1、2013年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷(文科)考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4. 考试结束，只需上交答题卡.第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 已知复数（是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且，则A. B. C. D. 3. 如图的程序框图，如果输入三个实数
2、a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的A. ？ B. ？C. ？ D. ？4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. B. C. D. 5. 直线与相交于点，点、分别在直线与上，若与的夹角为，且，则 A. B. C. D. 6. 若，设，则、的大小关系为A. B. C. D. 7. 在正项等比数列中，已知，则A. 11B. 12C. 14D. 168. 已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有，那么的值为A. B. C. D. 9. 关于函数与函数，下列说法正确的是A. 函数和的图像有一个交点在轴上B. 函数和的图像在区间内
3、有3个交点C. 函数和的图像关于直线对称D. 函数和的图像关于原点对称10. 若两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D. 11. 如图，等腰梯形中，且， ，则以、为焦点，且过点的双曲线的离心率A. B. C. D. 12. 若直角坐标平面内的两个不同点、满足条件： 、都在函数的图像上； 、关于原点对称.则称点对为函数的一对“友好点对”.（注：点对与为同一“友好点对”）已知函数，此函数的“友好点对”有A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考
4、题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上).13. 若实数满足，则的最大值是_.14. 中，、分别是角、的对边，若，则的值为_.15. 若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则_.16. 定义在上的函数满足，当时，则函数在上的零点个数是_.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分）函数的部分图像如图所示. 求函数的解析式； 当时，求的取值范围.18. （本小题满分12分）等比数列的前项和为，且. 求数列的通项公式； 记，求数列的前项和.19. （本小题满分1
5、2分）如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点. 证明:平面； 若是线段上一点，且满足，求的长度.20. （本小题满分12分）椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为. 求椭圆的方程； 过作直线交椭圆于两点，交轴于点,满足,求直线的方程.21. （本小题满分12分）已知函数，且. 若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值； 当时，求函数的最小值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲.如图，已知O和M相交于A、B两点，AD为M的直径，直线BD交O于点C，点G为中点，连结AG分别交O、BD于点E、F，连结CE 求证：；
6、求证： 23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程选讲.已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）. 求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程； 设曲线与直线相交于、两点，以为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积.24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲.设函数. 当时，求函数的定义域； 若函数的定义域为R，试求的取值范围.2013年长春市高中毕业班第一次调研测试数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C 2. B3. A 4. A5. B6. B7. C8. A9.
7、D10. D11. B12. C简答与提示：1. C可得，由可知，则为，故选C.2. B由可得，又在第四象限，则，故选B.3. A由于要取，中最大项，输出的应当是，中的最大者，所以应填比较与大小的语句，故选A.4. A 该几何体由底半径为1的半圆锥与底面为边长等于2正方形的四棱锥组成，且高都为，因此该几何体体积为 ，故选A.5. B由题意中，由余弦定理可知，故选B.6. B 由于，所以根据指数函数性质，即；又，所以，所以，即，所以，故选B.7. C由与可得，因此，所以，故选C.8. A当时，三点为矩形的三个顶点，可知，由图可知直线过点，此时，故选A.9. D 与关于原点对称，故选D.10. D
8、，当且仅当，即时等号成立. 由恒成立，则，解得，故选D.11. B由题可知，双曲线离心率，设则，所以，故选B.12. C由题意， 当时，将的图像关于原点对称后可知 的图像与时存在两个交点，故“友好点对”的数量为2，故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 5 14. 15. 16. 1207简答与提示：13. 由题可知可行域为如图所示阴影部分，由目标函数为可知，当直线过点时，取得最大值，即取得最大值，为.14. 由正弦定理可将转化为，经计算得，又为内角，可知，则，则.15. 设正方体棱长为，则正方体表面积为，其外接球半径为正方体体对角线长的，即为，因此外接球表面积为，
9、则.16. 由可知是以5为周期的周期函数，又在区间内有3个零点，故在任意周期上都有3个零点，故上包含402个周期，又时也存在一个零点，故零点数为.三、解答题（本大题必做题5小题，三选一中任选1小题，共70分）17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图像与性质的运用，以及三角函数的值域的有关知识.【试题解析】解：(1)由图像得，所以，则；将代入得，而，所以，因此函数；(6分)(2) 由于，所以，所以的取值范围是.( 12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式，其中还包括对数的运算与裂项求和的应用技巧
10、.【试题解析】解：(1)设等比数列的公比为，由题意，所以，即，因此.(6分)(2) ，所以，.(12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以斜三棱柱为考查载体，考查平面几何的基础知识.同时题目指出侧面的一条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间直线垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1) ，且为中点，又侧面底面，交线为，平面.(6分)(2) ，因此，即，又在中，可得，则的长度为.(12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线及椭圆的标准方程，考查直线和椭圆的综合应用
11、，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：设右焦点为，则， 或(舍去)(2分)又离心率，故椭圆方程为. (4分) 设，因为，所以 ， (6分)易知当直线的斜率不存在或斜率为0时，不成立，于是设的方程为，联立消得(8分)因为，所以直线与椭圆相交，于是，由得，代入整理得，所以直线的方程是或.(12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的几何意义，用导数来研究函数的单调性、极值等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：由题意得：；(3分)(1)由曲线在点处的切线垂直于轴，结合导数的几何意义得，即，解得；(6分)(2) 设，则只需
12、求当时，函数的最小值.令，解得或，而，即.从而函数在和上单调递增，在上单调递减. 当时，即时，函数在上为减函数，；当，即 时，函数的极小值即为其在区间上的最小值， . 综上可知，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.(12分)22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲【命题意图】本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质，以及圆中角的性质等知识.【试题解析】证明(1)：已知AD为M的直径，连接，则，由点G为弧BD的中点可知，故，所以有，即.(5分)(2)由(1)知，故，所以，即 (10分)23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等.【试题解析】解：(1)对于：由，得，进而；对于：由（为参数），得，即.(5分)(2)由(1)可知为圆，且圆心为，半径为2，则弦心距，弦长，因此以为边的圆的内接矩形面积. (10分)24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容.【试题解析】解：(1) 当时，由得或或，解得或即函数的定义域为x|或.(5分)(2) 由题可知恒成立，即恒成立，而，所以，即的取值范围为.(10分)
