1、解 析 几 何一、直线的方程【考纲要求】内容要求ABC直线的斜率和倾斜角直线的方程直线的平行关系和垂直关系两条直线的交点两点的距离，点到直线的距离1. 本节内容主要考查直线方程的基本概念、倾斜角、斜率、两直线平行、垂直的判定、两点的距离、点到直线的距离。2. 题型以填空为主，解答题主要综合考查直线与圆和圆锥曲线的位置关系。难度以容易题、中档题为主。【典例解析】【例1】坐标平面上四条直线、与轴、轴及直线的相关位置如图所示，其中直线与垂直，与平行。设、的方程分别为，以及。则下列选项中正确的是 。 ； ； ； ； 【考点分析】本题主要考查直线倾斜角、斜率、两直线平行、垂直的判定等基础知识以及数形结合
2、思想。答案：解析：由题意和图形可以得出：，。 故错误，正确；又，所以也正确。二、圆的方程【考纲要求】内容要求ABC圆的标准方程与一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系空间直角坐标系1.本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，在求解时，要根据条件恰当的选择圆方程的形式，同时能借助圆的几何性质，简化解题思路和计算量。在复习时，应对本节内容适度提高难度。2. 直线与圆、圆与圆的位置关系是数形结合的重要背景之一，试题背景简单，内涵丰富，容易上手，解法多样，不同的解法可以体现不同的思维层次。直线与圆相切、相交是考查的重点，考查解答题的可能性较大。3.适当关注用方程思想解决与圆有关的问题。【典例解析】【例2
3、】经过三点A（4，3），B（5，2），C（1，0）的圆的方程是 。【考点分析】本题主要考查运用待定系数法求圆的方程以及计算能力。答案：解析：方法一：设所求的圆方程为，A、B、C三点在圆上， ，解得 故所求的圆方程是：。方法二：AC的中垂线方程是；BC的中垂线方程是，求得交点（3，1）即为所求圆的圆心，故，所求圆方程是：。方法三：由题意可得ABC为直角三角形，A为直角，故ABC的外接圆的圆心为斜边BC中点（3，1），半径，所求圆方程是：。【例3】若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为 . 【考点分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数学结合思想。答案：或。解析：由题意得，圆心到直线
4、的距离为， 【例4】已知两圆方程分别为和，则两圆的公切线方程是 .【考点分析】本题主要考查圆与圆的位置关系，直线的方程。答案：解析：由题可知，两圆内切，切点为（2，2）,切线斜率为-1，所以公切线方程为，即。【例5】在平面直角坐标系中，设二次函数（）的图象与两个坐标轴有三个交点经过三个交点的圆记为（1）求实数b的取值范围；（2）求圆的方程；（3）问圆是否经过定点（其坐标与的无关）？请证明你的结论【考点分析】本小题主要考查含有参变量的二次函数、圆的方程以及曲线过定点等有关知识，考查运算求解能力和探究问题的能力解析：（1）显然否则，二次函数的图象与两个坐标轴只要有两个交点，这于题设不符由知，二次函
5、数的图象与轴有一个非原点的交点，故它与轴必有两个交点，从而方程有两个不相等的实数根，因此方程的判别式，即所以，的取值范围是（2）由方程，得于是，二次函数的图象与坐标轴的交点是设圆的方程为因圆过上述三点，将它们的坐标分别代入圆的方程，得 解上述方程组，得 所以，圆的方程为（3）圆C 必过定点证明如下：假设圆C过定点 ，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为 （*）为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，结合（*）式得，解得经检验知，点均在圆C上因此，圆C 过定点【例6】如图，平面直角坐标系中，和为两等腰直角三角形，C(a,0)(a0)设和的外接圆圆心分别为, （1）若M与直线CD相切，求直线CD的
6、方程；（2）若直线AB截N所得弦长为4，求N的标准方程；（3）是否存在这样的N，使得N上有且只有三个点到直线AB的距离为，若存在，求此时N的标准方程；若不存在，说明理由【考点分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的方程，考查灵活应用几何条件简化解析几何问题的方法，考查数性结合的数学思想。解析：（1）圆心圆方程为，直线CD方程为 M与直线CD相切, 圆心M到直线CD的距离d=, 化简得： （舍去负值） 直线CD的方程为（2）直线AB方程为：，圆心N 圆心N到直线AB距离为 直线AB截N的所得弦长为4，a=(舍去负值) N的标准方程为 （3）存在由（2）知，圆心N到直线AB距离为(定值)，且AB
7、CD始终成立，当且仅当圆N半径,即a=4时，N上有且只有三个点到直线AB的距离为此时， N的标准方程为 三、圆锥曲线【考纲要求】内容要求ABC中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质1. 圆锥曲线的考查重点在基本量的计算上，如根据条件求出曲线的标准方程或离心率等。在求解时，首先要考虑圆锥曲线的焦点位置，然后将方程化成标准方程，再计算基本量，否则，容易出错。2. 双曲线的渐近线是一种独特的性质，也是高考考查的重点。但双曲线和抛物线都是A级要求，注意控制难度，不必超出课本要求。3. 要重视和加强圆锥曲线的定义在解题
8、时的运用。4. 在直线与圆锥曲线的相交问题上，通过联立方程组利用韦达定理处理问题是一种基本思路，但要控制难度，要求不宜高。5. 关注向量与解几相结合的问题，此类问题一般有两种思路：一是向量坐标运算，二是利用向量的几何意义解题。【典例解析】：【例7】过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 。 【考点分析】本题主要考查椭圆的概念、几何性质，考查计算能力。x答案：解析：方法一：Rt 中， 由椭圆定义得，。方法二：因为，再由有从而可得。【例8】已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率 。【考点分析】本题主要考查双曲线的几何性质，考查分类讨论思想。
9、答案：或解析：若双曲线的焦点在轴上，则，设，则 所以离心率；若双曲线的焦点在轴上，则，设，则 所以离心率。【例9】设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF平行.(1)求椭圆的离心率；(2)设入射光线与右准线的交点为B，过A，B，F三点的圆恰好与直线3x一y+3=0相切，求椭圆的方程.【考点分析】本题主要考查直线、直线与圆相切与椭圆的标准方程及几何性质等，考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。解析：因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为，即，所以，所以椭圆的离心率为由知，可得，又，所以过三点的圆的圆心坐标为，半径， 因为
10、过三点的圆恰好与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，得， 所以，所以椭圆的方程为【例10】已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，点A，B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为。（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EPEQ，求的取值范围。【考点分析】本题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及计算能力。解析：(1)由离心率 ，得 原点O到直线AB的距离为 ， 将代入，得， 则椭圆C的标准方程为（2） 设，则，即 ， 则的取值范围为。【巩固练习】1已知直线与直线垂直，则 。2半径为，
11、且与直线切于点P（2，2）的圆方程为 。3若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为 .4若与相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 。5已知：以点C (t, )(t , t 0)为圆心的圆与轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点（1）求证：OAB的面积为定值； （2）设直线y = 2x+4与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程6已知，直线：和圆：（1）求直线斜率的取值范围；（2）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？7在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则 8抛物线的准线方程为 。9已知椭圆C：上的两点
12、在轴上的射影分别为椭圆的左、右焦点，且两点的连线的斜率为。（1）求椭圆的离心率的大小；（2）设点M（0，3）在椭圆内部，若椭圆C上的点到点M的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围。10已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切（）求m的值与椭圆E的方程；（）设Q为椭圆E上的一个动点， 求的取值范围【答案与解析】1 2设圆方程为：，则 解得 或 所求圆的方程是：或。3。4由题意，且，又与在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以有，。5（1）， 设圆的方程是 令，得；令，得 ，即：的面积为定值 （2）垂直
13、平分线段 ，直线的方程是 ，解得： 当时，圆心的坐标为，此时到直线的，圆与直线相交于两点当时，圆心的坐标为，此时到直线的距离，圆与直线不相交，不符合题意舍去圆的方程为6（1）直线的方程可化为，直线的斜率，因为，所以，当且仅当时等号成立所以，斜率的取值范围是（2）方法一：不能由（）知的方程为，其中圆的圆心为，半径圆心到直线的距离由，得，即从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧方法二：设直线与圆相交于A、B两点，若直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧，则圆心角，则圆心到直线的距离，化简得，故m无解。所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧7的焦
14、点是A（-4，0）、C（4，0），顶点B在椭圆上，AB+BC=2a=10，由正弦定理得。8 9（1）设点，其中， 点在椭圆上， ，从而， 解得（舍），.（2）由（1）知，故椭圆方程为点M（0，3）在椭圆内部， .设为椭圆上任意一点，则其中.，当时，的最大值为.依题意:, . ，又，即 椭圆的短轴长的取值范围是.10（）点A代入圆C方程，得m3，m1 圆C：设直线PF1的斜率为k，则PF1：，即直线PF1与圆C相切，解得 当k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为4，c4F1（4，0），F2（4，0） 2aAF1AF2，a218，b22椭圆E的方程为： 2（），设Q（x，y）， ，即，而，186xy18 则的取值范围是0，36的取值范围是6，6的取值范围是12，0
