1、东北三省东北师大附中、哈师大附中、辽宁省实验中学2021届高三数学第二次联考试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分）.1定义集合运算：A*Bz|zxy，xA，yB，设A1，2，B1，2，3，则集合A*B的所有元素之和为（）A16B18C14D82设复数z（其中i为虚数单位），则z（）A1B3C5D63割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现如图，揭示了刘微推导三角形积公式的方法，在三角形ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（）ABCD4已知a，blog52，c，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacb
2、CcabDcba5已知下列四个命题，其中真命题的个数为（）空间三条互相平行的直线a，b，c，都与直线d相交，则a，b，c三条直线共面；若直线m平面，直线n平面，则mn；平面平面直线m，直线a平面，直线a平面，则am；垂直于同一个平面的两个平面互相平行A1B2C3D46双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线C上一点，PF2x轴，tanPF1F2，则双曲线的渐近线方程为（）Ax2y0B2xy0CD7如图所示，流程图所给的程序运行结果为S840，那么判断框中所填入的关于k的条件是（）Ak5？Bk4？Ck3？Dk2？8已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（1+x）f（1x）
3、，当0x1时，f（x）ex1，则2x3时，f（x）的解析式为（）Af（x）1ex2Bf（x）ex21Cf（x）1ex1Df（x）ex119若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则f（x）在上的最小值为（）A1BCD10已知直线x+ya与圆x2+y24交于A、B两点，O为坐标原点，则实数a的值为（）A2BCD11已知A、B是球O的球面上两点，AB2，过AB作互相垂直的两个平面截球得到圆O1和圆O2，若AO1B90，AO2B60，则球的表面积为（）A5B10C15D2012已知函数f（x）ex3，g（x）+ln，f（m）g（n）成立，则nm的最小值为（）A1+ln2Bln2C2ln2Dln2
4、1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.13sin20cos10cos160sin10 14在一次跳绳比赛中，35名运动员在一分钟内跳绳个数的茎叶图，如图所示，若将运动员按跳绳个数由少到多编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，把7人跳绳个数由少到多排成一列，第一个人跳绳个数是133，则第5个人跳绳个数是 15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为，bc2，cosA，则a的值为 16在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程C1：1；C2：x4+y41，老师问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回
5、答：甲：曲线C1关于yx对称；乙：曲线C2关于原点对称；丙：曲线C1与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1；丁：曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2四位同学回答正确的有 （选填“甲、乙、丙、丁”）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（一）必考题：共60分17已知公比大于1的等比数列an的前6项和为126，且4a2，3a3，2a4成等差数列（）求数列an的通项公式an；（）若数列bn满足bnbn1+log2an（n2且nN*），且b11，证明：数列的前n项和Tn218新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足，设计了
6、一份调查问卷，满分100分，随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如表：100位男性居民评分频数分布表分组频数50，60）360，70）1270，80）7280，90）890，1005合计100100位女性居民评分频数分布表分组频数50，60）560，70）1570，80）6480，90）790，1009合计100（）求这100位男性居民评分的均值和方差S2；（）已知男性居民评分X服从正态分布N（，2），用表示，2用S2表示，求P（67.8X89.4）；（）若规定评分小于70分为不满意，评分大于等于70分为满意，能否有99%的把握认为居民是否满意与性别有关？附：7.2P（X+）0
7、.6827，P（X+）0.9545，P（X+）0.9973参考公式K2，na+b+c+dp（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.2046.6357.87910.82819已知等腰直角SAB，SAAB4，点c，d分别为边SB，SA的中点，沿CD将SCD折起，得到四棱锥SABCD，平面SCD平面ABCD（）过点D的平面平面SBC，平面与棱锥SABCD的面相交，在图中画出交线；设平面与棱SA交于点M，写出的值（不必说出画法和求值理由）；（）求证：平面SBA平面SBC20已知点M（1，），N（1，），直线PM，PN的斜率乘积为，P点的轨迹为曲线
8、C（）求曲线C的方程；（）设斜率为k的直线交x轴于T，交曲线C于A，B两点，是否存在k使得|AT|2+|BT|2为定值，若存在，求出的k值；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）ex+ex（aR）（）当a2时，求函数f（x）的单调区间；（）若f（x）在（0，+）上有且仅有一个极小值点，求a的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分10分.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（为极角），以该直角坐标系的原点O
9、为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|x+2|x1|（）解不等式f（x）x；（）设f（x）的最大值为t，如果正实数m，n满足m+2nt，求的最小值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1定义集合运算：A*Bz|zxy，xA，yB，设A1，2，B1，2，3，则集合A*B的所有元素之和为（）A16B18C14D8解：由xA1，2，yB
10、1，2，3，可得：zxy1，2，3，4，6，集合A*B1，2，3，4，6，可得：所有元素之和1+2+3+4+616，故选：A2设复数z（其中i为虚数单位），则z（）A1B3C5D6解：复数z2+i，则z（2+i）（2i）5，故选：C3割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现如图，揭示了刘微推导三角形积公式的方法，在三角形ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（）ABCD解：根据题意可得长方形的长为三角形的底，长方形的宽为三角形的高的一半，故该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，故该点落在标记“
11、盈”的区域的概率为，故选：A4已知a，blog52，c，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCcabDcba解：，1a2，0log51log52log551，0b1，clog25log242，c2，cab，故选：C5已知下列四个命题，其中真命题的个数为（）空间三条互相平行的直线a，b，c，都与直线d相交，则a，b，c三条直线共面；若直线m平面，直线n平面，则mn；平面平面直线m，直线a平面，直线a平面，则am；垂直于同一个平面的两个平面互相平行A1B2C3D4解：对于，空间三条互相平行的直线a，b，c，都与直线d相交，则a，b共面，由d与a，b都相交，得到d在a，b确定的平面内，c，d
12、相交，且c与ab都平行，c在a，b确定的平面内，a，b，c三条直线共面，故正确；对于，若直线m平面，直线n平面，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得mn，故正确；对于，平面平面直线m，直线a平面，直线a平面，则由线面平行的性质得am，故正确；对于，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故错误故选：C6双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线C上一点，PF2x轴，tanPF1F2，则双曲线的渐近线方程为（）Ax2y0B2xy0CD解：双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线C上一点，PF2x轴，tanPF1F2，可得，即2b23ac，4b49a
13、2（a2+b2），可得4b49a4+9a2b2，4990，解得，（负值舍去），双曲线的渐近线方程为：y0故选：C7如图所示，流程图所给的程序运行结果为S840，那么判断框中所填入的关于k的条件是（）Ak5？Bk4？Ck3？Dk2？解：模拟程序的运行，可得S1，k7；不满足退出循环的条件，执行循环体后：S7，k6；不满足退出循环的条件，执行循环体后：S42，k5；不满足退出循环的条件，执行循环体后：S210，k4；不满足退出循环的条件，执行循环体后：S840，k3；由题意可得，此时应当满足退出循环的条件，退出循环，输出S的值为840，故判断框中应填入的关于k的条件是k4？故选：B8已知f（x）是
14、定义域为R的奇函数，f（1+x）f（1x），当0x1时，f（x）ex1，则2x3时，f（x）的解析式为（）Af（x）1ex2Bf（x）ex21Cf（x）1ex1Df（x）ex11解：因为f（x）是定义域为R的奇函数，f（1+x）f（1x），所以f（2x）f（x），当0x1时，f（x）ex1，设1x0，则0x1，所以f（x）ex1f（x），所以f（x）ex+1，则2x3时，12x0，所以f（2x）e2x+1f（x）故选：A9若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则f（x）在上的最小值为（）A1BCD解：函数f（x）sin（x+）的图象向右平移个长度单位，得yf（x）sin（x）+sin（x
15、+），又该函数图象关于点对称，所以+k，kZ，解得k，kZ，又03，所以k1，得1，所以f（x）sin（x+），当x，时，x+，所以sin（x+），1，所以f（x）在上的最小值为故选：C10已知直线x+ya与圆x2+y24交于A、B两点，O为坐标原点，则实数a的值为（）A2BCD解：直线x+ya与圆x2+y24交于A、B两点，O为坐标原点，|2，+23（2）2cosAOBAOB60AOB为等边三角形，故O到直线AB的距离为：|OA|a，故选：D11已知A、B是球O的球面上两点，AB2，过AB作互相垂直的两个平面截球得到圆O1和圆O2，若AO1B90，AO2B60，则球的表面积为（）A5B10C
16、15D20解：A、B是球O的球面上两点，AB2，过AB作互相垂直的两个平面截球得到圆O1和圆O2，若AO1B90，AO2B60，ABO2是正三角形，如图，AB的中点为G，O1GAB，O2GAB，OO1圆O1和OO2圆O2，可得O1G1，OO2，OG2，外接球的半径为：R，则球的表面积为4R220故选：D12已知函数f（x）ex3，g（x）+ln，f（m）g（n）成立，则nm的最小值为（）A1+ln2Bln2C2ln2Dln21解：不妨设f（m）g（n）t，em3+lnt，（t0），m3lnt，即m3+lnt，n2，故nm23lnt（t0），令h（t）23lnt（t0），h（t）2，易知h（t）
17、在（0，+）上是增函数，且h（）0，当t时，h（t）0，当0t时，h（t）0，即当t时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）2（3+ln）ln21，即nm的最小值为ln21，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.13sin20cos10cos160sin10解：sin20cos10cos160sin10sin20cos10+cos20sin10sin（20+10），故答案为：14在一次跳绳比赛中，35名运动员在一分钟内跳绳个数的茎叶图，如图所示，若将运动员按跳绳个数由少到多编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，把7人跳绳个数由少到多
18、排成一列，第一个人跳绳个数是133，则第5个人跳绳个数是145解：系统抽样间隔为3575，且第一个人跳绳个数是133，编号是3，所以第5个人的编号是45+323，跳绳个数是145故答案为：14515在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为，bc2，cosA，则a的值为解：由于cosA，则，利用sin2A+cos2A1，解得，由于ABC的面积为，所以，解得bc8由于bc2，所以（bc）24，整理得b2+c220，所以a2b2+c22bccosA，解得a2故答案为：16在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程C1：1；C2：x4+y41，老师问同学们：你想到了什
19、么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回答：甲：曲线C1关于yx对称；乙：曲线C2关于原点对称；丙：曲线C1与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1；丁：曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2四位同学回答正确的有甲、乙、丙（选填“甲、乙、丙、丁”）解：甲说法：对曲线1，交换x，y得，方程不变，所以C1关于yx对称，故甲说法正确，乙说法：若（x，y）在曲线C2上，即x4+y41，所以（x）4+（y）41，即点（x，y）在曲线C2上，所以曲线C2关于原点对称，故乙说法正确，丙说法：选择x+y1作参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为，对1，第一象限均有0x1，0y1，此时，等号不能同时取得，所以1
20、x+y，所以1时，x+y1，且x+y1时，所以曲线C1与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1，故丙说法正确，丁说法：选择x2+y21作为参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为，若x2+y21，则（x2+y2）21，即x4+y4+2x2y21，所以x4+y41，即曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2，故丁说法错误，故答案为：甲、乙、丙三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（一）必考题：共60分17已知公比大于1的等比数列an的前6项和为126，且4a2，3a3，2a4成等差数列（）求数列an的通项公式an；（）若数列bn满足bnbn1+log2an（n2且nN*），
21、且b11，证明：数列的前n项和Tn2解：（）设等比数列an的公比为q，q1，由4a2，3a3，2a4成等差数列，可得6a34a2+2a4，即为6a1q24a1q+2a1q3，即有q23q+20，解得q2（1舍去），由前6项和为126，可得126，则a12，所以an22n12n；（）证明：bnbn1+log2an，即bnbn1log2anlog22nn，则bnb1+（b2b1）+（b3b2）+（bnbn1）1+2+3+nn（n+1），2（），所以Tn2（1+）2（1）218新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分100分
22、，随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如表：100位男性居民评分频数分布表分组频数50，60）360，70）1270，80）7280，90）890，1005合计100100位女性居民评分频数分布表分组频数50，60）560，70）1570，80）6480，90）790，1009合计100（）求这100位男性居民评分的均值和方差S2；（）已知男性居民评分X服从正态分布N（，2），用表示，2用S2表示，求P（67.8X89.4）；（）若规定评分小于70分为不满意，评分大于等于70分为满意，能否有99%的把握认为居民是否满意与性别有关？附：7.2P（X+）0.6827，P（X+）0.
23、9545，P（X+）0.9973参考公式K2，na+b+c+dp（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.2046.6357.87910.828解：（1）由频率分布表可知75，S252（2）由已知和（1）可知XN（75，52），因为7.2，所以P（67.8X89.4）P（X+2）P（X+）+P（2X+2）0.6827+0.95450.8186（3）由已知条件可得22列联表如下：满意不满意总计男性8515100女性8020100总计16535200所以K2的观测值k0.866，因为k0.8666.635，所以没有99%的把握认为居民是否满意与
24、性别有关19已知等腰直角SAB，SAAB4，点c，d分别为边SB，SA的中点，沿CD将SCD折起，得到四棱锥SABCD，平面SCD平面ABCD（）过点D的平面平面SBC，平面与棱锥SABCD的面相交，在图中画出交线；设平面与棱SA交于点M，写出的值（不必说出画法和求值理由）；（）求证：平面SBA平面SBC解：（）平面与棱锥SABCD的交线如图所示，1（）证明：未折起时，在等腰直角SAB中，CD是SAB的中位线，所以CDAB，且CDAB2，所以CDADAB90，即CDSA，折起后仍满足CDSD，CDAD，折起后，因为平面SCD平面ABCDCD，且CDSD，所以SD平面ABCD，又AD平面ABCD
25、，所以SDAD，综上所述，直线AD，SD，CD两两垂直，故可建立以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴的空间直角坐标系，如图，由题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），S（0，0，2），C（0，2，0），B（2，4，0），则（2，4，2），（0，4，0），（2，2，0），设平面SAB的法向量为（x1，y1，z1），平面SBC的法向量为（x2，y2，z2），则，可得，令x11，可得（1，0，1），可得，令x11，可得（1，1，1）因为1+010，所以，所以平面SBA平面SBC20已知点M（1，），N（1，），直线PM，PN的斜率乘积为，P点的轨迹为曲线C（）求曲线C的方程；（）设斜
26、率为k的直线交x轴于T，交曲线C于A，B两点，是否存在k使得|AT|2+|BT|2为定值，若存在，求出的k值；若不存在，请说明理由解：（）设点P（x，y），由已知可得k，即，化简可得，即所求曲线方程为；（）设T（t，0），则斜率为k的直线为yk（xt），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y整理可得：（3+4k2）x28k2tx+4k2t2120，则x，所以|AT|2+|BT|2（1+k2）（x1t），若要使|AT|2+|BT|2为定值，则需与t无关，即1824k20，解得k，此时|AT|2+|BT|27满足题意，故k21已知函数f（x）ex+ex（aR）（）当a2时，求函数f（
27、x）的单调区间；（）若f（x）在（0，+）上有且仅有一个极小值点，求a的取值范围解：（）由题意知，a2时，f（x）ex+exx2，f（x）ex+ex（x）2f（x），所以f（x）为偶函数，当x0时，f（x）exex2x，f（x）ex+ex+2220，当且仅当exex，即x0时，取等号，所以f（x）在（0，+）上单调递增，所以f（x）f（0）0，所以f（x）在（0，+）上单调递增，在（，0）上单调递减（）由（）知，f（x）为偶函数，当x（0，+）时，f（x）exexax，f（x）ex+exa，因为f（x）在（0，+）上有且仅有一个极小值点，所以f（x）0在（0，+）上有且只有1个解，所以ex+e
28、xax0在（0，+）上有且只有一个解，所以ex+exax，所以y1exex与y2ax有且只有1个交点，yex+ex22，当且仅当x0时，等号成立，y2a，所以a2，所以a的取值范围为（2，+）（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分10分.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（为极角），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角
29、坐标方程；（）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长解：（）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：，所以直线的倾斜角为所以：，曲线C1的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：（x2）2+y24转换为极坐标方程为：4cos，曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标的方程为：，整理得：，线l交曲线C1于O，A两点，则：，解得：A（2，），直线和曲线C2于O，B两点则：，解得：B（4，），所以：|AB|12|42选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|x+2|x1|（）解不等式f（x）x；（）设f（x）的最大值为t，如果正实数m，n满足m+2nt，求的最小值解：（）当x2时，f（x）（x+2）+（x1）3x，3x2，当2x1时，f（x）（x+2）+（x1）2x+1x，2x1，当x1时，f（x）（x+2）（x1）3x，x3，不等式f（x）x的解集为3，13，+）（）由（）得，当x2时，f（x）3当2x1时，f（x）2x+1（3，3），当x1时，f（x）3，f（x）的最大值为3，即t3，m+2n3，+（+）（m+2n）（+4）（2+4），当且仅当，即 m2n时取等号，+的最小值为
