1、专题限时集训(十)空间几何体表面积或体积的求解 建议A、B组各用时：45分钟 A组高考达标一、选择题1(2016石家庄二模)一个三棱锥的正视图和俯视图如图1011所示，则该三棱锥的侧视图可能为()图1011D分析三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD平面BCD，故选D.2(2016潍坊二模)已知某几何体的三视图如图1012所示，则该几何体的体积为()图1012A.B.C.D(2)B由三视图可知该几何体由半球内挖去一个同底的圆锥得到，所以该几何体的体积为V13121.3(2016烟台模拟)某几何体的三视图如图1013所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为()图1013A13
2、B.C13D1D由三视图可知，几何体是一个三棱柱，体积V12224，设外接球的半径为R，则4R222222212，所以R.所以球的体积V2R34，体积比V1V2441.4(2016湖北七市模拟)已知某几何体的三视图如图1014所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为()图1014A.B2 C3D4B分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABCA1B1C1截去四棱锥ABEDC得到的，故其体积V22322，故选B.5(2016广州二模)如图1015，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为()图1015A884B882C22D.A在正方体中还原出该
3、四面体CA1EC1如图所示，可求得该四面体的表面积为884.二、填空题6(2016昆明一模)已知三棱锥PABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36，那么P到平面ABC距离的最大值为_32依题意，边长是的等边ABC的外接圆半径r1.球O的表面积为364R2，球O的半径R3，球心O到平面ABC的距离d2，球面上的点P到平面ABC距离的最大值为Rd32.7(2016山东省实验中学模拟)三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则_.如图，设SABDS1，SPABS2，E到平面ABD的距离为h1
4、，C到平面PAB的距离为h2，则S22S1，h22h1，V1S1h1，V2S2h2，所以.8(2016海口二模)半径为2的球O中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是_16()设内接正四棱柱底边长为a，高为h，那么162a2h22ah，正四棱柱的侧面积S4ah16，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是16()三、解答题9(2016合肥二模)如图1016，P为正方形ABCD外一点，PB平面ABCD，PBAB2，E为PD的中点图1016(1)求证：PACE；(2)求四棱锥PABCD的表面积解(1)证明：取PA的中点F，连接EF
5、，BF，则EFADBC，即EF，BC共面PB平面ABCD，PBBC，又BCAB且PBABB，BC平面PAB，BCPA.3分PBAB，BFPA，又BCBFB，PA平面EFBC，PACE.6分(2)设四棱锥PABCD的表面积为S，PB平面ABCD，PBCD，又CDBC，PBBCB，CD平面PBC，CDPC，即PCD为直角三角形，8分由(1)知BC平面PAB，而ADBC，AD平面PAB，故ADPA，即PAD也为直角三角形SABCD224，SPBCSPABSPDA222，SPCD22，10分S表SABCDSPBCSPDASPABSPCD102.12分10(2016湖北七市模拟)如图1017，一个侧棱长
6、为l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度)若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1C1的中点D，E，F，G.图1017(1)求证：平面DEFG平面ABB1A1；(2)当底面ABC水平放置时，求液面的高解(1)证明：因为D，E分别为棱AC，BC的中点，所以DE是ABC的中位线，所以DEAB.又DE平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，所以DE平面ABB1A1.同理DG平面ABB1A1，又DEDGD，所以平面DEFG平面ABB1A1.6分(2)当直三棱柱ABCA1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABCA1B1C
7、1容器的高，即侧棱长l，当底面ABC水平放置时，设液面的高为h，ABC的面积为S，则由已知条件可知，CDEABC，且SCDES，所以S四边形ABEDS.9分由于两种状态下液体体积相等，所以V液体ShS四边形ABEDlSl，即hl.因此，当底面ABC水平放置时，液面的高为l.12分B组名校冲刺一、选择题1(2016济宁模拟)如图1018所示，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，且PD2，底面是边长为2的菱形，M是CD的中点，平面PMB平面PCD，则该四棱锥的体积为()图1018A.B4C.D4A过点D在平面PCD内作DNPM于点N，又平面PMB平面PCD，平面PMB平面PCDPM，所以DN平面
8、PMB，所以DNBM.又由PD平面ABCD，得PDBM，又PD与DN是平面PDC内的两条相交直线，所以BM平面PDC，则BMCD.又点M是CD的中点，BCCD，所以BCD60，所以底面菱形ABCD的面积为22sin 602，故该四棱锥的体积为22.2(2016重庆二模)某几何体的三视图如图1019所示，则该几何体的体积为()图1019A.B.C.D.B根据三视图可知，几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2，高为1)；该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为1,2，高为1)，因此该几何体的体积为211211，选B.3(2016唐山
9、二模)某几何体的三视图如图1020所示，则该几何体的体积为()图1020A64B4C.D2D由三视图知，该几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱体，与底面半径为1，高为2的半圆柱体构成，所以该三视图的体积为1211222，故选D.4(2016江西上饶三模)从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若OP，则球的体积为()A.B.C.D.C设OP交平面ABC于O，由题得ABC和PAB为正三角形，所以OAABAP.因为AOPO，OAPA，所以，所以OA1，即球的半径为1，所以其体积为13.选C.二、填空题5(2016广州二模)一个六棱柱的底面是正六边形，侧
10、棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点在同一个球面上，则该球的体积为_. 【导学号：67722038】由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r1, 其高h1，球半径为R，该球的体积VR33.6(2016开封一模)在三棱锥PABC中，ABBC，AC6，PC平面ABC，PC2，则该三棱锥的外接球表面积为_. 【导学号：67722039】由题可知，ABC中AC边上的高为，球心O在底面ABC的投影即为ABC的外心D，设DADBDCx，x232(x)2，解得x，R2x221(其中R为三棱锥外接球的半径)，外接球的表面积S4R2.三、解答题7如图1021，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，BADADC9
11、0，ABADCD，BEDF.图1021(1)若M为EA中点，求证：AC平面MDF；(2)若AB2，求四棱锥EABCD的体积解(1)证明：设EC与DF交于点N，连接MN，在矩形CDEF中，点N为EC中点，因为M为EA中点，所以MNAC.2分又因为AC平面MDF，MN平面MDF，所以AC平面MDF.4分(2)取CD中点为G，连接BG，EG，平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCDCD，AD平面ABCD，ADCD，所以AD平面CDEF，同理ED平面ABCD，7分所以ED的长即为四棱锥EABCD的高.8分在梯形ABCD中，ABCDDG，ABDG，所以四边形ABGD是平行四边形，BGAD，所以
12、BG平面CDEF.又DF平面CDEF，所以BGDF，又BEDF，BEBGB，所以DF平面BEG，DFEG.10分注意到RtDEGRtEFD，所以DE2DGEF8，DE2，所以VEABCDS梯形ABCDED4.12分8如图1022，在多面体ABCDM中，BCD是等边三角形，CMD是等腰直角三角形，CMD90，平面CMD平面BCD，AB平面BCD，点O为CD的中点，连接OM.图1022(1)求证：OM平面ABD；(2)若ABBC2，求三棱锥ABDM的体积解(1)证明：CMD是等腰直角三角形，CMD90，点O为CD的中点，OMCD.1分平面CMD平面BCD，平面CMD平面BCDCD，OM平面CMD，
13、OM平面BCD.2分AB平面BCD，OMAB.3分AB平面ABD，OM平面ABD，OM平面ABD.4分(2)法一：由(1)知OM平面ABD，点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.5分过点O作OHBD，垂足为点H.AB平面BCD，OH平面BCD，OHAB.6分AB平面ABD，BD平面ABD，ABBDB，OH平面ABD.7分ABBC2，BCD是等边三角形，BD2，OD1，OHODsin 60.9分V三棱锥ABDMV三棱锥MABDABBDOH22.11分三棱锥ABDM的体积为.12分法二：由(1)知OM平面ABD，点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.5分ABBC2，BCD是等边三角形，BD2，OD1.6分连接OB，则OBCD，OBBDsin 60.7分V三棱锥ABDMV三棱锥MABDV三棱锥OABDV三棱锥ABDOODOBAB12.11分三棱锥ABDM的体积为.12分
