1、2015-2016学年甘肃省武威二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共10小题）1（1i）2i=（）A22iB2+2iC2D22已知函数f（x）=ax2+c，且f（1）=2，则a的值为（）A1BC1D03曲线y=x33x2+1在点（1，1）处的切线方程为（）Ay=3x4By=3x+2Cy=4x+3Dy=4x54函数f（x）=x33x2+1是减函数的区间为（）A（2，+）B（，2）C（，0）D（0，2）5函数f（x）=x3+ax2+3x9已知f（x）在x=3时取得极值，则a=（）A2B3C4D56方程x36x2+9x10=0的实根个数是（）A3B2C1D07函数f（x
2、）=x3+ax2在区间1，+）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A3，+）B3，+）C（3，+）D（，3）8曲线y=ln（2x1）上的点到直线2xy+8=0的最短距离是（）AB2C3D09直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A4B4C2D210f（x）是f（x）的导函数，f（x）的图象如图所示，则f（x）的图象只可能是（）ABCD二、填空题（每小题5分，共4小题）11复数的共轭复数是12函数y=x33x在1，2上的最小值为13曲线y=cosx（0x）与坐标轴所围成的图形的面积为14已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x22x3）f（x）0的解集为三、
3、解答题15（1）求函数 y=2xsin（2x+5）的导数（2）计算定积分的值16用数学归纳法证明：17已知函数f（x）=x33x29x+11（1）写出函数f（x）的递减区间；（2）讨论函数f（x）的极大值或极小值，如有试写出极值（要列表求）18设函数f（x）=lnx+ln（2x）+ax（a0）（1）当a=1时，求f（x）的单调区间（2）若f（x）在（0，1上的最大值为，求a的值19已知aR，函数f（x）=（x2+ax）ex（1）a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（1，1）上单调递增，求a的取值范围2015-2016学年甘肃省武威二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参
4、考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共10小题）1（1i）2i=（）A22iB2+2iC2D2【考点】复数代数形式的混合运算【分析】直接化简复数即可【解答】解：（1i）2i=2ii=2故选D2已知函数f（x）=ax2+c，且f（1）=2，则a的值为（）A1BC1D0【考点】导数的运算【分析】先求出f（ x），再由f（1）=2求出a的值【解答】解：函数f （x ）=a x2+c，f（ x）=2ax又f（1）=2，2a1=2，a=1故答案为A3曲线y=x33x2+1在点（1，1）处的切线方程为（）Ay=3x4By=3x+2Cy=4x+3Dy=4x5【考点】导数的几何意义【分析】首先判断该点是否
5、在曲线上，若在曲线上，对该点处求导就是切线斜率，利用点斜式求出切线方程；若不在曲线上，想法求出切点坐标或斜率【解答】解：点（1，1）在曲线上，y=3x26x，y|x=1=3，即切线斜率为3利用点斜式，切线方程为y+1=3（x1），即y=3x+2故选B4函数f（x）=x33x2+1是减函数的区间为（）A（2，+）B（，2）C（，0）D（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出f（x）令其小于0即可得到函数是减函数的区间【解答】解：由f（x）=3x26x0，得0x2函数f（x）=x33x2+1是减函数的区间为（0，2）故答案为D5函数f（x）=x3+ax2+3x9已知f（x）在x=3时
6、取得极值，则a=（）A2B3C4D5【考点】利用导数研究函数的极值【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=3时取得极值，可以得到f（3）=0，代入求a值【解答】解：对函数求导可得，f（x）=3x2+2ax+3f（x）在x=3时取得极值 f（3）=0a=5，验证知，符合题意故选：D6方程x36x2+9x10=0的实根个数是（）A3B2C1D0【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】令f（x）=x36x2+9x10，将方程x36x2+9x10=0的实根转化为函数图象与x轴的交点【解答】解：令f（x）=x36x2+9x10，则f（x）=3x212x+9=3（x1）（x3），f（1）=6，f（
7、3）=10，则f（x）=x36x2+9x10的简图如下：故选C7函数f（x）=x3+ax2在区间1，+）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A3，+）B3，+）C（3，+）D（，3）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】依题意，由f（1）0即可求得答案【解答】解：f（x）=x3+ax2，f（x）=3x2+a，函数f（x）=x3+ax2在区间1，+）内是增函数，f（1）=3+a0，a3故选B8曲线y=ln（2x1）上的点到直线2xy+8=0的最短距离是（）AB2C3D0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；点到直线的距离公式【分析】在曲线y=ln（2x1）上设出一点，
8、然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线2xy+8=0的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解【解答】解：设曲线y=ln（2x1）上的一点是P（ m，n），则过P的切线必与直线2xy+8=0平行由，所以切线的斜率解得m=1，n=ln（21）=0即P（1，0）到直线的最短距离是d=故选B9直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A4B4C2D2【考点】定积分在求面积中的应用【分析】由题意首先求出第一象限的交点，然后利用定积分表示围成的图形的面积，然后计算即可【解答】解：先根据题意画出图形，两个图形在第一象限的交点为（2，8），所以曲线y=x3与直线y=4x在第一
9、象限所围成的图形的面积是02（4xx3）dx，而02（4xx3）dx=（2x2x4）|02=84=4曲封闭图形的面积是4，故选B10f（x）是f（x）的导函数，f（x）的图象如图所示，则f（x）的图象只可能是（）ABCD【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】首先观察函数的图象，y=f（x）与x轴的交点即为f（x）的极值点，然后根据函数与其导数的关系进行判断【解答】解：由图可以看出函数y=f（x）的图象是一个二次函数的图象，在a与b之间，导函数的值是先增大后减小故在a与b之间，原函数图象切线的斜率是先增大后减小因此故排除答案A、B、C，故选：D二、填空题（每小题5分，共4小题）11复数的共轭复
10、数是【考点】复数的基本概念【分析】复数的分母实数化，然后求出共轭复数即可【解答】解：因为复数=，它的共轭复数为：故答案为：12函数y=x33x在1，2上的最小值为2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求出函数的导函数的零点，通过函数在区间1，2，求出端点的函数值以及极值，比较后可得函数y=x33x在1，2上的最小值【解答】解：y=x33xy=3x23令y=0，解得x=1或x=1由f（1）=2；f（1）=2；f（2）=2；可得函数y=x33x在1，2上的最小值为2故答案为：213曲线y=cosx（0x）与坐标轴所围成的图形的面积为3【考点】余弦函数的图象【分析】根据面积等于cosx的绝对
11、值在0x上的积分可求出答案【解答】解：S=3=3（sinsin0）=3故答案为314已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x22x3）f（x）0的解集为（，1）（1，1）（3，+）【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】由原函数的单调性得到导函数的符号，把不等式转化为不等式组，求解不等式组后取并集得答案【解答】解：由函数图象可知f（x）0的解集为：（，1）（1，+），f（x）0的解集为：（1，1）由（x22x3）f（x）0，得或解得：x1或x3；解得：1x1不等式（x22x3）f（x）0的解集为：（，1）（1，1）（3，+）故答案为：（，1）（1，1）（3，+）三、解答题15（1）
12、求函数 y=2xsin（2x+5）的导数（2）计算定积分的值【考点】定积分；导数的运算【分析】（1）根据导数的运算法则和复合函数的求导法则计算即可；（2）根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：（1）y=2sin（2x+5）+4xcos（2x+5）（2）=（x2+）|=9+11=16用数学归纳法证明：【考点】数学归纳法【分析】用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可【解答】解：证明：（1）当n=1时，1=1，等式成立（2）假设当n=k时，有1+2+3+k=k（k+1）成立那么，当n=k+1时，1+2
13、+3+k+k+1=k（k+1）+（k+1）=（k+1）（k+2），=（k+1）（k+1）+1，当n=k+1时等式成立，对任意的nN+，等式都成立17已知函数f（x）=x33x29x+11（1）写出函数f（x）的递减区间；（2）讨论函数f（x）的极大值或极小值，如有试写出极值（要列表求）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件【分析】（1）由f（x）=x33x29x+11，知f（x）=3x26x9=3（x+1）（x3），由f（x）=3（x+1）（x3）0，能求出函数f（x）的递减区间（2）由f（x）=x33x29x+11，知f（x）=3x26x9=3（x+1）（x3），由f（x
14、）=3（x+1）（x3）=0，得x1=1，x2=3列表讨论，能求出函数f（x）的极大值和极小值【解答】解：（1）f（x）=x33x29x+11，f（x）=3x26x9=3（x+1）（x3），由f（x）=3（x+1）（x3）0，得1x3函数f（x）的递减区间是（1，3）（2）f（x）=x33x29x+11，f（x）=3x26x9=3（x+1）（x3），由f（x）=3（x+1）（x3）=0，得x1=1，x2=3列表讨论： x （，1）1 （1，3） 3（3，+） f（x）+ 0 0+ f（x） 极大值 极小值当x=1时，函数取得极林值f（1）=13+9+11=16；当x=3时，函数取得极小值f（3
15、）=272727+11=1618设函数f（x）=lnx+ln（2x）+ax（a0）（1）当a=1时，求f（x）的单调区间（2）若f（x）在（0，1上的最大值为，求a的值【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）已知a=1，f（x）=+1，求解f（x）的单调区间，只需令f（x）0解出单调增区间，令f（x）0解出单调减区间（2）区间（0，1上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值【解答】解：对函数求导得：，定义域为（0，2）（1）当a=1时，f（x）=+1，当f（x）0，即0x时，f（x）为增函数；当f（x）0，x2时，f（x）为减函数所以f（x）的单调增
16、区间为（0，），单调减区间为（，2）（2）函数f（x）=lnx+ln（2x）+ax（a0）因为a0，x（0，1，所以0，所以函数为单调增函数，（0，1为单调递增区间最大值在右端点取到所以a=19已知aR，函数f（x）=（x2+ax）ex（1）a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（1，1）上单调递增，求a的取值范围【考点】函数单调性的判断与证明；函数的单调性及单调区间【分析】（1）求出a=2的函数f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（2）求出f（x）的导数，由题意可得f（x）0在（1，1）上恒成立，即为ax2+（a2）x0，即有x2（a2）xa0，再由二次函数的图象和性质，得到不等式组，即可解得a的范围【解答】解：（1）a=2时，f（x）=（x2+2x）ex的导数为f（x）=ex（2x2），由f（x）0，解得x，由f（x）0，解得x或x即有函数f（x）的单调减区间为（，），（，+），单调增区间为（，）（2）函数f（x）=（x2+ax）ex的导数为f（x）=exax2+（a2）x，由函数f（x）在（1，1）上单调递增，则有f（x）0在（1，1）上恒成立，即为ax2+（a2）x0，即有x2（a2）xa0，则有1+（a2）a0且1（a2）a0，解得a则有a的取值范围为，+）2016年10月22日
