1、备考训练14双曲线、抛物线小题备考一、单项选择题1已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为y2x，则C的离心率为()A. B.C. D.2已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.132020山东济南质量评估若抛物线y22px(p0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|8，则弦AB的中点到y轴的距离为()A2 B3C4 D642020山东青岛质量检测已知双曲线C：1，(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，|2|2m，(m0)，m2
2、，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx52020山东临沂模拟若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆x2(y2)22所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为()A. B2C. D26抛物线C：y22px(p0)焦点为F，过C上一点D作直线DE垂直准线于E，DEF恰好为等腰直角三角形，其面积为4，则抛物线方程为()Ay22x By22xCy24x Dy24x72019全国卷设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B.C2 D.8已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P
3、是它们的一个交点，且F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则()A4 B2C2 D3二、多项选择题9双曲线C：(0)，当变化时，以下说法不正确的是()A焦点坐标不变 B顶点坐标不变C渐近线不变 D离心率不变102020山东滨州质量检测已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为1的是()A离心率为B双曲线过点C渐近线方程为3x4y0D实轴长为4112020山东烟台诊断测试已知抛物线C：y24x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则()A若x1x26，
4、则|PQ|8B以PQ为直径的圆与准线l相切C设M(0,1)，则|PM|PP1|D过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条122020山东德州模拟已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|8，则以下结论正确的是()Ap4 B.C|BD|2|BF| D|BF|4三、填空题13已知直线l是抛物线y22px(p0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与直线l相切，则抛物线的方程为_142020山东师大附中模拟若双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则双曲线C的渐近线
5、方程为_152020山东日照模拟双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，其渐近线与圆(xa)2y23相切，则双曲线C的方程是_162020山东潍坊模拟已知点P，Q分别是抛物线C：y24x和直线x60上的动点，点M是圆K：(x1)2y21上的动点，则抛物线C的焦点坐标为_；的最小值为_备考训练14双曲线、抛物线小题备考1解析：双曲线的渐近线方程为y，一条渐近线的方程为y2x，2，设bt，a2t，则ct，离心率e.故选C.答案：C2解析：由题设知，又由椭圆1与双曲线有公共焦点，易知a2b2c29，由解得a2，b，则双曲线C的方程为：1.答案：B3解析：因为抛物线y22px(p0)的焦点到准线的距离
6、为2，所以2，故p2，抛物线为y24x，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)又由抛物线的性质：焦点弦|AB|x1x2p，所以8x1x22，则x1x26，所以AB的中点到y轴的距离为d3.故选B.答案：B4解析：因为|PF1|PF2|2a，|2|2m，可得m2a，由m2可得4a2acosF1PF24a2，所以F1PF260，即有4c24a216a224a2a12a2，即c2a2b23a2，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.故选D.答案：D5解析：双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，由对称性，不妨设yx，即bxay0.圆x2(y2)22的圆心坐标为(
7、0,2)，半径为，则圆心到渐近线的距离d1，所以1，解得e2.答案：B6解析：根据抛物线的定义可得|DF|DE|，又DEF恰好为等腰直角三角形，所以EDF90，所以|DE|DF|4，所以|DE|DF|2，p|DE|2.故选D.答案：D7.解析：设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|.在RtOPM中，|OM|2|MP|2|OP|2得22a2，故，即e.答案：A8解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设焦点在x轴上且点P与点F
8、2在y轴同一侧，根据椭圆和双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，所以|PF1|a1a2，|PF2|a1a2.又|F1F2|2c，F1PF2，所以在F1PF2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos，化简得3aa4c2，两边同除以c2，得4.故选A.答案：A9解析：当由正数变成负数，则焦点由在x轴转为在y轴，故A错误顶点坐标和离心率都会随改变而改变，故B、D错误该双曲线渐近线方程为yx，不会随的改变而改变，故选ABD.答案：ABD10解析：由题意，可得：焦点在
9、x轴上，且c5，A选项，若离心率为，则a4，所以b2c2a29，此时双曲线的方程为：1，故A正确；B选项，若双曲线过点，则，解得此时双曲线的方程为：1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x4y0，可设双曲线的方程为：m(m0)，所以c216m9m25，解得：m1，所以此时双曲线的方程为：1，故C正确；D选项，若实轴长为4，则a2，所以b2c2a221，此时双曲线的方程为：1，故D错误；故选ABC.答案：ABC11解析：对于选项A，因为p2，所以x1x22|PQ|，|PQ|8，故A正确；对于选项B，设N为PQ中点，设点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1，则由梯形性质可得NN1，
10、故B正确；对于选项C，因为F(1,0)，所以|PM|PP1|PM|PF|MF|，故C正确；对于选项D，显然直线x0，y1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线为ykx1，联立可得k2x2(2k4)x10，令0，则k1，所以直线yx1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误；故选ABC.答案：ABC12解析：如下图所示：分别过点A、B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E、M.抛物线C的准线m交x轴于点P，则|PF|p，由于直线l的斜率为，其倾斜角为60，AEx轴，EAF60，由抛物线的定义可知，|AE|AF|，则AEF为等边三角形，EFPAEF60，则PEF30，|AF|EF
11、|2|PF|2p8，得p4，A选项正确；|AE|EF|2|PF|，又PFAE，F为AD的中点，则，B选项正确；DAE60，ADE30，|BD|2|BM|2|BF|(抛物线定义)，C选项正确；|BD|2|BF|，|BF|DF|AF|，D选项错误故选ABC.答案：ABC13解析：由已知圆心在OF的中垂线上，故圆心到准线的距离为p，所以p3，所以p4，故抛物线的方程为y28x.答案：y28x14解析：由题意，即3，2，渐近线方程为：yx.答案：yx15解析：由已知得2，即b23a2；又由渐近线bxay0与圆(xa)2y23相切得，联立得a24，b212，所以双曲线方程为1.答案：116解析：y24x的焦点F(1,0)，准线方程为x1，要使|PM|取得最大，可得PM经过点F，即|PM|PF|1，要使|PQ|取得最小，PQ必须垂直于直线x6，可得|PQ|PF|5，所以(|PF|1)82816，当且仅当|PF|3时上式取得最小值16.答案：(1,0)16