1、第2章2.42.5 一、选择题1如图为圆的渐开线，已知基圆的半径为2，当AOB时，圆的渐开线上的点M到基圆上B点的距离为()A B C D解析：由圆的渐开线的形成过程，得|BM|2.答案：B2已知圆的渐开线的参数方程为为参数，点M是此渐开线上一点，则点M与原点的距离的最小值是()A3B4C5D6解析：由圆的渐开线的定义，知渐开线开始时的点(3,0)与原点的距离最小答案：A3关于渐开线和平摆线的叙述，正确的是()A只有圆才有渐开线B渐开线和平摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到不同的图形C正方形也可以有渐开线D对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不
2、同解析：不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆，不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的渐开线的形状和大小都是一样的，只是方程的形式及渐开线在平面直角坐标系中的位置可能不同答案：C4已知平摆线的参数方程为为参数，当时，对应于平摆线上的点的坐标是()A(2，8)B(4，8)C(4， 8)D(2，8)解析：把代入参数方程，得x4(sin )4，y4(1cos )8.答案：C二、填空题5半径为5的圆沿地平面内一定直线做无滑动的滚动，圆与该直线的切点为点A，则点A相邻两次着地点间的距离为_.解析：取点A的初时位置为坐标原
3、点，定直线为x轴，滚动方向为正方向建立平面直角坐标系，则点A的轨迹方程为令y0，得cos 1.取10，22，则x10，x210，x2x110.答案：106渐开线(为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为_解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r6，其方程为x2y236，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2y236.整理，得1，这是一个焦点在x轴上的椭圆由已知，得c6.故焦点坐标为(6，0)和(6，0)答案：(6，0)和(6，0)三、解答题7.如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫作“正方
4、形的渐开线”，其中，的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，求曲线AEFGH的长解：根据渐开线的定义，可知是半径为1的圆周长，长度为；继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2.所以曲线AEFGH的长是5.8已知圆C的参数方程是为参数，直线l的普通方程是xy60.(1)如果把圆心平移到原点O，那么平移后圆和直线有什么关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程(3)求平摆线和x轴的交点解：(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线xy60的距离为d6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的(2)由圆的半径是6，可得平摆线方程是(为参数)(
5、3)令y0，得66cos 0，即cos 1.2k(kZ)代入x66sin ，得x12k(kZ)故圆的平摆线和x轴的交点为(12k ,0)(kZ)一、选择题1已知圆的方程为x2y24，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标为()AB(，2)CD(，1)解析：由题意，知圆的半径r2，其渐开线的参数方程为为参数当时，x，y2.故点P的坐标为(，2)答案：B2已知平摆线的参数方程为参数，则摆线上的点(4，0)对应的参数的值是()AB2C4D3解析：由题意，得由，得cos 1.2k(kZ)代入，得2(2ksin 2k)4k(kZ)，即2k2(kZ)取k1，此时2，点(4，0)对应的参数值为2.答
6、案：B二、填空题3已知圆的渐开线的参数方程是为参数，则此渐开线对应的基圆的直径是_；当时对应的曲线上的点的坐标为_.解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把代入曲线的参数方程，得x，y.由此可得所求的坐标为.答案：24我们知道关于直线yx对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线(为参数)关于直线yx对称的曲线的参数方程为_.解析：关于直线yx对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出平摆线方程关于yx对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换答案：(为参数)三、解答题5已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出当该圆的半径最大时该摆线的参数方程解：令y0，可得a(1cos )0.由于a0，即得cos 1.2k(kZ)代入xa(sin )，得xa(2ksin 2k)又x1，a(2ksin 2k)1.a(kZ)又a0，a(kN*)易知当k1时，a取最大值，为.代入即可得圆的摆线的参数方程为为参数6有一个直径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M与轮子中心连线的中点P的轨迹方程解：xMa(sin )，yMa(1cos )设轮子中心为C，则xca，yca.P是CM的中点，为参数