1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 【知识梳理】1.平面的基本性质(1)公理1:如果一条直线上的_在一个平面内,那么 这条直线在这个平面内.(2)公理2:过_的三点,有且只有一个平 面.(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么 它们_过该点的公共直线.两点 不在一条直线上 有且只有一条 2.空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类:相交 平行 任何一个平面(2)平行公理(公理4)和等角定理:平行公理:平行于同一条直线的两条直线_.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角_.互相平行 相等或互补(3)异面直线所成的角:定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一
2、点O作直 线aa,bb,把a与b所成的_叫 做异面直线a与b所成的角(或夹角);范围:_.锐角(或直角)(0,23.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相 交 _ _个 平 行 _ _个 在 平 面 内 _ _个 a=A 1 a 0 a 无数 图形语言 符号语言 公共点 平面与平面 平 行 _ _个 相 交 _个 0 =l无数【特别提醒】1.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.2.
3、异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.3.确定平面的三个推论(1)推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.(2)推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.(3)推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.4.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修2P52习题2.1B组T1(2)改编)如图 所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别 是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成 的角的大小为(
4、)A.30 B.45 C.60 D.90【解析】选C.连接B1D1,D1C,则B1D1EF,故D1B1C为所求,又B1D1=B1C=D1C,所以D1B1C=60.2.(必修2P43练习T1改编)两两相交的三条直线最多可确定 个平面.【解析】当三条直线共点且不共面时,最多可确定3个平面.答案:3 感悟考题 试一试 3.(2015广东高考)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面 内,l2在平面 内,l是平面 与平面 的交线,则下列命题正确的是()A.l至少与l1,l2中的一条相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l与l1,l2都不相交【解析】选A.直线l1和l2是
5、异面直线,l1在平面内,l2在平面内,=l,则l至少与l1,l2中的一条相交.4.(2016青岛模拟)在正四棱锥V-ABCD中,底面正方形 ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角 的大小为 .【解析】如图,设ACBD=O,连接VO,因为 四棱锥V-ABCD是正四棱锥,所以VO平面 ABCD,故BDVO.又四边形ABCD是正方形,所以BDAC,所以BD平面VAC,所以BDVA,即异面 直线VA与BD所成角的大小为 .答案:22考向一 平面的基本性质【典例1】(1)以下命题中,正确命题的个数是()不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,
6、则A,B,C,D,E共面;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;依次首尾相接的四条线段必共面.A.0 B.1 C.2 D.3(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1 的中点.求证:E,C,D1,F四点共面;CE,D1F,DA三线共点.【解题导引】(1)根据公理2及确定平面的推论判断.(2)对于,只需证明EFCD1即可;对于,先证明CE,D1F的交点既在平面ABCD内,又在 平面ADD1A1内,再利用公理3证明交点在DA上.【规范解答】(1)选B.中若有三点共线,则四点共面,不合题意,故正确;中若点A,B,C在同一条直线上,则A,B,C,D,E不
7、一定共面,故错误;中,直线b,c可能是异面直线,故错误;中,当四条线段构成空间四边形时,四条线段不共面,故错误.(2)如图,连接CD1,EF,A1B,因为E,F分别是AB和AA1的中点,所以EFA1B且EF=A1B.又因为A1D1BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形.12所以A1BCD1,所以EFCD1,即EF与CD1确定一个平面.且E,F,C,D1,即E,C,D1,F四点共面.由知,EFCD1,且EF=CD1,所以四边形CD1FE是梯形.所以CE与D1F必相交,设交点为P,如图,则PCE平面ABCD,且PD1F平面A1ADD1.又因为平面ABCD平面A1ADD1=AD,
8、所以PAD,所以CE,D1F,DA交于一点.12【规律方法】1.证明点共面或线共面的常用方法(1)直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面.(2)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.(3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面,重合.2.证明空间点共线问题的方法(1)公理法:第(2)题证明过程用到此方法,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.【变式训练】如图所示,四边形ABEF和 ABCD都是梯形,BC AD,BE
9、 FA,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形.(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?1212【解析】(1)由已知FG=GA,FH=HD,得GH AD.又BC AD,所以GH BC,所以四边形BCHG是平行四边形.1212(2)方法一:由BE AF,G为FA中点知BE GF,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EFBG.由(1)知BGCH,所以EFCH,所以EF与CH共面.又DFH,所以C,D,F,E四点共面.12方法二:如图所示,延长FE,DC分别与AB交于点M,M.因为BE AF,所以B为MA的中点.因为BC AD,所以B为MA的中点,所以M与M重合,即F
10、E与DC交于点M(M),所以C,D,F,E四点共面.1212【加固训练】如图,在四边形ABCD中,已知ABCD,直线AB,BC,AD,DC分 别与平面 相交于点E,G,H,F,求证:E,F,G,H四点必定共 线.【解析】因为ABCD,所以AB,CD确定一个平面.又因为AB=E,AB,所以E,E,即E为平面与的一个公共点.同理可证F,G,H均为平面与的公共点,因为两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点 的公共直线,所以E,F,G,H四点必定共线.考向二 空间直线的位置关系【考情快递】命题方向命题视角异面直线的判定以平面或简单几何体为载体,判断空间直线是否是异面直线平行和垂直的判定主要以简单
11、几何体为载体,考查三角形(梯形)的中位线,平行四边形等在平行判断中的应用,考查线面垂直的性质在判定线线垂直中的应用【考题例析】命题方向1:异面直线的判定【典例2】(2016德州模拟)在图中,G,H,M,N分别是 正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是 异面直线的图形有 (填上所有正确答案的 序号).【解题导引】根据异面直线的判定定理判断.【规范解答】图中,直线GHMN;图中,G,H,N三点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面;图中,连接MG,GMHN,因此GH与MN共面;图中,G,M,N共面,但H平面GMN,因此GH与MN异面,所以在图中GH与MN异面.答案:命题方向2:
12、平行和垂直的判定【典例3】(2016济南模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误 的是()A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行【解题导引】先证MN与BD平行,然后根据BD与各直线的 位置关系,判断MN与各直线的位置关系.【规范解答】选D.如图,连接C1D,在C1DB中,MNBD,故C正确;因为CC1平面ABCD,所以CC1BD,所以MN与CC1垂直,故A正确;因为ACBD,MNBD,所以MN与AC垂直,故B正确;因为A1B1与BD异面,MNBD,所以MN与A1B1不可能平行,故D错误.【技
13、法感悟】1.异面直线的判定方法(1)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.(2)定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2.线线平行或垂直的判定方法(1)对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断.(2)对于线线垂直,往往利用线面垂直的定义,由线面垂直得到线线垂直.【题组通关】1.(2016东营模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,C
14、F=2FA,则EF与BD1 的位置关系是()A.相交但不垂直 B.相交且垂直 C.异面 D.平行【解析】选D.连接D1E并延长,与AD交于点M,因为A1E=2ED,可得M为AD的中点,连接BF并延长,交AD于点N,因为CF=2FA,可得N为AD的中点,所以M,N重合,且 所以 所以EFBD1.1ME1 MF1,ED2 BF21MEMF,EDBF2.(2016莱芜模拟)设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是 (填序号).若AC与BD共面,则AD与BC共面;若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线;若AB=AC,DB=DC,则AD=BC;若AB=AC,DB=DC,则AD
15、BC.【解析】对于,由于点A,B,C,D共面,显然结论正确.对于,假设AD与BC共面,由正确得AC与BD共面,这与题设矛盾,故假设不成立,从而结论正确.对于,如图,当AB=AC,DB=DC,使二面角 A-BC-D的大小变化时,AD与BC不一定相等,故不正确.对于,如图,取BC的中点E,连接AE,DE,则由题设得BCAE,BCDE.根据线面垂直的判定定理得BC平面ADE,从而ADBC.答案:3.(2016上饶模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点 P,Q,R分别是线段B1B,AB和A1C上的动点,观察直线CP与D1Q,CP与D1R,给出下列结论:对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QC
16、P;对于任意给定的点Q,存在点P,使得CPD1Q;对于任意给定的点R,存在点P,使得CPD1R;对于任意给定的点P,存在点R,使得D1RCP.其中正确的结论是_.【解析】只有D1Q平面BCC1B1,即D1Q平面ADD1A1时,才能满足对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QCP,因为过D1点与平面DD1A1A垂直的直线只有一条D1C1,而D1C1AB,所以错误;当点P与B1重合时,CPAB,且CPAD1,所以CP平面ABD1,因为对于任意给定的点Q,都有D1Q平面ABD1,所以对于任意给定的点Q,存在点P,使得CPD1Q,所以正确;只有CP垂直D1R在平面BCC1B1中的射影时,D1RCP,所
17、以正确;只有CP平面A1CD1时,才正确,因为过C点的平面A1CD1的垂线与BB1无交点,所以错误.答案:考向三 异面直线所成的角【典例4】(1)如图,在底面为正方形,侧 棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角 的余弦值为()1234A.B.C.D.5555(2)(2014全国卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与 AN所成的角的余弦值为()(真题溯源:本题源自A版必修2P48练习T2)12302A.B.C.D.105102【解题导引】(1)连接BC1,先
18、利用AD1BC1找出所求的角,再利用余弦定理求解.(2)通过平行关系找出异面直线的夹角,再根据余弦定理求解.【规范解答】(1)选D.连接BC1,易证BC1AD1,则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,则A1C1=,A1B=BC1=,故cosA1BC1=255524.5255(2)选C.如图,取BC的中点D,连接MN,ND,AD,由于MN B1C1 BD,所以四边形BMND是平行四边形,因此ND BM,则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成 的角(或其补角),设BC=2,则BM=ND=,AN=,AD=,因此cosAND=12655222NDN
19、AAD30.2ND NA10【母题变式】1.若本例题(1)条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 ”,试求 的值.9101AAAB【解析】设 =t,则AA1=tAB.因为AB=1,所以AA1=t,连接BC1,易证BC1AD1,则A1BC1为异面直线A1B与AD1所成角,又因为A1C1=,A1B=BC1,所以cosA1BC1=所以t=3,即 =3.1AAAB22t12222t1t1 29,102t1t1 1AAAB2.在本例题(1)的条件下,若点P在平面A1B1C1D1内且不 在对角线B1D1上,过点P在平面A1B1C1D1内作一直线m,使 m与直线B
20、D成 角,且 .这样的直线可作几条?(0,2【解析】在平面A1B1C1D1内作m,使m与B1D1相交成角.因为BDB1D1,所以直线m与BD也成角,当=时,m只有一条,当 时,这样的直线有两条.22【规律方法】1.平移法求异面直线所成角的常见类型(1)利用图中已有的平行线平移.(2)利用特殊点(线段的端点或中点、空间某特殊点)作平行线平移.(3)补形平移.2.求异面直线所成角的三个步骤(1)作:通过作平行线,得到相交直线.(2)证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角(或其补角).(3)求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求
21、的角.【变式训练】(2015揭阳模拟)如图所示,在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AA1AB=1,则异面直 线AB1与BD所成的角为 .2【解析】如图,取A1C1的中点D1,连接B1D1,因为点D是AC的中点,所以B1D1BD,所以 AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角.连接AD1,设AB=a,则AA1=a,所以AB1=a,B1D1=a,AD1=222213a2aa.42所以,在AB1D1中,由余弦定理得,cosAB1D1=所以AB1D1=60.答案:60 2221111111ABB DAD2AB B D222393aaa1442323aa2，【加固训练】1.在正方体A
22、BCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值为()1212A.B.C.D.3355【解析】选D.如图,取AB的中点E,连接 B1E,则AMB1E.取EB的中点F,连接FN,则B1EFN,因此 AMFN,连接CF,则直线FN与CN所夹锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角.设AB=1,在CFN中,由余弦定理得cos=|cosCNF|5517CN,FN,CF.244222CNFNCF2|.2CN FN52.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为 各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将 ABC沿DE,EF,DF折成正四面体P-DEF,则
23、四面体中异面直线PG与DH所成的角的余 弦值为 .【解析】如图,连接HE,取HE的中点K,连接GK,PK,则GKDH,故PGK即为所求的异面直线所成的角或其补角.设这个正四面体的棱长为2,在PGK中,故cosPGK=即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是 .答案:22337PG3,GK,PK1(),222222373()()222.3323223233.(2016兰州模拟)如图,E,F分别是三棱锥P-ABC的棱AP,BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为_.【解析】取AC的中点M,连接EM,MF,因为E,F是中点,所以MFAB,MF=AB=3,MEPC,ME=PC=5,所以MF与ME所成的角即为AB与PC所成的角(或其补角).在三角形MEF中,cosEMF=所以 EMF=120,所以异面直线AB与PC所成的角为60.答案:60 1262121022225371512 5 3302 ，
