1、课时作业(六十八)不等式的证明1若a0，b0，且。(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由。解析：(1)由，得ab2，且当ab时等号成立。故a3b324，且当ab时等号成立。所以a3b3的最小值为4。(2)由(1)知，2a3b24。由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6。2(2016福建质检)若a，b，cR，且满足abc2。(1)求abc的最大值；(2)证明：。解析：(1)因为a，b，cR，所以2abc3，故abc。当且仅当abc时等号成立，所以abc的最大值为。(2)证明：因为a，b，cR，且abc2，所以根据柯西不等式，可得(abc)()2()2()2
2、2。所以。3已知函数f(x)|xa|x3|，aR。(1)当a1时，求不等式f(x)4的解集；(2)若不等式f(x)2的解集为空集，求实数a的取值范围。解析：(1)当a1时，f(x)|x1|x3|所以不等式f(x)4的解集为或或，即0x4，故不等式f(x)4的解集为x|0x4。(2)因为f(x)|xa|x3|(xa)(x3)|3a|，因为不等式f(x)2的解集为空集，则|3a|2，解之3a2或3a2，即a5或a1，故实数a的取值范围是a|a1或a5。4(2016太原二模)已知函数f(x)|xa|(a0)。(1)当a2时，求不等式f(x)3的解集；(2)证明：f(m)f4。解析：(1)当a2时，f
3、(x)|x2|，原不等式等价于或或x，不等式的解集为。(2)证明：f(m)f|ma|224(当且仅当时等号成立)。5(2016山西四校联考)设函数f(x)|x2|x2|，xR。不等式f(x)6的解集为M。(1)求M；(2)当a2，b2M时，证明：|ab|ab3|。解析：(1)|x2|x2|6等价于或或，解得3x3，M3,3。(2)当a2，b2M，即0a23,0b23时，要证|ab|ab3|，即证3(ab)2(ab3)2，3(ab)2(ab3)23(a22abb2)(a2b26ab9)3a23b2a2b29(a23)(3b2)0，|ab|ab3|。6(2015湖南卷)设a0，b0，且ab。证明：
4、(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，则ab。由于ab0，则ab1，即有ab22，当且仅当ab取得等号，则ab2。(2)假设a2a2与b2b2可能同时成立。由a2a0，可得0a1，由b2b0，可得0b1，这与ab1矛盾。所以a2a2与b2b2不可能同时成立。7(2016佳木斯一模)已知f(x)|x1|x1|，不等式f(x)4的解集为M。(1)求M；(2)当a，bM时，证明：2|ab|4ab|。解析：(1)f(x)|x1|x1|当x1时，由2x4，得2x1；当1x1时，f(x)21时，由2x4，得1x2。所以M(2,2)。(2)当a，bM，即2a，b2，4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)0，4(ab)2(4ab)2，2|ab|4ab|。8(2016天水模拟)设不等式2|x1|x2|0的解集为M，a、bM，(1)证明：；(2)比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由。解析：(1)记f(x)|x1|x2|由22x10解得x，则M。a、bM，|a|，|b|所以|a|b|。(2)由(1)得a2，b20，所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|。
