1、活页作业(二十三)几何问题的代数解法一、选择题1圆x2y21上的点到直线3x4y250的距离的最小值是()A6B4C5D1解析：圆心到直线3x4y250的距离为5.则圆上的点到直线3x4y250的距离最小值为514.答案：B2方程y表示的曲线是()A一条射线B一个圆C两条射线D半个圆解析：由y得x2y225.y0, 曲线表示半个圆答案：D3若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)2y21有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()A(，)B，C.D解析：显然直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为yk(x4)依题意，圆心到直线l的距离d1，故k.答案：D4点P是直线2xy100上的动点，直线PA
2、、PB分别与圆x2y24相切于A、B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值为()A24B16C8D4解析：四边形PAOB的面积S2|PA|OA|22，当直线OP垂直直线2xy100时，|OP|2.其面积S最小值为8.答案：C二、填空题5已知直线x2y30与圆(x2)2(y3)29相交于E，F两点，圆心为C，则CEF的面积为_解析：圆心(2，3)到直线x2y30的距离为d，|EF|224，SCEF42.答案：26若点P(x，y)在圆C：(x2)2y23上，则的最大值是_解析：半径PC，OC2，是圆上的点与原点连线的斜率当OP与圆上方相切时，此时斜率最大，则POC60，tan POC
3、.答案：三、解答题7在ABC中，D是BC边上任意一点(D与B、C不重合)，且|AB|2|AD|2|BD|DC|，求证：ABC为等腰三角形证明：如图，作AOBC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)因为|AB|2|AD|2|BD|DC|，所以由两点间的距离公式，得b2a2d2a2(db)(cd)，即(db)(bd)(db)(cd)，又db0，故bdcd，即bc.所以ABC为等腰三角形8有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3
4、倍，已知A，B两地距离10 km，顾客选A或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点解：如图，以A、B所确定的直线为x轴，A、B中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则A(5,0)，B(5,0)，设某地P的坐标为(x，y)，假设居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费3a元/千米，B地的运费为a元/千米，价格xA地运费价格xB地运费3aa，a0，3.化简为(x)2y2()2.以点C为圆心，为半径的圆是这两条购货区域的分界线圆C内的居民，从A地购货便宜，圆C外的居民，从B地购货便宜，圆C上的居民
5、，从A、B两地购货的总费用相等，因此可随便从A、B两地之一购货一、选择题1已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A B4 C8 D9解析：设P(x，y)，则2化简，得x2y24x0配方，得(x2)2y24.故点P的轨迹是半径为2的圆Sr24答案：B2台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间是()A0.5 hB1 hC1.5 hD2 h解析：如右图所示，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)
6、，以B为圆心，30为半径的圆的方程为(x40)2y2302，台风中心移动到圆B内时，B城市将处于危险区，台风移动所在直线方程为yx，它与圆B相交弦为MN，则可求得|MN|20 km，1，所以B城市位于危险区内的时间为1 h.答案：B二、填空题3已知xy10，那么的最小值是_解析：表示点P(x，y)和点(2，3)的距离，则的最小值为点(2，3)到直线xy10的距离，d2.答案：24已知圆O的方程是x2y22，圆O的方程是x2y28x100，由动点P向圆O和圆O所引的切线的长相等，则动点P的轨迹方程是_解析：设P(x，y)，圆x2y8x100配方得(x4)2y26，由题意得x2y22(x4)2y2
7、6，整理得x.答案：x三、解答题5已知两圆C1：x2y26y0，C2：(x2)2(y1)21.(1)求证：两圆外切，且x轴是它们的一条公切线；(2)求切点间的两弧与x轴所围成图形的面积解：(1)证明：圆C1的方程为x2(y3)29，圆心C1(0,3)，半径r13，圆C2的圆心C2(2，1)，半径r21，如图所示|C1C2|4，r1r24，圆C1和圆C2外切圆心C1，C2到x轴的距离分别为3,1，圆C1与圆C2均与x轴相切又两圆心的纵坐标分别为3,1，故两圆均在x轴上方，x轴为它们的一条公切线(2)直线C1C2的斜率k，OC1C260，C1C2A120，扇形OC1B的面积，扇形AC2B的面积，梯
8、形OC1C2A的面积24，所求面积44.6已知点P(x，y)在圆x2y26x6y140上(1)求的最大值和最小值；(2)求x2y22x3的最大值与最小值；(3)求xy的最大值与最小值解：圆x2y26x6y140变形为(x3)2(y3)24.如图所示(1)表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小设切线方程为ykx，即kxy0，由圆心C(3,3)到切线距离等于半径2，可得2，解得k，所以，的最大值为，最小值为.(2)x2y22x3(x1)2y22，它表示圆上的点P到E(1,0)的距离的平方再加2，所以，当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P与点E的距离的最大值为|CE|2，点P与点E距离的最小值为|CE|2，|CE|5，所以x2y22x3的最大值为(52)2251，最小值为(52)2211.(3)设xyb，则b表示动直线yxb的纵截距，显然当动直线yxb与圆(x3)2(y3)24相切时，b取最大值或最小值圆心C(3,3)到切线xyb的距离等于圆的半径2，则2，即|b6|2，解得b62，所以，xy的最大值为62，最小值为62.