1、专题测试三平面向量(时间90分钟，满分100分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量与向量相等；若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线其中正确命题的序号是()ABC D解析：选A.本题考查向量的基本概念根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可以不同，故两个单位向量不一定相等，故错误；与互为相反向量，故错误；方向相同或相反的向量为共线向量，由于与无公共点，所以A，B，C，D四点不一定共线，故错误2.在ABC中，c，b
2、.若点D满足2，则()A.bc B.cbC.bc D.bc解析：选C.因为2，所以2()，得32c2b，即cb.3设向量a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，则(a2b)c()A(15,12) B11C1 D3解析：选D.本题考查向量数量积的坐标运算依题意知，a(1，2)，b(3,4)，a2b(1，2)2(3,4)(5,6)c(3,2)，(a2b)c(5,6)(3,2)53623.4在锐角三角形ABC中，已知|4，|1，ABC的面积为，则的值为()A2 B2C4 D4解析：选A.由题意得ABACsin A，即41sin A，故sin A.因为A为锐角，所以A60，所以|cos A41cos
3、 602.5已知a(3,2)，b(1,0)，向量ab与a2b垂直，则实数的值为()A. BC. D解析：选D.由已知条件可得ab(31,2)，a2b(1,2)因为向量ab与a2b垂直，所以(ab)(a2b)0，即3140，解得.6如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么()A.BCD.解析：选D.因为点E是CD的中点，所以.因为点F是BC的中点，所以.所以.7ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，则角C的大小为()A. B.C. D.解析：选B.pq，(ac)(ca)b(ba)，即b2a2c2ab.由余弦定理得
4、cos C，又0C，C.8已知非零向量a，b，使得|ab|a|b|成立的一个充分不必要条件是()Aab Ba2b0C. Dab解析：选B.|ab|a|b|成立，其充要条件是向量a，b共线且方向相反当a2b0时，a2b，|ab|a|b|成立；反之，不成立9定义：|ab|a|b|sin ，其中为向量a与b的夹角，若|a|2，|b|5，ab6，则|ab|()A8 B8C8或8 D6解析：选B.由题意知ab25cos 6，解得cos .由0，得sin .所以|ab|a|b|sin 258.10已知O为平面上的一个定点，A，B，C是该平面上不共线的三点，若()(2)0，则ABC是()A以AB为斜边的直角
5、三角形B以BC为斜边的直角三角形C以BC为底边的等腰三角形D以AB为底边的等腰三角形解析：选C.本题考查平面向量的数量积及应用由题意知()(2)()0.如图所示，取点D为线段BC的中点，则2，所以ADBC，即AD是BC的中垂线，所以ABAC，即ABC是以BC为底边的等腰三角形11设向量a，b，c满足|a|b|1，ab，ac，bc60，则|c|的最大值等于()A2 B.C. D1解析：选A.|a|b|1，ab，向量a，b的夹角为120.如图所示，设a，b，c，则ac，bc，AOB120，所以ACB60，AOBACB180，A，O，B，C四点共圆，不妨设为圆M.ba，2a22abb23，|，由正弦
6、定理可得AOB的外接圆即圆M的直径2R2，当|为圆M的直径时，|c|取得最大值2.12给出下列命题：对于任意两个向量a，b，均有|a|b|a|b|；对于任意两个向量a，b，ab与ba是相反向量；在ABC中，0；在四边形ABCD中，()()0；在ABC中，.以上命题中所有真命题的序号是()A BC D解析：选D.中，当b0时，|a|b|a|b|，该命题不是真命题；中，(ab)(ba)a(b)b(a)(aa)(bb)0，该命题是真命题；中，0，该命题是真命题；中，()()0，该命题不是真命题；中，该命题不是真命题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上)13已知向量a(
7、3,4)，b(sin ，cos )，且ab，则tan 2_.解析：ab，3cos 4sin 0，tan ，tan 2.答案：14已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则_.解析：由已知条件可得manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)manb与a2b共线，即n2m12m8n，.答案：15如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_解析：因为，所以()|2|22，又|8，|5，所以22.答案：2216已知向量a与向量b的夹角为120，若(ab)(a2b)，且|a|2，则b在a上的投影为_解析：本题考查
8、平面向量数量积的几何意义因为向量b与向量a的夹角为120，所以b在a上的投影为|b|cos 120|b|，问题转化为求|b|.因为(ab)(a2b)(ab)(a2b)02|b|2|b|40，故|b|(负值舍去)所以b在a上的投影为.答案：三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)若cta(1t)b，且bc0，求t及|c|.解：(1)由(2a3b)(2ab)61，得ab6，cos .又0，.(2)bcbtab(1t)b215t90，t，|c|22，|c|.18(本小题满分10分)设向量m(cos ，1)，n(sin ，2)，且mn，其中.(1)求sin ；(2)若sin()，求cos .解：(1)mn，2cos sin .又sin2cos21，sin2sin21，sin2.，sin 0，sin .(2)，.sin()，cos().又sin ，cos .cos coscos cos()sin sin().