1、第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学 习 目 标核 心 素 养 1理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数(重点、难点)借助导数公式及运算法则求函数的导数，培养数学运算素养.自 主 预 习 探 新 知 导数的运算法则(1)设两个函数 f(x)，g(x)可导，则和的导数f(x)g(x)_差的导数f(x)g(x)_积的导数f(x)g(x)_ 商的导数fxgx_(g(x)0)fxgxfxgxgx2f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)常数与函数的积的导数cf(
2、x)(c 为常数)cf(x)思考：根据商的导数的运算法则，试求函数y1x的导数 提示 y1x1x1xx21x2.1函数yxln x的导数是()Ax B1xCln x1Dln xxC y(x)ln xx(ln x)ln x1.2函数yx4sin x的导数为()Ay4x3Bycos xCy4x3sin xDy4x3cos xD y(x4)(sin x)4x3cos x3函数y9x的导数为_y9x2 y9x9xx29x2.合 作 探 究 释 疑 难 利用导数的运算法则求导数【例1】求下列函数的导数：(1)y1x2sin x2cos x2；(2)yxx232x6 2；(3)ycos xln x；(4)
3、yxex.解(1)y1x2sin x2cos x2(x2)12sin x 2x312cos x 2x312cos x.(2)yx332x26x2 (x3)32x2(6x)(2)3x23x6.(3)y(cos xln x)(cos x)ln xcos x(ln x)sin xln xcos xx.(4)yxex xexxexex2exxexe2x1xex.利用导数运算法则的策略 1分析待求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.2如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求
4、导等.3利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.跟进训练1求下列函数的导数(1)ye2x；(2)yx2log3 x；(3)y xln x.解(1)ye2xexex，y(ex)exex(ex)2e2x.(2)yx2log3 x，y2x 1xln 3.(3)y xln x，yln x1ln x2.导数运算的综合应用【例2】设函数f(x)13 x3x23x5，点P是曲线yf(x)上的一个动点(1)求以P点为切点的切线斜率的取值范围；(2)求以P点为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程思路点拨 求出f(x)，转化为求f(x)的最值问题 解
5、(1)因为f(x)13x3x23x5，所以f(x)x22x3(x1)244.所以以P点为切点的切线斜率的取值范围为4，)(2)由(1)知f(x)min4，即当x1时，kf(x)min4，又因为f(1)13135263，故此时的切线方程为y263 4(x1)，即12x3y140.1本题主要考查导数的运算法则，导数的几何性质及二次函数最值问题及求曲线的切线方程2曲线的切线问题是这类问题的纽带和桥梁，如求与坐标轴围成的三角形面积问题；求与切线垂直(平行)的直线方程问题；求与切线有关的定值问题等跟进训练2设函数f(x)x 3x，求证曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积
6、为定值，并求此定值解 设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y13x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy013x20(xx0)，即yx03x013x20(xx0)令x0，得y 6x0，从而得切线与直线x0的交点坐标为0，6x0.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)，所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为126x0|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.利用导数求函数解析式 探究问题对于函数yf(x)而言，f(x)与f(a)相同吗？提示：不同，f(x)是函数y
7、f(x)的导数，而f(a)是f(x)在xa处的函数值【例3】(1)已知函数f(x)ln xx2xf(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；(2)设f(x)(axb)sin x(cxd)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f(x)xcos x.思路点拨(1)求fx令x1求f1 比较fe与f1的大小(2)计算fx由fxxcos x求a，b，c，d 解(1)由题意得f(x)1ln xx22f(1)，令x1，得f(1)1ln 112f(1)则f(1)1.所以f(x)ln xx 2x，得f(e)ln ee 2e1e2e，f(1)2，由f(e)f(1)1e2e20，得f(e)f(1)(2)由已知
8、f(x)(axb)sin x(cxd)cos x(axb)sin x(cxd)cos x(axb)sin x(axb)(sin x)(cxd)cos x(cxd)(cos x)asin x(axb)cos xccos x(cxd)sin x(acxd)sin x(axbc)cos x.又f(x)xcos x，adcx0，axbcx，即 ad0，c0，a1，bc0，解得ad1，bc0.解答此类问题的关键是准确求导，然后借助恒等式等方程思想求解相应参数.跟进训练3已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)()AeB1 C1DeB f(x)2xf(1)ln x
9、，f(x)2f(1)1x，又f(1)2f(1)1，f(1)1，故选B课 堂 小 结 提 素 养 求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题1判断正误(1)x2f(x)2xf(x)()(2)1x2 12x.()(3)sinx2sin x()(4)(ln 5x)1x.()答案(1)(2)(3)(4)2已知f(x)x33xln 3，则f(x)为()A3x
10、23x B3x23xln 313C3x23xln 3Dx33xln 3C f(x)(x3)(3x)(ln 3)3x23xln 3，故选C3已知函数f(x)ax3bx2cx的图象过点(1,5)，其导函数yf(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_f(x)2x39x212x 因为f(x)3ax22bxc，f(1)0，f(2)0，f(1)5，所以3a2bc0，12a4bc0，abc5，解得a2，b9，c12.故函数f(x)的解析式是f(x)2x39x212x.4设f(x)ax2bsin x，且f(0)1，f3 12，求a，b的值解 f(x)2axbcos x，则 f0b1，f3 2a3 bcos 312，即b1，2a3 12b12，解得b1，a0.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
