1、第九节圆锥曲线的综合问题 考点一圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题 例1(2013新课标全国卷)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1 (ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值自主解答(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的
2、方程为yxn，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|x4x3|.由已知，四边形ACBD的面积S|CD|AB|.当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.【互动探究】若本例的条件不变，则四边形ACBD的面积有最小值吗？若有，求出其值；若没有，说明理由解：由(2)可知3x24nx2n260，又yxn与椭圆1相交，(4n)243(2n26)8(9n2)0，即3n3,0n29，而SACBD，00.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，因为x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0
3、，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(kb)(x1x2)2b0，将代入，得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，直线l过定点(1,0)【方法规律】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m0，y10
4、，y20，得m2，此时直线MN的方程为x1，过点D(1,0)若x1x2，则m2，直线MD的斜率kMD，直线ND的斜率kND，得kMDkND，所以直线MN过D点因此，直线MN必过x轴上的点(1,0)高频考点考点三 圆锥曲线中的定值问题1圆锥曲线中的定值问题，是近几年来高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较大，多为高档题2高考中关于圆锥曲线中的定值问题有以下几个命题角度：(1)求代数式为定值；(2)求点到直线的距离为定值；(3)求某线段长为定值例3(2013江西高考)椭圆C：1(ab0)的离心率e，ab3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点
5、外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2mk为定值自主解答(1)因为e，所以ac，bc.代入ab3，得c，a2，b1.故椭圆C的方程为y21.(2)证明：法一：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为yk(x2)，把代入y21，解得P.直线AD的方程为：yx1.与联立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三点共线知，解得N.所以MN的斜率为m，则2mkk(定值)法二：设P(x0，y0)(x00，x02)，则k，直线AD的方程为：y(x2)，直线BP的方程为：y(x2)，直线DP的方程为：y1x，令y0，由于y01，可得N
6、联立解得M，因此MN的斜率为m，所以2mk(定值)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得如图所示，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：1(ab0)上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合(1)求椭圆C的方程；(2)ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(
7、3)求证：直线AB、AD斜率之和为定值解：(1)由题意，可得e，1，a2b2c2，解得a2，b，c，所以椭圆C的方程为1.(2)设直线BD的方程为yxm，D(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x22mxm240，所以8m2640，则2m2，x1x2m，x1x2.所以|BD|x1x2|.设d为点A到直线BD：yxm的距离，所以d.所以SABD|BD|d，当且仅当8m2m2，即m2时取等号因为2(2，2)，所以当m2时，ABD的面积最大，最大值为.(3)证明：设直线AB、AD的斜率分别为kAB、kAD，则kADkAB2m，(*)将(2)中、式代入(*)式，整理得2m0，即kADkAB0.故直线AB、AD斜率之和为定值课堂归纳通法领悟2种方法求定值问题常见的两种方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在此过程中消去变量，从而得到定值4个重视求定值、最值等圆锥曲线综合问题要四重视(1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用；(3)重视根与系数的关系在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用5方面考虑求最值(或范围)问题需从以下五方面考虑见本节考点一方法规律
