于 B，由 OPCD，得 CD 得方
22、程为008x xy y，B 正确；对于 C，由20028xyx xy y，得2002160y xx x，其中22008xy，且02,2 2y，则01202xxxy，1 2016x xy，所以22121 2121 2200641604x xOC ODx xy yx xyy，所以COD为锐角，C 正确；对于 D，由22xy 得yx，从而易得 1111:()lyyx xx，即11yx xy同理 222:lyx xy，所以121 2(,)22xxx xM，即0008(,)xMyy设(,)M x y，则0088,xxyyy，又22008xy，且02,2 2y 所以2288()()8xyy，整理得2218
23、xy，4,2 2y ，D 错误三、填空题9在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的 正 确结 论 得 到老 师 和 同学 的 一 致好 评 设随 机 变 量(,)XB n p，记(1)kkn kknpC pp，0,1,2,kn在研究kp 的最大值时，小组同学发现：若(1)np为正整数，则(1)knp时，1kkpp，此时这两项概率均为最大值；若(1)np为非整数，当 k 取(1)np的整数部分，则kp 是唯一的最大值以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数当投掷到第 20次时，记录到此时点数1出现 5 次，若继续
24、再进行80 次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为_的概率最大【答案】18【详解】继续再进行80 次投掷实验，出现点数为1次数 X 服从二项分布1(80,)6XB，由127(1)8113.562knp，结合题中的结论可知，当13k 时概率最大，即后面80 次中出现13 次点数1的概率最大，加上前面 20次中的 5 次，答案第 10页，共 12页所以出现18 次的概率最大10以棱长为 2 6 的正四面体中心点 O 为球心，以(03)RR为半径的球面与正四面体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是_【答案】(0,8 2【解析】将 SABC正四面体看作是正方体的 6
25、 条面对角线围成的正四面体，设正方体棱长为 a，则22 6a，故2 3a，于是正四面体的外接球半径为332a，又正四面体的体积为3321148 3323SABCaVaaa，表面积为234(2 6)24 34S表，设正四面体的内切球半径为 1r，则 1243 138 3r，解得 11r 设三角形 ABC 的内切圆半径为2r，圆心为 O，D 为 BC 的中点，则30O BD ，6BD，故22rO D，此时22123Rrr，（1）当 01R 时，球面与正四面体无交点或相切，此时圆弧总长度为 0；（2）当 13R时，球面与正四面体的每个面交线均为相等的圆，设圆的半径为 r，则02r，故当2r 时，圆弧
26、总长度取得最大值，最大值为 4228 2；（3）当33R时，球面与正四面体的每个面的交线均为三段相等的圆弧，不妨设其中一段为 EF，如图所示：答案第 11页，共 12页设DO E，显然 03，2cosO E，22()233EO F，于是 EF 的长为222()(2)(2)33cosfO E，222 22 2 cos(2 2)sin2 2(sinsincos)33()fcoscos，令()sinsincos(0)33g，则()coscos()cos033g，()g 在(0,)3 上单调递增，故1()()032gg ，()0f ，故()f 在(0,)3 上单调递减，2 2()(0)3ff，故当33
27、R时，圆弧总长度小于 2 2348 23 综上，圆（或圆弧）的总长度的取值范围是(0,8 2 11已知点 M 为双曲线 C：2222:1(0,0)xyCabab在第一象限上一点，点 F 为双曲线 C 的右焦点，O 为坐标原点，447MOMFOF，则双曲线 C 的离心率为_；若,MFMO 分别交双曲线 C于,P Q 两点，记直线 QM 与 PQ 的斜率分别为12,kk，则12kk _【答案】4；15【解析】设00,M xy，如图所示：因为 4477MOMFOFc，所以74MOMFc.所以02cx，220735424cycc，即3,52 4cMc.所以2222451641ccab，整理得：2222
28、2244516b ca ca b，即4224465160ca ca，即42465160ee，解得214e 或216e，因为1e ，所以4e，设11,P x y，由题知：00,Qxy，答案第 12页，共 12页因为 MOMF，所以QMMPkk，即1MPkk，所以2210101012222101010=MPyyyyyykkkkxxxxxx 又因为221122222210102222002211101xyabxxyyabxyab，所以22222210222210115yybcaexxaa，所以12=15kk12已知实数,a b c 满足41ee41a cb cab （其中 e 为自然对数的底数），则22ab的最小值是_【答案】117【解析】令 e1,e1xxf xxfx，所以()f x 在区间,0，0fx，()f x 递减；在区间0,，0fx，()f x 递增，所以 00f是()f x 的极小值也即是最小值，所以 e10,e1xxf xxx ，当0 x 时等号成立，所以41ee141 141a cb cacbcab ，依题意41ee41a cb cab ，所以41ee41a cb cab ，则014104acaccbcb ，所以2222211711416816cabccc，所以当1181717216c 时，22ab取得最小值2171111116178171617
