1、活页作业(八)函数的极大值和极小值1函数f(x)的定义域为R，导函数yf(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点解析：设f(x)的图象与x轴的交点坐标从左往右依次为(x1,0)，(x2,0)，(x3,0)，(x4,0)，则当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，x1)(x1，x2)(x2，x3)(x3，x4)(x4，)f(x)f(x)故f(x)有两个极大值点，两个极小值点答案：C2若x2与x4是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点，则有()A a2，b4Ba3，b
2、24Ca1，b3Da2，b4解析：f(x)3x22axb，依题意有2和4是方程3x22axb0的两个根有24，24.解得a3，b24.答案：B3已知函数yxln(1x2)，则y的极值情况是()A有极小值B有极大值C既有极大值又有极小值D无极值解析：由yxln(1x2)，得y10.故函数无极值答案：D4设aR，若函数yeax3x，xR有大于零的极值点，则()Aa3BaDa解析：令yaeax30，得eax.设x0为大于0的极值点，eax00.a0，ax00.0eax01，即01.a0时，x3.函数的单调递增区间为(，2)和(3，)答案：B6函数f(x)x33x2，给出下列说法：f(x)是增函数，无
3、极值；f(x)是减函数，无极值；f(x)的单调递增区间是(，0和2，)，单调递减区间是0,2；f (0)0是极大值，f(2)4是极小值其中正确的序号是_.解析：f(x)3x26x3x(x2)令f(x)0，解得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值由上表可以清晰地看出，f(x)在(，0和2，)上是递增的，在0,2上是递减的，且f(x)的极值情况如下：f(x)极大值f(0)0，f(x)极小值f(2)4.可知是正确的答案：7若函数yx36x2m的极大值等于13，则实数m等于_.解析：y3x212x，由y0，得x0或x
4、4.容易得出当x4时函数取得极大值43642m13.解得m19.答案：198若函数ykx3x2kx4在R上无极值，则实数k的取值范围是_.解析：y3kx22xk.函数在R上无极值，即y0或y0恒成立0，即(2)24k3k0.解得k或k.答案：9求下列函数的极值：(1)f(x)x33x29x5；(2)f(x).解：(1)函数f(x)x33x29x5的定义域为R，且f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值因此，x1是函数的极大值点，极大值为f(1)10；x3是函数的
5、极小值点，极小值为f(3)22.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，令f(x)0，解得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)极大值因此，xe是函数的极大值点，极大值为f(e)；没有极小值点10已知函数f(x)ax3bx2，当x1时，有极大值3.(1)求a，b的值(2)求函数f(x)的极小值解：(1)当x1时，函数有极大值3，f(x)3ax22bx，解得a6，b9.(2)f(x)18x218x18x(x1)当f(x)0时，x0或x1；当f(x)0时，0x1；当f (x)0时，x1.函数f(x)6x39x2的极小值为f(0)0.
6、11设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图象的一部分如图所示，则正确的是()Af(x)的极大值为f()，极小值为f()Bf(x)的极大值为f()，极小值为 f()Cf(x)的极大值为f(3)，极小值为f(3)Df(x)的极大值为f(3)，极小值为f(3)解析：由题图可知，当x(，3)时，xf(x)0，即f(x)0；当x(3,0)时，xf(x)0；当x(0,3)时，xf(x)0，即f(x)0；当x(3，)时，xf(x)0，即f(x)0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是_.解析：令f(x)3x23a0，解得x.则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，
7、)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值解得f(x)的单调递减区间是(1,1)答案：(1,1)14如图是函数yf(x)导数的图象，对于下列四种说法：函数f(x)在2，1上是递增的；x1是f(x)的极小值点；函数f(x)在1,2上是递增的，在2,4上是递减的；3是函数f(x)的极小值点其中正确的是_.解析：根据导数与函数的单调性、极值之间的关系可判断答案：15设函数f(x)x33x1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同实根，求实数a的取值范围解：(1)f(x)3x23，令f(x)0，解得x11，x21.当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0.
8、f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)；f(x)的单调递减区间为(1,1)当x1时，f(x)有极大值3；当x1时，f(x)有极小值1.(2)由(1)得函数yf(x)的图象大致形状如图所示当1a0.故f(x)在R上为增函数(3)由(1)知f(x)2e2x2e2xc.而2e2x2e2x24，当x0时等号成立下面分三种情况进行讨论：当c0，此时f(x)无极值；当c4时，对任意x0，f(x)2e2x2e2x40，此时f(x)无极值；当c4时，令e2xt，注意到方程2tc0有两根t10，t20，即f(x)0有两个根x1ln t1，x2ln t2.当x1xx2时f(x)x2时，f(x)0.从而f(x)在xx2处取得极小值综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，)