1、长沙市一中 2011 届高三月考试卷(六)数 学(文科)长沙市一中高三文科数学备课组组稿 命题人：陈 震 审题人：汤清亮(考试范围：集合、逻辑用语、算法、函数、导数、三角函数、立体几何、平面向量、复数、数列、不等式、概率统计、解析几何)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若 Ax|x10，Bx|x30，b0)的离心率为54，抛物线 y220 x 的准线过双曲线的左焦点，则此双曲线的方程为A.x24 y23 1 B.x23
2、y24 1C.x216y29 1 D.x29 y21618.已知实系数一元二次方程 x2(1a)xab10 的两个实根为 x1、x2，满足 0 x12.则 ba1的取值范围是A.(1，13)B.(3，1)C.(3，12)D.(3，12)二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.sin45cos15cos45sin15的值为 .10.若adbc，则复数 .11.函数 y2cos2x21 的最小正周期是 .12.若直线 l：y1k(x2)被圆 C：x2y22x240 截得的弦 AB 最短，则直线 AB 的方程是 .13.有一个底面圆半径
3、为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 .14.已知向量 a(3,4)，|ab|1，则|b|的范围是 .15.某同学在研究函数 f(x)x1|x|(xR)时，分别给出下面几个结论：等式 f(x)f(x)0 对 xR 恒成立；函数 f(x)的值域为(1,1)；若 x1x2，则一定有 f(x1)f(x2)；函数 g(x)f(x)x 在 R 上有三个零点.其中正确结论的序号有 .(请将你认为正确的结论的序号都填上)三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本
4、小题满分 12 分)在ABC 中，角 A、B、C 的对应边分别为 a，b，c，且满足 a2abb2c2.(1)求角 C；(2)若ABC 的面积为 3，c2，求 ab 的值.17.(本小题满分 12 分)如图，边长为 2 的等边PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面，BC2 2，E、M 分别是 DC、BC 的中点.(1)证明：AM面 PME；(2)求二面角 PAMD 的大小.18.(本小题满分 12 分)已知：ABC 为直角三角形，C 为直角，A(0，8)，顶点 C 在 x 轴上运动，M 在 y 轴上，AM 12(AB AC)，设 B 的运动轨迹为曲线 E.19.(本小题满分 13
5、分)统计某校高三年级 100 名学生的数学月考成绩，得到样本频率分布直方图如下图所示，已知前 4 组的频数分别是等比数列 an 的前 4 项，后 6 组的频数分别是等差数列 bn 的前 6 项，(1)求数列 an、bn 的通项公式；(2)设 m、n 为该校学生的数学月考成绩，且已知 m、n)70，80 140，150，求事件“|mn 10”的概率.20.(本小题满分 13 分)为了加快经济的发展，某省选择 A、B 两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在 A、B 两城市的周边修建城际轻轨，假设 10km 为一个单位距离，A、B 两城市相距 8 个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为 E，使轻轨 E
6、 上的点到 A、B 两市的距离之和为 10 个单位距离，(1)建立如图的直角坐标系，求城际轻轨所在曲线 E 的方程；(2)若要在曲线 E 上建一个加油站 M 与一个收费站 N，使 M、N、B 三点在一条直线上，并且 AMAN12 个单位距离，求 M、N 之间的距离有多少个单位距离？(3)在 A、B 两城市之间有一条与 AB 所在直线成 45的笔直公路 l，直线 l 与曲线 E 交于 P，Q 两点，求四边形 PAQB 的面积的最大值.21.(本小题满分 13 分)定义在 D 上的函数 f(x)，如果满足：对任意 xD，存在常数 M，都有 f(x)M 成立，则称 f()x 是 D 上的有界函数，其
7、中 M 称为函数 f()x 的下界.已知函数 f(x)(x23x3)ex，其定义域为2，t(t2)，设 f(2)m，f(t)n.(1)试确定 t 的取值范围，使得函数 f(x)在2，t上为单调递增函数；(2)试判断 m，n 的大小，并说明理由；并判断函数 f()x 在定义域上是否为有界函数，请说明理由；(3)求证：对于任意的 t2，总存在 x0(2，t)满足f(x0)ex0 23(t1)2，并确定这样的 x0 的个数.文科数学参考答案 三、解答题 16.解：(1)由 cosCa2b2c22ab12，C3.(5 分)(2)由 S12absinC 3，ab4，(8 分)故 a2b28，故 ab(a
8、b)2 a22abb2 884.(12 分)17.解：(1)连接 EA，PCD 为正三角形，PECD，平面 PCD平面 ABCD，PE平面 ABCD，PEAM.(3 分)四边形 ABCD 是矩形，ADE、ECM、ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM 3，AM 6，AE3，EM2AM2AE2，AME90，AMEM.(4 分)又 EMPEE，AM面 PME.(6 分)(2)AM平面 PME，PMAM，PME 是二面角 PAMD 的平面角，PEPDsin60 3，tanPME PEEM 331，PME45，二面角 PAMD 为 45.(12 分)18.解：(1)由 AM 12(AB AC)，
9、知 M 为 BC 中点，(2 分)设 B(x，y)则 M(0，y2)，C(x,0).(4 分)又C 为直角，故 CB CA 0，x24y(5 分)B 的运动轨迹曲线 E 的方程为 x24y.(x0)(6 分)(2)QP PN，点 P 是线段 QN 的中点，设 Q(x1，y1)、N(x2，y2)，线段 QN 的中点 P(2,4)，设 l：y4k(x2)方法一：则 x214y1，x224y2，得：4y14y2(x1x2)(x1x2)，(8 分)直线 l 的斜率为 ky1y2x1x214(x1x2)1.(11 分)方法二：由错误!，消去 y 得 x24kx8k160，(*)方程(*)中 16(k22
10、k4)0，显然方程(*)有两个不相等的实数根.(8 分)由 x1x24k4k1.(11 分)所以直线 l 的方程为 xy20.(12 分)19.解：(1)由已知：第 2 组的频数为 3，第 3 组的频数为 9，又前 4 组的频数是等比数列，所以 an3n1，(3 分)又第 4 组的频数为 27，后 6 组是首项为 27，和是 87 的等差数列，所以 bn5n32.(6 分)(2)由(1)知成绩在)70，80 中的有 3 人，成绩在140，150 中的有 2 人，分别记为：a1，a2，a3 和 b1，b2，由|mn 10 知，这两人必来自两个不同的组，(8 分)所以事件“|mn 10”的概率为3
11、5.(13 分)20.解：(1)以 AB 为 x 轴，以 AB 中点为原点 O 建立直角坐标系.设曲线 E 上点 P(x，y)，|PA|PB|10|AB 8动点轨迹为椭圆，且 a5，c4，从而 b3.曲线 E 的方程为x225y29 1.(4 分)(2)由|AM|AN|BM|BN|20，|AM|AN|12，所以|MN|8.(8 分)(3)将 yxt 代入x225y29 1，得 34y218ty9t22590.设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则 y1y29t17，y1y29t225934.|y1y2 (y1y2)24y1y2 117 50917925t2，SSABPSABQ12AB|y1
12、y2 834 50917925t2，所以当 t0 时，面积最大是6017 34，此时直线为 l：yx.(13 分)21.解：(1)f(x)(x23x3)ex(2x3)exx(x1)ex.由 f(x)0 x1 或 x0；由 f(x)00 x1，所以 f(x)在(，0，1，)上单调递增，在0,1上单调递减，要使 f(x)在2，t上为单调递增函数，则2m.因为 f(x)在(，0，1，)上单调递增，在0,1上单调递减，所以 f(x)在 x1 处取极小值 e.又 f(2)13e22 时，f(2)f(t)，即 m4 或2t1 时，g(2)g(t)0，所以 g(x)0 在(2，t)上有解，且只有一解；当 1t0 且 g(t)0，但由于 g(0)23(t1)22，总存在 x0(2，t)，满足f(x0)xx0 23(t1)2，且当 t4 或2t1 时，有唯一的 x0 符合题意；当 1t4 时，有两个 x0 符合题意.(13 分)版权所有：高考资源网()
