1、第6节 双曲线 A级基础巩固1已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，(4，0)，则c4，a2，b212，焦点在x轴上，所以双曲线方程为1，故选A.答案：A2(多选题)若双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2x ByxC2x2y20 D4x2y20解析：由条件e，得13，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx，即2x2y20.答案：BC3(2020济南市期末)方程1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A3m0 B3m2C3m4 D1m3解析：根据题意，方程1表示双曲线，
2、则有(m2)(m3)0，解得3m2，要求方程1表示双曲线的一个充分不必要条件，则所给集合必须是m|3m2的非空真子集，依次分析选项，只有A符合条件答案：A4(2020黄石市期末)已知F1，F2是双曲线E：1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B.C. D2解析：由题意可画下图，设|MF1|m，则|MF2|2am，因为MF1与x轴垂直，所以(2am)2m24c2，所以m，因为sinMF2F1，所以am，所以ab，所以ca，所以e.答案：A5(2018全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为
3、M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A. B3C2 D4解析：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y x.设两渐近线夹角为2，则有tan ，所以30.所以MON260.又OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MNON，如图所示在RtONF中，|OF|2，则|ON|.则在RtOMN中，|MN|ON|tan 2tan 603.故选B.答案：B6(2020馆陶一中月考)如果F1，F2分别是双曲线1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|6，则ABF2的周长是_解析：由题意知：a4，b3，故c5.由双曲线的定义知|AF2|AF1|8，|BF2|BF1|8，得：|AF2|B
4、F2|AB|16，所以|AF2|BF2|22，所以ABF2的周长是|AF2|BF2|AB|28.答案：287(2020上海市期末)已知双曲线的渐近线方程为yx，且过点(4，)，则此双曲线的方程为_解析：双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为：4y2x2m，双曲线经过点(4，)，可得：816m，m8，所求双曲线方程为：1.答案：18设双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|AF2|的最小值为_解析：由双曲线的标准方程为1，得a2，由双曲线的定义可得|AF2|AF1|4，|BF2|BF1|4，所以|AF2|AF1|BF2|BF1|8.因为|AF
5、1|BF1|AB|，当|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|BF2|)min|AB|min8810.答案：109(2020福州市期末)已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为，求AB的长解：(1)由得(1k2)x22kx20，(*)双曲线C与直线l有两个不同的交点则方程(*)有两个不同的实数根，所以解得k且k1.所以若C与l有两个不同交点，k的取值范围是(，1)(1，1)(1，)(2)设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)得x1x22，即k2k0，解得：k或k
6、.因为k0，b0)，点A、F分别为其右顶点和右焦点，B1(0，b)，B2(0，b)，若B1FB2A，则该双曲线的离心率为()A1 B. C. D.1解析：根据题意，已知双曲线1(a0，b0)，点A、F分别为其右顶点和右焦点，设A(a，0)，F(c，0)，则(c，b)，(a，b)，若B1FB2A，则有acb20，又由c2a2b2，则有c2a2ac0，变形可得：e2e10，解得e或e(舍)，故e.答案：C12(2020泰州市期中)设双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点M、N.若MNF1为正三角形，则该双曲线的离心率为_解析：由题意可知，MNx轴
7、，|NF2|，|F1F2|2c，所以|NF1|24c2|MN|2.所以4a2c23b43(c2a2)23a46a2c23c4，整理得3e410e230，解得e23或e2(舍去)，所以e或e(舍去)答案：13(2020昆明外国语学校月考)双曲线C以坐标轴为对称轴，渐近线方程为yx，且经过点P(2，3)(1)求双曲线C的标准方程(2)是否存在直线l过点M(2，2)交双曲线C于A、B两点，且点M是线段AB的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)依题意，设双曲线方程为3x2y2(0)，点P(2，3)代入，得3，所以双曲线的方程是3x2y23，即x21.(2)设A(x1，y1)，
8、B(x2，y2)，A、B都在双曲线上，所以于是(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，所以10，若点M(2，2)是线段AB的中点，则所以kAB1，得kAB3，于是直线l的方程为y23(x2)，即3xy40，联立整理得6x224x190，此时1200，所以方程有两个实数根，即l与双曲线有两个交点，符合题意C级素养升华14(多选题)平面内与两定点A1(0，a)，A2(0，a)(a0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线，以下四个结论中正确的为()A当m1时，曲线C是一个圆B当m2时，曲线C的离心率为C当m2时，曲线C的渐近线方程为
9、yxD当m(，1)(0，)时，曲线C的焦点坐标分别为和解析：设动点为M(x，y)，当x0时，由条件可得kMA1kMA2m，即y2mx2a2(x0)，又A1(0，a)，A2(0，a)的坐标满足y2mx2a2.所以当m1时，曲线C的方程为y2x2a2，C是圆心在原点的圆，故A正确当m2时，曲线C的方程为1，C是焦点在y轴上的椭圆，ca，离心率为，故B正确当m2时，曲线C的方程为1，表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为yxx，故C错误当m(，1)时，曲线C的方程为1，表示焦点在y轴上的椭圆，由ca，可知焦点坐标分别为和；当m(0，)时，C是焦点在y轴上的双曲线，方程为1，由ca，可知焦点坐标分别为和，故D正确答案：ABD
