1、章末总结曲 线 运 动 专题一曲线运动及其研究方法知识回顾1曲线运动的特点(1)做曲线运动的物体，在某点的瞬时速度的方向，就是曲线在该点的切线方向，物体在曲线运动中的速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动(2)在曲线运动中，由于速度在时刻变化，所以物体的运动状态时刻改变，故做曲线运动的物体所受合外力一定不为零2物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度来理解：物体所受合外力的方向与物体的速度方向不在同一条直线上，具体有如下图所示的几种形式(2)从运动学角度来理解：物体的加速度方向与速度方向不在同一条直线上3曲线运动的研究方法运动的合成与分解利用运动的合成与分解研究曲线运动的思维流程：(欲知
2、)曲线运动规律(只需研究)两直线运动规律(得知)曲线运动规律(1)运动的合成与分解互为逆过程，都遵循矢量的平行四边形定则.(2)在将实际运动分解为两个直线运动时，其分解原则是按运动的实际效果分解或正交分解，同时应明确实际物体的运动就是合运动，若是两个物体相互关联，则沿关联物(绳或杆)方向的投影速度相等.(3)运动的合成与分解，实际是有关运动学物理量(速度、位移、加速度)的合成与分解.4运动的合成与分解的两个实例(1)“关联”速度问题在运动过程中，绳、杆等有长度的物体，其两端点的速度通常不是一样的，但两端点的速度是有联系的，我们称之为“关联”速度，解决“关联”速度问题的关键有两点：一是物体的实际
3、运动是合速度，分速度的方向要按实际运动效果确定；二是沿杆(或绳)方向的分速度大小相等如图甲所示，绳子一头连着物体B，一头拉小船A，这时船的运动方向不沿绳子处理方法：如图乙所示，把小船的速度vA沿绳方向和垂直于绳的方向分解为v1和v2，v1就是拉绳的速度，vA是小船的实际速度(2)小船渡河问题船横渡过河时，船的实际运动v(即相对于河岸的运动)可以看成是随水以速度v水漂流的运动和以速度v船相对于静水的划行运动的合运动这两个分运动互不干扰而且具有等时性，如右图所示渡河时间t最短问题a渡河时间t的大小取决于河岸的宽度d及船在垂直河岸方向上的速度的大小b若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可由图
4、可知，此时tmin，船渡河的位移x，位移方向满足tan.渡河位移最短问题求解渡河位移最短问题，分为两种情况：a若v水v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是：如图所示，按水流速度和船的静水速度大小的比例，先从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线，其方向为船位移最小时的合运动的方向这时船头与河岸夹角满足cos，最短位移xmin，xmin过河时间t.注意小船渡河用时最短与位移最短是两种不同的运动情景，时间最短时，位移不是最短典例剖析如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的
5、速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为，则小船的运动性质及此时刻小船水平速度vx为()A小船做变速运动，vxB小船做变速运动，vxv0cosC小船做匀速直线运动，vxD小船做匀速直线运动，vxv0cos易错分析对合运动为实际运动认识不到位，错将沿绳的运动认为是合运动而导致错解正确解答小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效果：一是使绳子OP段缩短；二是使OP段绳与竖直方向的夹角减小所以小船的速度vx应分解为沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1，由运动的分解可求得vx，角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变速运动，且vx.答案A(1)运动的分解是按运动的实
6、际运动效果进行分解的.(2)在分析用绳或杆相连的两个物体的速度关系时，均是将物体的速度沿绳或杆方向和垂直于绳或杆的方向进行分解.(3)沿绳或杆方向的分速度大小相等，列方程求解.小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin370.6)易错分析理解不好船相对于静水的速度与船的实际运动的合分关系，错误分解或合成而造成错解正确解答(1)因为小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t
7、 s40 s，小船沿河流方向的位移xv水t340 m120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图所示，则v合4 m/s，经历时间t s50 s.又cos0.6即船头指向与岸的上游所成角度为53.答案(1)40 s正对岸下游120 m处(2)船头指向与岸的上游成53角50 s小船渡河问题能很好分析合运动与分运动的关系，要弄清物理情境，明确三个速度，船过河时间最短，只要船在静水中的速度垂直河岸就可以了，但是求过河位移最短时，要注意船在静水中的速度与水流速度的大小关系，选用不同的分析方法.在分析求解具体问题时，要
8、明确小船渡河时其航行的方向为合速度的方向，并找出小船的航向，确定合速度的方向，这是解决此类问题的关键. 题组训练1如图所示，水平面上有一汽车A，通过定滑轮用绳子拉同一水平面的物体B，当拉至图示位置时，两绳子与水平面的夹角分别为、，二者速度分别为vA和vB，则()AvAvB11BvAvBsinsinCvAvBcoscosDvAvBsincos解析物体B实际的速度(合运动)水平向右，根据它的实际运动效果，两分运动分别为：沿绳方向的分运动，设其速度为v1；垂直绳方向的圆周运动，设其速度为v2，如图甲所示，则有：v1vBcos物体A实际的速度(合运动)水平向右，根据它的实际运动效果，两分运动分别为：沿
9、绳方向的分运动，设其速度为v3，垂直绳方向的圆周运动，设其速度为v4，如图乙所示，则有：v3vAcos.又因二者沿绳子方向上的速度相等，则有：v1v3.由式得：vAvBcoscos.答案C2一条河宽为L900 m，水的流速为v50 m/s，并在下游形成壮观的瀑布一艘游艇从距离瀑布水平距离为l1200 m的上游渡河，为了不被冲进瀑布，游艇应如何航行速度最小，最小值为多少？此时游艇在河中航行的时间为多少？解析为了不被冲进瀑布，而且速度最小，则游艇的临界航线OA如图所示船头应与航线垂直，并偏向上游，最小速度等于水的流速沿垂直于航线方向的分量，由几何关系可得sin，cos.所以vminvvsinv30
10、 m/s.此时游艇在河中航行的时间为t37.5 s.答案30 m/s37.5 s专题二平抛运动及其研究方法知识回顾平抛运动是典型的匀变速曲线运动，它的动力学特征是：水平方向有初速度而不受外力，竖直方向只受重力而无初速度，抓住了平抛运动的这个初始条件，也就抓住了解决此类问题的关键1平抛运动常见的解题方法(1)利用平抛运动的时间特点解题平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，只要抛出的时间相同，下落的高度和竖直分速度就相同(2)利用平抛运动的偏转角解题设平抛物体下落高度为h，水平位移为x时，速度vA与初速度v0的夹角为，由图可得tan将vA反向延长与AA相交于O点，设AOd
11、，则有tan解得dxtan22tan其中为位移sA与水平方向的夹角两式揭示了偏转角和其他各物理量的关系，是平抛运动的一个规律，运用这个规律能巧解平抛运动问题(3)利用平抛运动的轨迹解题平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上的任一段，就可求出水平初速度和抛出点，其他物理量也就迎刃而解了如图所示为某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取两点A和B，分别过A点作竖直线，过B点作水平线相交于C点，然后过BC的中点D作垂线交轨迹于E点，过E点再作水平线交AC于F点，小球经过AE和EB的时间相等，设为单位时间T.Tv0小球在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内满足h1h2h3135，
12、因此，只要求出的值，就可以知道AE和EB是在哪个单位时间段内2与斜面有关的平抛运动平抛运动经常与斜面相结合，求解此类问题的关键是挖掘隐含的几何关系，常见的模型有两种：(1)物体做平抛运动时垂直落到斜面上；(2)物体从斜面上平抛后又落回到斜面上两种情况具体分析如下：方法内容实例总结斜面求小球平抛时间分解速度水平方向vxv0竖直方向vygt合速度大小vtan，t分解速度，构建速度平行四边形分解位移水平方向xv0t竖直方向ygt2合位移大小x合tan，t分解位移，构建位移平行四边形3.类平抛运动(1)类平抛运动的受力特点物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直(2)类平抛运动的运动特点在初速度v0方
13、向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a.(3)运动规律匀速直线运动方向：vxv0，xv0t.匀加速直线运动方向：vyat，yat2.典例剖析如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把球垂直于网水平击出(g取10 m/s2)(1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界？(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度易错分析确定不好排球的临界运动状态，更没有良好的作图分析问题的习惯而造成错解正确解答(1)如下图
14、所示，排球恰不触网时其运动轨迹为，排球恰不出界时其运动轨迹为，根据平抛运动的规律，由xv0t和hgt2可得，当排球不触网时有x13 m，x1v1t1h12.5 m2 m0.5 m，h1gt由可得v19.5 m/s当排球恰不出界时有x23 m9 m12 m，x2v2t2h22.5 m，h2gt由可得v217 m/s所以排球既不触网也不出界的速度范围是95 m/sv017 m/s.(2)如下图所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹设击球点的高度为h，根据平抛运动的规律有x13 m，x1v0t1h1h2 m，h1gt12x23 m9 m12 m，x2v0t2h2hgt22由式可得，所求高度h2.1
15、m.答案(1)9.5 m/sv017 m/s(2)2.1 m这类题目，可认为其运动为平抛运动，解决此类问题的关键有三点：(1)确定运动性质；(2)确定临界状态；(3)确定临界轨迹，并画出轨迹示意图. 题组训练1.如图所示，一质点做平抛运动先后经过A、B两点，到达A点时速度方向与水平方向的夹角为30，到达B点时速度方向与水平方向的夹角为60.(1)求质点在A、B位置的竖直分速度大小之比；(2)设质点的位移AB与水平方向的夹角为，求tan的值解析(1)设质点平抛的初速度为v0，在A、B点的竖直分速度分别为vAy、vBy则vAyv0tan30，vByv0tan60解得(2)设从A到B所用的时间为t，
16、竖直位移和水平位移分别为y、x则tan，xv0t，yt联立解得tan答案(1)13(2)2.如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨道的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道O是圆弧的圆心，1是OA与竖直方向的夹角，2是BA与竖直方向的夹角则()A.2 Btan1tan22C.2 D.2解析由题意可知：tan1，tan2，所以tan1tan22，故B正确答案B3.(多选)一光滑宽阔的斜面，倾角为，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下面说法中正确的是()A小球的运动轨迹为抛物线B小球的加速度为gC小球到达B点的
17、时间为D小球到达B点的水平方向位移为v0解析小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度垂直，做类平抛运动，轨迹为抛物线，A正确根据牛顿第二定律知，小球的加速度agsin，B错误小球在沿斜面方向向下的位移为，根据at2，解得t，C正确在水平方向上做匀速直线运动，故水平位移xv0t，D错误答案AC专题三圆周运动及其研究方法知识回顾1描述圆周运动的几个物理量之间的关系(1)vr，T.(2)Fnmmr2，anr2v.(1)上面各式有些仅适用于匀速圆周运动，有些适用于任何圆周运动.(2)要注意各个物理量之间的瞬时对应关系.2分析圆周运动问题的关键及步骤分析清楚向心力的来源是解决圆周运动问题的
18、关键，分析向心力来源的步骤是：(1)首先确定匀速圆周运动的圆周轨道所在的平面，其次找出轨道圆心的位置，然后分析做圆周运动物体所受的力，并作出受力示意图，最后找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心力，如火车转弯、圆锥摆等问题(2)如果物体做变速圆周运动，它所受的合外力一般不是向心力，一般不指向圆心，但沿着半径方向的合力提供向心力，只有在某些特殊位置，合力才可能是向心力，如小球用绳拴着在竖直面内做圆周运动的最高点和最低点当分析向心力来源时采用正交分解法，坐标原点就是做圆周运动的物体，一定有一个坐标轴的正方向沿着半径指向圆心.3绳模型与杆模型在竖直面内圆周运动最高点的临界条件(1)轻绳模型(特点：只
19、能产生拉力)小球能过最高点的临界条件：v.小球能过最高点条件：v.不能过最高点条件：v.(2)轻杆模型(特点：既能产生拉力，又能产生推力)小球能过最高点的临界条件：v0.小球受支持力的条件：v，mgFm，F随v增大而减小，且F，mgFm，F随v增大而增大小球不受杆拉力的条件：v.典例剖析杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g10 m/s2)()A“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B“水流星”通过最高点时，绳的
20、张力及容器底部受到的压力均为零C“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N易错分析不能理解水不流出时临界受力条件，不能把受力和运动联系起来，列出相应的向心力方程，故造成错解正确解答(1)在最高点时，若水恰不流出时，则有：mg，临界速度v04 m/s，即题目中速度4 m/s正好为临界速率，故A错，B对；在最高点时，水只受重力，不是不受力，故C错；在最高点时，绳子不受拉力，故D错答案B“二明、一分、一用”解竖直平面内圆周运动问题题组训练1.(多选)如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是()A
21、小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为D小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力解析小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则可以使绳子的拉力为零，B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v，C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确答案CD2(多选)如图所示，长0.5 m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3 kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2 m/s.g取10 m/s2，下列说法正确的是()A小球通过最高点时，对杆的拉力大小是24 NB小球通过最高点时，对杆的压力大小是6 NC小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24 ND小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54 N解析设小球在最高点时受杆的弹力向上，则mgFNm，得FNmgm6 N，故小球对杆的压力大小是6 N，A错误，B正确；小球通过最低点时FNmgm，得FNmgm54 N，小球对杆的拉力大小是54 N，C错误，D正确答案BD
