1、阶段总结热考题型强化课(五)解析几何【网络构建】【核心要素】1.直线的倾斜角、斜率,直线方程的几种形式 2.圆的标准方程、一般方程 3.直线与圆的位置关系:相交、相切、相离 4.圆与圆的位置关系:外离、外切、相交、内切、内含 5.圆锥曲线的定义、标准方程 6.圆锥曲线的几何性质 7.直线与圆锥曲线的位置关系、弦长 热考题型一 直线与圆的位置关系问题【考情分析】难度:基础题题型:以选择题、填空题为主考查方式:以直线与圆的位置关系为主要考查对象,常与函数、不等式、弦长知识交汇命题【考题集训】1.(2015广东高考)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x-y+=
2、0或2x-y-=0 B.2x+y+=0或2x+y-=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x+y+5=0或2x+y-5=0 5555【解析】选D.设所求切线方程为2x+y+c=0,依题有 解得c=5,所以所求的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.22|00c|521，2.(2015重庆高考)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2 B.4 C.6 D.2 210【解析】选C.圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆 心为C(2,1),半径为r=2,因为直
3、线l为圆的对称轴,所以直线经过圆心C(2,1),即2+a-1=0,所以a=-1,A(-4,-1),所以 又因为AB为圆的切线,所以 22|AC|421 12 10.22|AB|AC|r4046.3.(2015山东高考)过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条 切线,切点分别为A,B,则 =.3PA PB【解析】圆心为O(0,0),则 则APB=,所以 答案:|PO|2|PA|PB|3,OPA，OPB6，3PA PB|PA|PB|cos APB333 cos.32 32热考题型二 圆锥曲线的定义与简单几何性质【考情分析】难度:低、中档题型:以选择题、填空题为主考查方式:涉及三种圆锥曲线的定义及简单
4、几何性质,常与最值、标准方程、长度等知识综合在一起考查【考题集训】1.(2015浙江高考)双曲线 -y2=1的焦距是 ,渐近线方程是 .2x2【解析】由题意得:所以焦距为2c=2 ,渐近线方程为y=答案:2 y=22a2b1cab2 13，3b2xx.a2 32 x22.(2015上海高考)抛物线y2=2px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=.【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准 线的距离,因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶 点到准线的距离,即 =1,p=2.答案:2 p23.(2015北京高考)已知双曲线 -y2=1(a0)的一条 渐近线为 x+y=0,则a=.【
5、解析】双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=x.所以 即a=.答案:22xa31a13a，3333热考题型三 以一种圆锥曲线为载体的几何性质的应用【考情分析】难度:中档题型:以选择题、填空题为主考查方式:涉及三种圆锥曲线的几何性质,常与离心率、对称轴、渐近线等知识综合在一起考查【考题集训】1.(2015重庆高考)双曲线 =1(a0,b0)的右 焦点为F,左、右顶点为A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲 线交于B,C两点,若A1BA2C,则该双曲线的渐近线斜率 为()2222xyab12A.B.C.1 D.222【解题提示】解答本题的关键在于求出点A1,A2,B,C的 坐标,利用向量 与
6、的数量积为零即可计算.1A B2A C【解析】选C.由题意知F(c,0),A1(-a,0),A2(a,0),其 中c=联立 可解得 所以 22ab.2222xc,xy1,ab22bbB(c,),C(c,),aa2212bbA B(ca,),A C(ca,)aa，又因为A1BA2C,所以 =0,解得a=b,所以该双曲线的渐近线斜率为1.4122bA B A Ccacaa2.(2015山东高考)过双曲线C:=1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P,若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 .2222xyab【解析】将y=(x-c)代入 =1消去y得 =1,因为xP=2ab0)的
7、左 右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若ADF1B,则椭圆C的离心率 等于 .2222xyab【解析】不妨令 所以直线F1B的方程为y=(x+c),令x=0可得y=即 221bbA(c,)B(c,)F(c,0)aa，2b2ac2b2a，2221b3bbD(0,)AD(c,)FB(2c,)2a2aa ，因为ADF1B,所以-2c2+=0,整理得 b2=2ac,故 a2-c2=2ac,即 e2+2e-=0,解得e=(负值舍去).答案:423b2a333333333热考题型四 以两种圆锥曲线为载体的几何性质的应用 考情分析 难度:低、中档题型:以选择
8、题、填空题为主考查方式:常以两个圆锥曲线为载体,考查圆锥曲线的几何性质,考查学生分析问题、解决问题的能力【考题集训】1.(2014广东高考)若实数k满足0k5,则曲线 =1与曲线 =1的()A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 22xy165k22xy16k5【解析】选D.因为0k0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1e2 B.当ab时,e1e2;当ab时,e1e2 C.对任意的a,b,e1b时,e1e2;当ae2【解析】选D.不妨设双曲线C1的焦点在x轴上,即其 方程为:=1,则双曲线C2的方程为:所以e1=e2=2222xy
9、ab2222xyambm2222abb1,aa2222ambmbm1,amam当ab时,所以 所以 所以e2e1;当ab时,bm ab amab mbmb0,amaam aam abmb,ama22bmb()(),amabm ab amab mbmb0,amaam aam a所以 所以 所以e20,b0),所以a=b=2,所以C2的方程为 =1.答案:=1 2x4122222xyab22xy4422xy444.(2015山东高考)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:=1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B,若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心 率为 .2
10、222xyab【解析】由对称性知OAB是以AB为底边的等腰三角形,注意到双曲线的渐近线方程为y=x,抛物线的焦点 设点 则m2=2p m,由 OAB的垂心为F,得kBFkOA=-1,=-1,消去 m得 =2p,即 所以 故e=答案:bapF(0,)2，bbA(m,m),B(m,m)aa，babpmba2mab2pbpaa222b5a4，22c9a4，c3.a232热考题型五 范围、最值、定值问题【考情分析】难度:中、高档题型:选择题、填空题、解答题均可能出现考查方式:常以直线、圆、圆锥曲线为载体,考查直线方程、圆的几何性质、圆锥曲线的几何性质以及学生分析问题、解决问题的能力【考题集训】1.(2
11、014福建高考)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭 圆 +y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()2x10A.5 2 B.462 C.72 D.6 2【解析】选D.圆心M(0,6),设椭圆上的点为Q(x,y),则 当y=-1,1时,所以 22222|MQ|xy610 10yy69y12y46，23max|MQ|5 2max|PQ|5 226 22.(2014四川高考)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=2(其中O为 坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值 是()A.2 B.3 C.D.OA OB17 2810【解析】选B.可设直线AB的方程
12、为:x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AB与x轴的交点M(m,0),由 y2-ty-m=0,所以y1y2=-m,2xtymyx，又 =2x1x2+y1y2=2(y1y2)2+y1y2-2=0,因为点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,所以y1y2=-2,故m=2,又F(,0),OA OB14于是SABO+SAFO=2|y1-y2|+|y1|当且仅当 即y1=时取“=”,所以ABO与AFO面积之和的最小值是3.121412111111121|y|y|y89292|y|2|y|38|y|8|y|，1192y8y，433.(2015重庆高考)设双曲线 =1(a0,b0)的 右
13、焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D,若D 到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线 斜率的取值范围是()2222xyab22abA.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+)C.(-,0)(0,)D.(-,-)(,+)2222【解析】选A.由题意知F(c,0),A(a,0),其中c=联立 可解得 22ab,2222xc,xy1,ab22bbB(c,),C(c,).aa22ACABbbcacaaak,k,caacaa 所以AC的垂线BD的斜率为kBD=直线方程为y-AB的垂线CD的斜率为kCD=-直线方程为y+=
14、联立 aca，axc,ca2baaca，2baaxc,ca22bayxc,acabayxc,aca 解得 到直线BC:x=c的距离 =a+c,解得ba,所以0 b0)的离心率为 ,且点 在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程.2222xyab321(3,)2(2)设椭圆E:=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.求 的值;求ABQ面积的最大值.2222xy4a4bOQOP【解析】(1)因为点 在椭圆C上,所以 =1.又因为椭圆C的离心率为e=所以2c=a,4c2=3a2,结合c2=a2-b2可解得a2=4,b2=1,即椭圆C的方程为 +y2=
15、1.1(3,)22231a4bc3a2，32x4(2)椭圆E:=1.设P(x0,y0)是椭圆C上任意一点,则 =4.直线OP:y=与椭圆E:=1 联立消y得 所以Q(-2x0,-2y0).即 =2.22xy1642200 x4y00y xx22xy164222220002220004y16xx(1 )16,x4xxx4y，|OQ|OP|因为点P(x0,y0)在直线y=kx+m上,所以y0=kx0+m,点Q(-2x0,-2y0)到直线y=kx+m的距离为 d=将y=kx+m与 =1联立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由0可得m24+16k2.()设A(x1,y1),B(x2
16、,y2),0022|2kx2ym|3m|.1 k1 k22xy164则x1+x2=x1x2=所以 直线y=kx+m与y轴交点为(0,m),所以OAB面积SOAB=28km,14k 224m1614k，221224 16k4m|xx|.1 4k121 m|xx|22222222216k4mm2 m16k4m1 4k1 4k，令 =t,则SOAB=将y=kx+m与 +y2=1联立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由0可得m21+4k2.()22m14k2222mm2(4)24t t.1 4k1 4k2x4由()()可知0t1,因此SOAB=(当且仅当t=1即m2=1+4k2时取得最大值),注意到 SABQ=3SOAB,所以SABQ=3SOAB6 .即ABQ的 面积的最大值为6 .24t t2 333
