1、湖南省长沙市宁乡市第一高级中学2019-2020学年高一数学下学期4月入学考试试题（含解析）考试时间：120分钟 总分：150分第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分，每小题有且仅有一个正确答案）1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据奇偶性和单调性的性质对选项分别判断即可.【详解】对选项A，是奇函数，在定义域上不是单调函数，故错误；对选项B，是奇函数，在定义域上单调递减，故正确；对选项C，是非奇非偶函数，故错误；对选项D，是非奇非偶函数，故错误.故选：B【点睛】本题主要考查常见函数的单调性和奇偶性，属于简单题.2
2、.若函数满足，则的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，得到代入条件, 可求出的解析式即可【详解】设，则.所以有所以故选：D【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，考查换元思想，属于基础题3.已知x(0，关于x的方程2sin=a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为()A. -，2B. ，2C. (，2D. (，2)【答案】D【解析】【分析】由题意可得，函数的图象和直线有2个交点，故得，从而得到【详解】，因为关于的方程有两个不同的实数解，所以函数的图象和直线有2个交点，可得，故选【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象和性质，属于中档题4.已知向
3、量，其中，若，则的最大值为（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】已知向量， 根据，得到，即，再利用基本不等式求解.【详解】已知向量， 因为，所以，即， 又因为，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为 .故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5.设为等差数列，若，且它的前项和有最小值，那么当取得最小正值时的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】为等差数列,有最小值，则，又，说明， ， ，则 ， ，则为最小正值.选C.6.由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的车辆驾驶人员血液、呼气
4、酒精含量阀值与检验标准（）于年月日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，喝瓶啤酒的情况且图表示的函数模型，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：，）（）驾驶行为类型阀值饮酒后驾车，醉酒后驾车车辆驾车人员血液酒精含量阀值A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意知车辆驾驶人员血液中的酒精小于时可以开车，此时，令，解出的取值范围，结合题意求出结果.【详解】由图知，当时，函数取得最大值，此时；当时，当车辆驾驶人员血液中酒精小于时可以
5、开车，此时.由，得，两边取自然对数得，即，解得，所以，喝啤酒需个小时候才可以合法驾车，故选B.【点睛】本题考查了散点图的应用问题，也考查了分段函数不等式的应用问题，解题的关键就是将题中的信息转化为不等关系，利用分段函数来进行求解，考查分析问题的能力，属于中等题.7.已知函数则函数的零点个数为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】D【解析】【分析】的零点个数，即方程的根的个数，设，根据的图像得到的值，在研究的交点个数，从而得到答案.【详解】函数，令，得，所以的零点个数，即方程的根的个数，设，则.作出函数的图像，如图所示，结合图像可知，方程有3个实根，则有1个解，有3个解，有3个解.故方程
6、有7个解，即函数有7个零点，故选【点睛】本题考查复合函数的零点问题，函数与方程，分段函数的图像与性质，属于中档题.8.已知函数，若对于任意，存在，使得，则实数的范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】要使命题成立需满足，利用函数的单调性，可求最值，即可得到实数m的取值范围【详解】要使命题成立需满足函数f（x）lg（x2+1）在0，3上是增函数，所以f（x1）minf（0）0，函数g（x）（）xm在1，2上是减函数，所以g（x2）ming（2）m，0m，即m故选：D【点睛】本题考查函数最值的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，要使命题成立需满足，是解题的关键
7、，属于中档题二、多选题（每小题5分，共20分，每小题都有多个正确答案，全对得5分，漏选得3分，错选、不选得0分）9.已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）A. 函数为增函数B. 函数为偶函数C. 若，则D. 若，则.【答案】ACD【解析】【分析】将点(4,2)代入函数，求出的值，根据幂函数的性质对选项进行逐一判断即可得答案.【详解】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.当时，即，所以C正确.当若时，=.=.=.即成立，所以D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查幂函数的基本性质，其中选项D还可以直接由
8、基本不等式进行证明，属于中档题.10.已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，则下列结论正确的有( )A. B. 直线是函数图象的一条对称轴C. 函数在上有个零点D. 函数在上为减函数【答案】ABD【解析】【分析】先由题意判断函数单调性、奇偶性、对称性、周期性，进而作出函数的草图，结合图象逐一判断各选项是否正确.【详解】由奇函数可得.由令可得，则,的图象关于直线对称.，所以是周期为的周期函数.当，且时，都有，所以在区间上单调递增.根据以上信息可画出函数的草图如图所示.选项A,易得，所以，A正确.选项B，直线是函数图象的一条对称轴，B正确.选项C，函数在上有个零点，C不正确.选项
9、D，函数在上为减函数，D正确.故选ABD.【点睛】本题综合考查函数的单调性、奇偶性、周期性等性质.11.定义运算，设函数，则下列命题正确的有（ ）A. 的值域为 B. 的值域为 C. 不等式成立的范围是D. 不等式成立的范围是【答案】AC【解析】【分析】根据题目给出的定义运算法则先求出的表达式，然后作出函数图像，根据函数图像可得答案.【详解】由函数，有,即，作出函数的图像如下，根据函数图像有的值域为，若不等式成立，由函数图像有当即时成立，当即时也成立. 所以不等式成立时，.故选：AC.【点睛】本题考查在新的概念下解决函数的性质问题，考查指数函数的性质，关键是弄清楚新定义的意义，属于基础题.12
10、.已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是( )A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】先化简的解析式，作出的图象，容易得出的取值范围，则可得答案.【详解】. 作出函数的图象如图所示,在一个周期内考虑问题，易得或满足题意，所以的值可能为区间内的任意实数.所以A,B可能，C,D不可能.故选CD.【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的图象与性质.解题的一般思路是先把解析式化成的形式，再结合图象研究性质.第II卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知，则从小到大排列是 （用“”连接）【答案】【解析】试题分析：由对数函数图象知，所以.考点：三角函数的单调性、对数函数的
11、图象.14.设向量不平行向量与平行,则实数_.【答案】【解析】【分析】根据平面向量共线基本定理,可设,即可求得的值.【详解】因为向量不平行,向量与平行由平面向量共线基本定理可设则根据向量数乘运算可得解得故答案为:【点睛】本题考查了平面向量共线基本定理的简单应用,由平面向量共线求参数,属于基础题.15.已知等比数列满足，且，则当时，_【答案】【解析】试题分析：因为，l，2，且，所以= n（2n-1）考点：本题主要考查等比数列的通项公式，对数函数的性质点评：简单题，在等比数列中，16.已知函数，若对任意实数，恒有，则_【答案】【解析】【分析】由函数取得最值的条件，可求得，再由三角恒等变换求的值.【
12、详解】对任意实数，恒有，则为最小值，为最大值.因，而，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值.所以.所以.所以.【点睛】本题考查三角函数的最值和三角恒等变换，解题的突破口是由不等式恒成立得出函数的最值.四、解答题（共6个小题，共70分）17.设集合，当时，求，；记，若集合C的子集有8个，求实数a的取值集合【答案】（1），；（2）3，【解析】【分析】当时，由此能求出，由，集合C的子集有8个，得到集合C中有3个元素，由此能求出实数a的取值集合【详解】由集合，当时， ， ，集合C的子集有8个，所以集合C中有3个元素 而，故实数a的取值集合为【点睛】本题主要考查了交集、并集、实数的取值集合的求法，其中
13、解答中熟记集合的交集、并集和补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题18.已知函数（1）判断函数在上的单调性，并利用定义证明：（2）解关于x的不等式【答案】（1）是增函数，证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设，再做差，变形，判断正负，判断函数的单调性；（2）首先判断和的值域，由（1）可知函数的单调性，根据函数的单调性，解抽象不等式.【详解】解：（1）在上是增函数，证明如下：设，则；在上是增函数；（2）由（1）知，在上是增函数，且；由得，；原不等式的解集为【点睛】本题考查函数单调性的判断，利用单调性解不等式，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.19.
14、某市每年春节前后,由于大量的烟花炮竹的燃放,空气污染较为严重该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现,每天空气污染的指数f（t），随时刻t（时）变化的规律满足表达式，其中a为空气治理调节参数,且a（0，1）(1)令,求x的取值范围；(2)若规定每天中f（t）的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过5,试求调节参数a的取值范围【答案】(1)0，1；(2).【解析】【分析】(1)题根据t的取值范围，及复合函数同增的单调性可得x的取值范围；(2)题根据第(1)题的提示构造一个函数h（x）=|x-a|+3a+2，然后将绝对值函数转化成分段函数，考虑单调性及最
15、大值的取值，再与5比较，即可得到调节参数a的取值范围详解】(1)由题意,0t24，则1t+110,0=lg1lg（t+1）lg10=1故x的取值范围为：0，1(2)由(1),知： 可设则根据一次函数的单调性,很明显h（x）在0，a）上单调递减,在a，1上单调递增用表示函数的最大值是中最大的值.，,即,解得0aa的取值范围为：（0，【点睛】本题主要考查复合函数的单调性,根据定义域及解析式求值域,构造函数法的应用,绝对值函数转化为分段函数的方法,不等式的计算能力本题属综合性较强的中档题20.已知满足，（1）求证：是等比数列；（2）求这个数列的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【详解】
16、试题分析：（1）由已知，变形为；且，所以；即数列是首项为4，公比为2的等比数列；（2）由（1）知：，所以.试题解析：（1）证明：由已知，变形为；且，所以；即数列是首项为4，公比为2的等比数列；（2）由（1）知：数列是首项为4，公比为2的等比数列，所以，所以.考点：等比数列的定义；数列的通项公式.21.如图在直角坐标系中，的圆心角为，所在圆的半径为1，角的终边与交于点C. （1）当C为的中点时，D为线段OA上任一点，求的最小值；（2）当C在上运动时，D，E分别为线段OA，OB的中点，求的取值范围.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】(1)根据题意设D（t，0）（0t1）,C（，），表示出向
17、量的坐标，再利用模的公式求解.（2）设（cos，sin），E（0，），D（，0），分别表示出向量与向量的坐标，由数量积公式得到sin（），再用三角函数的图象和性质求解.【详解】(1)设D（t，0）（0t1）,C（，），（t，），=（t）2，（0t1），t时，的最小值为.（2）设（cos，sin），0，E（0，），D（，0），（cos，sin），（，），cossinsin（），0，sin（）1，1，sin（），.的取值范围是：，.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，模的求法，数量积运算以及三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于中档题.22.已知函数. (1)求的
18、最小正周期；(2)求在区间上的最大值和最小值；(3)若关于x的不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1) ;(2) 最大值为，最小值为;(3) .【解析】【分析】(1)化简函数为,利用周期公式求解即可;(2)先求得,再利用正弦函数的性质可得最值;(3) 不等式恒成立等价于，在恒成立,从而利用反比例函数的性质求最值即可.【详解】 (1)，所以的最小正周期为. (2)当时, ,当时,即时函数求得最小值;当时,即时函数求得最大值;所以在区间上的最大值为，最小值为 (3)对，所以不等式恒成立等价于，对，恒成立，即， 设，则，令，且在上为增函数， 所以，所以，.【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的性质，考查了恒等变换化简三角函数，考查了函数与不等式的求参问题，属于中档题.
