1、10.7 直线与椭圆的位置关系课标要求考情分析核心素养1.掌握利用一元二次方程根的判别式判断直线与椭圆的位置关系的方法，且能根据位置关系求参数的值或取值范围2.熟练掌握利用根与系数的关系解决直线与椭圆相交时的弦长问题与面积问题3.会利用“点差法”和“根与系数的关系法”解决直线与椭圆相交时的“中点弦”问题4.会利用点关于直线对称的相关结论解决椭圆中的对称问题新高考3年考题题 号考 点数学建模数学运算逻辑推理数学抽象2022()卷16椭圆的弦长，直线与椭圆的位置关系的应用2022()卷16椭圆的中点弦问题2021()卷20椭圆的弦长，利用直线与圆的位置关系求参2020()卷21椭圆中的最值问题1.
2、点Px0,y0与椭圆x2a2+y2b2=1ab0的位置关系(1)点P在椭圆外x02a2+y02b21；(2)点P在椭圆上x02a2+y02b2=1；(3)点P在椭圆内x02a2+y02b20有2个交点相交；=0有1个交点相切；b0的弦,Ax1,y1,Bx2,y2，弦中点M(x0,y0)，则直线AB的斜率kAB=-b2x0a2y0.3.当点Px0,y0在椭圆x2a2+y2b2=1ab0上时，过该点的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.1.【P114 T2】已知椭圆x2+y22=1，则椭圆截直线y=2x-1所得的弦长为2.【P145 T7】已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)经过两点(0
3、,1)，(3,12)(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l:x-y-1=0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求AOB的面积S考点一直线与椭圆的位置关系【方法储备】1.判断直线与椭圆的位置关系 【典例精讲】例1.(2022江苏省苏州市期末)椭圆x24+y23=1上的点P到直线x+2y-9=0的最短距离为()A. 5B. 755C. 955D. 1355【名师点睛】设与直线x+2y-9=0平行且与椭圆相切的直线方程为x+2y+m=0，联立方程x24+y23=1x+2y+m=0，求得m的值，进而求得椭圆x24+y23=1上的点到直线x+2y-9=0距离的最小值【靶向训练】 练1-1(2022
4、河南省平顶山市模拟)已知椭圆x24+y23=1，直线l：x+my-m=0(mR)，直线l与椭圆的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定练1-2(2022山东省滨州市模拟)若直线y=x+2与椭圆x2m+y23=1有两个公共点，则m的取值范围是考点二弦长问题【方法储备】1.利用“根与系数关系法”解决直线与椭圆的弦长问题的步骤2.利用根与系数的关系处理直线与椭圆相交的有关问题时，切线要考虑以下两点：直线斜率不存在的情况;判别式0(当直线经过椭圆内部的点时，直线与椭圆必定相交，此时可不用不考虑判别式).【典例精讲】例2.(2022全国新高考1卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a
5、b0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则ADE的周长是【名师点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力根据e=12可得A(0,3c)，F1(-c,0)，F2(c,0)，则lAF2：y=-3x+3c，lED：y=33(x+c)，解得交点M坐标，直线DE垂直平分AF2，即EA=EF2，DA=DF2，联立方程结合韦达定理可求得c=138，即可求得ADE的周长【靶向训练】练2-1(2022湖北省武汉市期末)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的上顶点与椭圆的
6、左，右顶点连线的斜率之积为-14.(1)求椭圆C的离心率；(2)若直线y=12(x+1)与椭圆C相交于A，B两点，|AB|=352，求椭圆C的标准方程练2-2(2022河南省濮阳市期末)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，上顶点为A(0,1)(1)求E的方程;(2)过点P(0,3)斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两M、N，且MN=827，求k的值考点三焦点弦、中点弦问题【方法储备】1.椭圆的焦点弦设椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的右焦点为F,过F的直线l与椭圆相交于A、B两点.长弦AF=b2a-ccos,短弦BF=b2a+ccos(是直线l与x轴的夹角，而非倾斜
7、角),对于双曲线有同样的结论.2.解决“中点弦”问题的方法(1)根与系数的关系法：联立直线和椭圆的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.(2)点差法的解题模板角度1 焦点弦问题【典例精讲】例3.(2022陕西省模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为33，短轴一个端点到右焦点的距离为3()求椭圆C的方程；()过椭圆的左焦点且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，求AB【名师点睛】本题考查直线与椭圆的交点弦长，属于基础题()由题意得离心率及长半轴长及a，b，c之间的关系，求出椭圆的方程；()由题意写出直线l的方程与椭圆联立写出两根之和及之积
8、，再由弦长公式求出弦长【靶向训练】练3-1(2022安徽省模拟)过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为3的弦AB，则弦AB的长为()A. 67B. 167C. 716D. 76练3-2(2021江苏省扬州市模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线x22-y2=1共焦点，且过点(3,12)()求椭圆的方程;()设坐标原点O，过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，若椭圆上点E与线段AB的中点N满OE=2ON，求弦长|AB|角度2 中点弦问题【典例精讲】例4.(2022辽宁省沈阳市联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2
9、，BF1F2为直角三角形，过点P(1,0)的直线l与椭圆交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，|MN|=6(1)求椭圆C的标准方程;(2)若MN的中点的横坐标为23，求|MN|【名师点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的相交的中点弦问题，解题中需要一定的计算能力(1)由条件得b=c，从而a2=2b2，又可得到椭圆经过点(1,62)，代入即可求出椭圆的标准方程；(2)设出直线方程，联立直线与椭圆方程，结合根与系数的关系可求出直线的斜率，由弦长公式可得出答案.【靶向训练】练3-3(2021湖北省武汉市联考)已知AB为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的一条弦，点M为AB的中点，椭圆离心率e=12，
10、kOM=-14，则kAB=()A. 1B. 2C. 3D. 4练3-4(2022江苏省扬州市期末)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63(1)证明：a=3b；(2)若点M(910,-310)在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OPOQ求直线l的方程；求椭圆C的标准方程核心素养系列 数学运算、逻辑推理与椭圆有关的范围(最值)问题【方法储备】1.圆锥曲线最值问题类型：(1)由题目中的限制条件求范围,如直线与圆锥曲线的位置关系中的范围,方程中变量的范围,角度的大小等；(2)将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不
11、等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式的应用2.处理圆锥曲线最值问题的求解方法：圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.3.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面角度1 与椭圆有关的范围问题【典例精讲】例5.(2022江苏省苏州市四校联考)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)，F为左焦点，上顶点P到F的距离为2，且离心率为32(
12、1)求椭圆C的标准方程；(2)设斜率为k的动直线l与椭圆C交于M，N两点，且|PM|=|PN|，求k的取值范围【名师点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力(1)由上顶点P到F的距离为2，可得a=2，结合椭圆离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；(2)当k=0时，由椭圆的对称性，|PM|=|PN|成立；当k0时，设直线l：y=kx+m，联立直线方程与椭圆方 程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0可得4k2-m2+10，由|PM|=|PN|，得kPQk=-1，结合根与系数的关系得m=-4k2+13，代入4k2-m2+10，即可求得k的取值范围
13、【靶向训练】练4-1(2022湖南省益阳市模拟)已知椭圆C:x24+y23=1，O为坐标原点，E(3,32)，AB是椭圆C的一条弦，若弦AB的中点在线段OE(不含端点O,E)上，则OAOB的取值范围是()A. (-134,154)B. -134,+)C. -134,154)D. (0,154练4-2(2022安徽省滁州市期中)已知点A、B的坐标分别是(0,-1)、(0,1)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为-12(1)求点M轨迹C的方程；(2)若过点D(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、F，试求OEF面积的取值范围(O为坐标原点)角度2 与椭圆有关的最值问题【典例
14、精讲】例6.(2022浙江卷) 如图，已知椭圆x212+y2=1.设A，B是椭圆上异于P(0,1)的两点，且点Q(0,12)在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y=-12x+3于C，D两点(I)求点P到椭圆上点的距离的最大值;(II)求|CD|的最小值【名师点睛】本题考查了椭圆的性质，点与椭圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系及其应用，考查了计算能力.【靶向训练】练4-3(2022湖北省联考)已知P为椭圆x24+y2=1(y-1)上任一点，过P作圆C:x2+y+22=1的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则CMCN的最小值为()A. 0B. -34C. -79D. -1114练4-4(20
15、20海南卷)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为12(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求AMN的面积的最大值易错点1弦长公式选择不合理例7.(2022江苏省模拟)已知椭圆两顶点A(-1,0)，B(1,0)，过焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点.则当|CD|=322时，直线l的方程为. 答案解析【教材改编】1.【解析】联立方程x2+y22=1y=2x-1，消去y得：6x2-4x-1=0，x1+x2=23，x1x2=-16，由弦长公式得弦长为：1+22(x1+x2)2-4x1x2=549+23=523，故答案为：5232
16、.【解析】 (1)根据题意，椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)经过两点(0,1)，(3,12)则有b2=13a2+14b2=1，解得：a=2，b=1，即椭圆E的方程为x24+y2=1(2)记A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l的方程为x=y+1由x2+4y2=4x=y+1消去x得5y2+2y-3=0，所以y1=-1,y2=35设直线l与x轴交于点P(1,0)，S=12|OP|y1-y2|=45【考点探究】例1.【解析】设与直线x+2y-9=0平行且与椭圆相切的直线方程为x+2y+m=0，联立方程x24+y23=1x+2y+m=0，消去x，整理得16y2-12my+3m2-12=0，
17、所以=144m2-64(3m2-12)=0，解得m=4，当m=-4时，两平行直线的距离为55=5，当m=4时，两平行直线的距离为135=1355所以最小值为5故选：A练1-1.【解析】由题意知l：x+my-m=0(mR)恒过点(0,1)，该点在椭圆x24+y23=1内部，所以直线l与椭圆相交故选C练1-2.【解析】将直线y=x+2代入椭圆x2m+y23=1消去y得(3+m)x2+4mx+m=0，因为直线与椭圆有两个公共点，则有m0=(4m)2-4m(3+m)0,解得m1，由x2m+y23=1表示椭圆知m3，综上满足条件的m的取值范围是(1,3)(3,+)故答案为：(1,3)(3,+)例2.【解
18、析】由椭圆离心率为12，可得a=2c，则b=a2-c2=3c，则椭圆C：x24c2+y23c2=1，A(0,3c)，F1(-c,0)，F2(c,0)，易得lAF2：y=-3x+3c，lED：y=33(x+c)，可解得AF2与DE的交点M(c2,3c2)，故直线DE垂直平分AF2，即EA=EF2，DA=DF2，又x24c2+y23c2=1y=33(x+c)13x2+8cx-32c2=0xD+xE=-8c13xDxE=-32c213,|DE|=1+13|xD-xE|=6(xD+xE)2-4xDxE=27c=138，所以ADE的周长|AD|+|AE|+|DE|=DF2+EF2+DF1+EF1=4a=
19、8c=13练2-1.【解析】 (1)由题知，椭圆上顶点的坐标为0,b，左右顶点的坐标分别为-a,0、a,0，ba-ba=-14，即a2=4b2，则a=2b，又a2=b2+c2，c=3b，所以椭圆的离心率e=ca=32；(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，联立x24b2+y2b2=1y=12x+1得：2x2+2x+1-4b2=0，=32b2-40，x1+x2=-1，x1x2=1-4b22，AB=x1-x22+y1-y22=52x1+x22-4x1x2=528b2-1=352，解得8b2-1=7，b2=1，满足0，a2=4，椭圆C的方程为x24+y2=1练2-2.【解析】 (1)因为椭圆E:x2a
20、2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，上顶点为A(0,1)，所以b=1，ca=22，即c=22a，因为a2=b2+c2，解得a2=2，所以椭圆E的方程为x22+y2=1；(2)根据题意，设直线l:y=kx+3，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则y=kx+3x22+y2=1，整理得(1+2k2)x2+43kx+4=0，=(43k)2-44(1+2k2)0，即k21，x1+x2=-43k1+2k2，x1x2=41+2k2，|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=4(1+k2)(k2-1)1+2k2=827，即17k4-32k2-57=0，解得：k2=3或-
21、1917(舍去)，k=3例3.【解析】 ()由题意：e=ca=33，即a=3c，短轴一个端点到右焦点的距离为3，即b2+c2=(3)2=3，而a2=b2+c2，所以a2=3，b2=2，所以椭圆的方程：x23+y22=1；()由()，左焦点(-1,0)，直线l的方程：y=x+1，设A(x,y)，B(x,y)，联立直线l与椭圆的方程，消去y整理得：5x2+6x-3=0，所以x+x=-65，xx=-35，|AB|=1+k2(x+x)2-4xx=1+1(-65)2-4(-35)=835练3-1.【解析】椭圆的方程可化为x24+y22=1，F(-2,0)又直线AB的斜率为k=3，直线AB的方程为y=3x
22、+6由y=3x+6,x2+2y2=4,得7x2+122x+8=0设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=-1227，x1x2=87，|AB|=(x1-x2)2+y1-y22=(x1-x2)2+kx1-x22=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=167故选B练3-2.【解析】 ()依题意3a2+14b2=1a2-b2=3，得a2=4b2=1,故椭圆方程为：x24+y2=1()设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，点N的坐标为(x0,y0)，(1)当直线l与x轴重合时，线段AB的中点N就是原点O，不合题意，舍去;(2)设直线l:x=my+3,联立x24+y2=1x=my+3,消
23、去x，得(m2+4)y2+23my-1=0，则y1+y2=-23mm2+4，y1y2=-1m2+4，y0=-3mm2+4,x0=my0+3=-3m2m2+4+3m2+43m2+4=43m2+4，点N的坐标为(43m2+4,-3mm2+4)，若OE=2ON，则点E的坐标为(83m2+4,-23mm2+4)，由点E在曲线C上，得48(m2+4)2+12m2(m2+4)2=1，即m4-4m2-32=0，m2=8(m2=-4舍去).|y1-y2|=12m2+4m2+16m2+4=4m2+1m2+4=1，|AB|=1+m2y1-y2=1+81=3例4.【解析】 (1)因为BF1F2为直角三角形，所以b=
24、c，从而a2=2b2当直线/垂直于x轴时，|MN|=6，所以椭圆经过点(1,62)，所以1a2+32b2=1所以a=2，b=2，故椭圆C的标准方程为x24+y22=1;(2)设直线/的方程为y=k(x-1)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立方程组x24+y22=1,y=k(x-1),得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-4=0，则x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-42k2+1因为x1+x2=4k22k2+1=43，所以k=1.因为x1+x2=43，x1x2=-23，所以|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2169+423=453 练3-3.【解析】设直线AB
25、与椭圆相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，M(xM,yM).直线AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2，e2=1-b2a2，b2a2=1-e2=34由x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0，kAB=y1-y2x1-x2=-xMyMb2a2=-1kOMb2a2=434=3.故选C练3-4.【解析】证明：(1)由题意ca=63，c2a2=23，即：2a2=3c2=3(a2-b2)a2=3b2，可得a=3b；得证(2)由(1)可得方程为x23b2+y2b2=1，即x2+3y2=3b2，点M(910,-
26、310)在椭圆内部，(910)2+3(-310)23010设直线与椭圆的交点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，可得x12+3y12=3b2；x22+3y22=3b2；由-得：(x1+x2)(x1-x2)=-3(y1+y2)(y1-y2)；M为线段PQ的中点，y1-y2x1-x2=3，由点斜式可得直线l的方程为y=3x-3.即3x-y-3=0联立x2+3y2=3b2y=3(x-1)，把直线方程代入椭圆方程得：x2+9(x-1)2=3b2，即：10x2-18x+9-3b2=0x1+x2=95,x1x2=9-3b210，又OPOQ，而OP=(x1,y1),OQ=(x2,y2)，OPOQ=x1x2+
27、y1y2=x1x2+3(x1-1)3(x2-1)=0，即4x1x2-3(x1+x2)+3=0将代入，解得b2=1符合题意a2=3椭圆方程为x23+y2=1【素养提升】例5.【解析】 (1)由上顶点P到F的距离为2，可得a=2，又e=ca=32，故c=3，从而b=a2-c2=1椭圆C的标准方程为x24+y2=1；(2)上顶点P(0,1)，当k=0时，由椭圆的对称性，|PM|=|PN|成立；当k0时，设直线l：y=kx+m，联立y=kx+mx24+y2=1，得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0则=64m2k2-16(4k2+1)(m2-1)0，即4k2-m2+10，设M(x1,y1)，N
28、(x2,y2)，则x1+x2=-8mk4k2+1，y1+y2=k(x1+x2)+2m=-8mk24k2+1+2m=2m4k2+1，故线段MN的中点为Q(-4mk4k2+1,m4k2+1)，从而直线PQ的斜率kPQ=m4k2+1-1-4mk4k2+1=m-4k2-1-4mk，由|PM|=|PN|，得PQMN，即kPQk=-1，即m-4k2-1-4m=-1，故m=-4k2+13由4k2-m2+10，可得4k2+1-(4k2+1)290，整理得8-4k20，解得-2k0解得m212，因为AB的中点在线段OE(不含端点O,E)上，所以m0，所以0m20，解得k232设E(x1,y1)，F(x2,y2)
29、，且点F在点E上方，则x1+x2=-8k2k2+1,x1x2=62k2+1SOEF=SOED-SOFD=12OD|x1|-12OD|x2|=12OD|x1-x2|=122|x1-x2|=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=(-8k2k2+1)2-462k2+1=16k2-24(2k2+1)2=16(k2-32)(2k2+1)2令k2-32=t(t0)，所以k2=t+32(t0)则SOEF=16t(2t+4)2=4t(t+2)2=2tt2+4t+4=21t+4t+4214+4=22当且仅当t=2，即k=142时，等号成立所以SOEF(0,22例6.【解析】 (I)设E(x0,y0)在椭
30、圆上，则x0212+y02=1，又P(0,1)，所以|PE|2=x02+(y0-1)2=12(1-y02)+y02-2y0+1=-11y02-2y0+13，y0-1,1，所以|PE|2max=14411，即|PE|max=121111(II)设直线AB:y=kx+12，直线与椭圆联立，得(k2+112)x2+kx-34=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，故x1+x2=-kk2+112x1x2=-34(k2+112)PA:y=y1-1x1x+1，与y=-12x+3交于C，则xC=4x1x1+2y1-2=4x1(2k+1)x1-1，同理可得，xD=4x2x2+2y2-2=4x2(2k+1)
31、x2-1则|CD|=1+14|xC-xD|=52|4x1(2k+1)x1-1-4x2(2k+1)x2-1|=25x1-x22k+1x1-12k+1x2-1=25x1-x2(2k+1)2x1x2-(2k+1)(x1+x2)+1=25kk2+1122+3k2+112-2k+1234k2+112+2k+1kk2+112+1=35216k2+13k+1=65516k2+1916+13k+1655,等号在k=316时取到练4-3.【解析】圆C:x2+(y+2)2=1，圆心C(0,-2)，半径r=1，如图，不妨设MCN=2，由对称性可知PCM=PCN=，则CMCN=|CM|CN|cosMCN=11cos2
32、=cos2=2cos2-1，由切线性质得CNPN，CMPM，cos=|CM|PC|=1|PC|，故CMCN=2cos2-1=2|PC|2-1，设点P(x,y)，则x24+y2=1，得x2=4-4y2，点C(0,-2)，|PC|2=x2+(y+2)2=4-4y2+y2+4y+4=8+4y-3y2，又-1b0)过点M(2,3)，可得416+9b2=1，解得b2=12，所以C的方程：x216+y212=1(2)设与直线AM平行的直线方程为：x-2y=m，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时AMN的面积取得最大值将x-2y=m与椭圆方程：x216+y212=1联立，化简可得
33、：16y2+12my+3m2-48=0，所以=144m2-416(3m2-48)=0，即m2=64，解得m=8，与AM距离比较远的直线方程为：x-2y=8，利用平行线之间的距离为：d=8+41+4=1255，又A(-4,0)，M(2,3)，所以|AM|=35所以AMN的面积的最大值：12351255=18【易错点归纳】例7.【解析】设椭圆的方程为y2a2+x2b2=1(ab0)，则b2=1，c2=1，所以a2=b2+c2=2，故椭圆方程为y22+x2=1.设直线l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程并整理得(k2+2)x2+2kx-1=0x1+x2=-2kk2+2,x1x2=-1k2+2,由|CD|=322，得(1+k2)4k2(k2+2)2+4k2+2=92，解得k2=2，k=2所以直线l的方程为y=2x+1，即2x-y+1=0或2x+y-1=0故答案为：2x-y+1=0或2x+y-1=0
