1、2015-2016学年河南省安阳三十六中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是（）A命题p是真命题B命题p的否命题是假命题C命题p的逆否命题是假命题D命题p的否命题是真命题2设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：xA，2xB，则（）Ap：xA，2xBBp：xA，2xBCp：xA，2xBDp：xA，2xB3已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）ABCD4已知向量=（3，2，1），=（2，4，0），则4+
2、2等于（）A（16，0，4）B（8，0，4）C（8，16，4）D（8，16，4）5已知aR，则“a2”是“a22a”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6p：若x2+y20，则x，y不全为零，q：若m2，则x2+2xm=0有实根，则（）A“pq”为真B“p”为真C“pq”为真D“q”为假7过双曲线x2=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有（）A1条B2条C3条D4条8一个动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点（3，0）连线中点的轨迹方程是（）A（x+3）2+y2=4B（X3）2+y2=1C（X+）2+y2=D（2x3）2
3、+4y2=19若平面的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（2，3，3），则l与所成角的正弦值为（）ABCD10已知平面的一个法向量=（2，2，1），点A（1，3，0）在内，则P（2，1，4）到的距离为（）A10B3CD11该试题已被管理员删除12过点M（2，0）的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1，P2，线段P1P2的中点为P设直线l的斜率为k1（k10），直线OP的斜率为k2，则k1k2等于（）A2B2CD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）13原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线其逆命题为（真、假）14如果三点
4、A（1，5，2），B（2，4，1），C（a，3，b+2）在同一条直线上，那么a+b=15已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=16已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图，已知圆D：x2+y24x+4y+6=0，若P为圆D外一动点，过P向圆D作切线PM，M为切点，设|PM|=2，求动点P的轨迹方程18已知过抛物线y2=2px（p0）的焦点，斜率为的直线
5、交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1x2）两点，且|AB|=9，（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值19如图所示，AF、DE分别是O、O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是O的直径，AB=AC=6，OEAD（1）求二面角BADF的大小；（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值20已知双曲线实轴长为6，一条渐近线方程为4x3y=0过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点（1）求双曲线的方程；（2）求线段AB的中点C到焦点F的距离21如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E，F分别是棱A
6、B，BC的中点证明A1，C1，F，E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值22已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个短轴端点是（0，2）（1）求椭圆C的方程；（2）P（2，3）、Q（2，3）是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；当A、B运动时，满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由2015-2016学年河南省安阳三十六中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1一
7、个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是（）A命题p是真命题B命题p的否命题是假命题C命题p的逆否命题是假命题D命题p的否命题是真命题【考点】四种命题【分析】根据逆否命题的等价性进行判断【解答】解：逆命题和否命题互为逆否命题，它们的真假性相同，依题意，则命题p的否命题是假命题，故选：B2设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：xA，2xB，则（）Ap：xA，2xBBp：xA，2xBCp：xA，2xBDp：xA，2xB【考点】命题的否定；特称命题【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题【解答】解：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，命题p：xA，2xB
8、 的否定是：p：xA，2xB故选C3已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）ABCD【考点】椭圆的标准方程【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2c2求出b2，则椭圆的方程可求【解答】解：由题意设椭圆的方程为因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2c2=3所以椭圆的方程为故选D4已知向量=（3，2，1），=（2，4，0），则4+2等于（）A（16，0，4）B（8，0，4）C（8，16，4）D（8，16，4）【考点】空间向量运算的坐标表示【分析】根据平面向量的坐标运算，
9、进行计算即可【解答】解：向量=（3，2，1），=（2，4，0），所以4+2=4（3，2，1）+2（2，4，0）=（8，0，4）故选：B5已知aR，则“a2”是“a22a”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式【分析】我们分别判断“a2”“a22a”与“a22a”“a2”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案【解答】解：当“a2”成立时，a22a=a（a2）0“a22a”成立即“a2”“a22a”为真命题；而当“a22a”成立时，a22a=a（a2）0即a2或a0a2不一定成立即“a22a”“a2”为假命题；故“a2”是“a22a”的
10、充分非必要条件故选A6p：若x2+y20，则x，y不全为零，q：若m2，则x2+2xm=0有实根，则（）A“pq”为真B“p”为真C“pq”为真D“q”为假【考点】复合命题的真假【分析】先将命题p，q化简，然后逐项判断【解答】解；命题p的逆否命题为“若x，y全为零，则x2+y2=0”是真命题，则原命题也是真命题；若x2+2xm=0有实根，则=4+4m0即m1，所以可以判定命题q为假命题；则p真q假，则“pq”为真，“pq”为假，A正确，C错误；p真，“p”为假，B错误；q为假则“q”为真；故选：A7过双曲线x2=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有（）A1
11、条B2条C3条D4条【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，做出直线与双曲线交点的纵标，得到也是一条长度等于4的线段【解答】解：双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，有3，解得y=2，此时直线AB的长度是4，即只与右支有交点的弦长为4的线仅有一条综上可知有三条直线满足|AB|=4，故选C8一个动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点（3，0）连线中点的轨迹方程是（）A（x
12、+3）2+y2=4B（X3）2+y2=1C（X+）2+y2=D（2x3）2+4y2=1【考点】轨迹方程【分析】根据已知，设出AB中点M的坐标（x，y），根据中点坐标公式求出点A的坐标，根据点A在圆x2+y2=1上，代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x3，2y），A在圆x2+y2=1上，（2x3）2+（2y）2=1，即（2x3）2+4y2=1故选D9若平面的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（2，3，3），则l与所成角的正弦值为（）ABCD【考点】平面的法向量【分析】根据直线l与平面所成的角的正弦值为|cos，|，求出即可【解答】
13、解：=（4，1，1），=（2，3，3），直线l与平面所成的角的正弦值为|cos，|=|=|=故选：D10已知平面的一个法向量=（2，2，1），点A（1，3，0）在内，则P（2，1，4）到的距离为（）A10B3CD【考点】点、线、面间的距离计算【分析】由题意算出=（1，2，4），根据向量=（2，2，1）是平面的一个法向量，算出向量在上的投影的绝对值，即可得到P到的距离，由此可得本题答案【解答】解：根据题意，可得A（1，3，0），P（2，1，4），=（1，2，4），又平面的一个法向量=（2，2，1），点A在内，P（2，1，4）到的距离等于向量在上的投影的绝对值，即d=故选：D11该试题已被管理员删
14、除12过点M（2，0）的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1，P2，线段P1P2的中点为P设直线l的斜率为k1（k10），直线OP的斜率为k2，则k1k2等于（）A2B2CD【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】设直线l的方程为y=k1（x+2），代入x2+2y2=2，得（1+2k12）x2+8k12x+8k122=0，然后由根与系数的关系求解能够得到k1k2的值【解答】解：设直线l的方程为y=k1（x+2），代入x2+2y2=2，得（1+2k12）x2+8k12x+8k122=0，所以x1+x2=，而y1+y2=k1（x1+x2+4）=，所以OP的斜率k2=，所以k1k2=，故
15、选D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）13原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线其逆命题为假（真、假）【考点】四种命题【分析】写出原命题的逆命题，并判断它的真假性【解答】解：原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线其逆命题是：在空间中，若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，它是假命题如平行四边形的四个顶点，满足任何三点都不共线，但四点共面故答案为：假14如果三点A（1，5，2），B（2，4，1），C（a，3，b+2）在同一条直线上，那么a+b=5【考点】空间中的点的坐标【分析】根据三点在同一条直线上，得出向量、共
16、线，利用共线定理求出a、b的值即可【解答】解：三点A、B、C在同一条直线上，向量、共线，又=（1，1，3），=（a1，2，b+4），=，解得a=3，b=2，a+b=5故答案为：515已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=【考点】抛物线的简单性质；两点间的距离公式【分析】根据题意设抛物线的方程为y2=2px（p0），利用抛物线的定义可得|MF|=2+=3，解得p=2，从而得到抛物线的方程由此算出点M的坐标为（2，），再利用两点间的距离公式即可算出|OM|的值【解答】解：抛物线经过点M（2，y），抛物线的开口向右设抛物线的方程为
17、y2=2px（p0），点M（2，y）到抛物线焦点F的距离为3，根据抛物线的定义，得|MF|=2+=3，解得p=2，由此可得抛物线的方程为y2=4x将点M坐标代入抛物线方程，得y2=42=8，解得y=，M坐标为（2，）|OM|=2故答案为：16已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是【考点】二面角的平面角及求法【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴
18、，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），E（），F（0，1，），=（，1，0），=（1，1，），设平面AEFD1的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，1，2），平面ABCD的法向量=（0，0，1），截面AEFD1与底面ABCD所成二面角为，cos=，sin=截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图，已知圆D：x2+y24x+4y+6=0，若P为圆D外一动点，过P向圆D作切线PM，M为切点，设|PM|=2，求动点P的轨迹方程【考点】轨迹方程【分析】求出圆D的圆心和半径，根据切线的性
19、质可得PD2=PM2+DM2，列出方程整理即可【解答】解：将圆D化为标准方程为（x2）2+（y+2）2=2圆D的圆心为D（2，2），半径r=设P（x，y），由题意得DMPM，PD2=PM2+DM2=6，（x2）2+（y+2）2=6即动点P的轨迹方程是（x2）2+（y+2）2=618已知过抛物线y2=2px（p0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1x2）两点，且|AB|=9，（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）直线AB的方程与y2=2px联立，有4x25px+p
20、2=0，从而x1+x2=，再由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，则抛物线方程可得（2）由p=4，4x25px+p2=0求得A（1，2），B（4，4）再求得设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2（x），与y2=2px联立，有4x25px+p2=0，x1+x2=由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9p=4，抛物线方程是y2=8x（2）由p=4，4x25px+p2=0得：x25x+4=0，x1=1，x2=4，y1=2，y2=4，从而A（1，2），B（4，4）设=（x3，y3）=（1，2）+（4，4）=（4+1，42）又2（21）2=8（4
21、+1），解得：=0，或=219如图所示，AF、DE分别是O、O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是O的直径，AB=AC=6，OEAD（1）求二面角BADF的大小；（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值【考点】直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法【分析】（1）由AD平面O可得ADAB，ADAF，故BAF即为所求角的平面角；（2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出，的坐标，求出cos，即可【解答】解：（1）AD与两圆所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，BAF是二面角BADF的平面角，AB=AC，BAC=90，O是BC的中点，BAF=BAC=45即二面角 QUOTE 的大小为
22、45（2）OA=OB，BAO=45，AOB=90以O为原点，以OB，OF，OE所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O（0，0，0），A（0，3，0），B（3，0，0），D（0，3，8），E（0，0，8），F（0，3，0），=（3，3，8），=（0，3，8），=0+18+64=82|=10，|=cos=故直线BD与EF所成的角为arccos20已知双曲线实轴长为6，一条渐近线方程为4x3y=0过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点（1）求双曲线的方程；（2）求线段AB的中点C到焦点F的距离【考点】双曲线的简单性质【分析】（1）运用双曲线的渐近线方程可得，结合
23、条件2a=6，可得a，b，进而得到双曲线的方程；（2）求得直线AB的方程，代入双曲线的方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得C的坐标，再由两点的距离公式计算即可得到所求值【解答】解：（1）由题得2a=6，得a=3，b=4，可得双曲线方程为；（2）由题意可得F（5，0），直线AB的方程为y=x5，联立，消去y，可得7x2+90x369=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得，可得中点C的横坐标为，可得C（，），F点横坐标为x=5，可得F（5，0），即有|CF|=21如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E，F分别是棱AB，BC的中点证明
24、A1，C1，F，E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角【分析】以D为原点建立坐标系，求出和的坐标，利用向量共线定理得出四点共面，求出和平面A1C1FE的法向量，则直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为|cos，|【解答】解：以D为原点建立空间直角坐标系如图所示：则A1（2，0，1），C1（0，2，1），E（2，1，0），F（1，2，0）D1（0，0，1），=（1，1，0），=（2，2，0）=2A1，C1，E，F四点不共线，A1C1EF，A1，C1，F，E四点共面=（0，1，1），=（0，2，1）设平面A1C1FE的法向量为=（x，y，z），则
25、，令z=1得=（1，1，1）cos，=直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为22已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个短轴端点是（0，2）（1）求椭圆C的方程；（2）P（2，3）、Q（2，3）是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；当A、B运动时，满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质【分析】（1）设椭圆C方程为=1（ab0），由离心率等于，它的一个短轴端点是（0，2），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（2）设直线AB的方程为
26、y=，代入，得：x2+tx+t212=0，由此利用根的判别式、韦达定理，弦长公式，能求出四边形APBQ面积的最大值当APQ=BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，PA的直线方程为y3=k（x2），PB的直线方程为y9=k（x2），由此利用韦达定理结合已知条件能求出AB的斜率为定值【解答】解：（1）椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，设椭圆C方程为=1（ab0），离心率等于，它的一个短轴端点是（0，2），解得a=4，b=2，c=2，椭圆C的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=，代入，得：x2+tx+t212=0，由0，解得4t4由韦达定理得x1+x2=t，四边形APBQ的面积S=9，当t=0时，当APQ=BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，PA的直线方程为y3=k（x2），由，整理得：（9+4k2）x2+8（92k）kx+4（92k）248=0，有同理PB的直线方程为y9=k（x2），得，从而kAB=，AB的斜率为定值2016年8月1日
