1、一、 知识梳理1集合元素的三性 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，尤其是互异性不可忽视。2集合表示的三种方法 集合的表示方法常用的有列举法、描述法和Venn图法在用描述法表示集合时一定要弄清代表元素3集合的三种分类 集合按元素的个数可分为三类集合，无限集、有限集和空集 空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系问题时，它往往易被忽视而导致解题出现失误4集合与集合的三种关系 在一般情况下，集合与集合的关系有两种，即包含与不包含若将相等从包含中区分出来，则两集合可以有三种关系5集合的三种运算 集合的运算有交()、并()、补(UA)，要正
2、确理解并会进行这三种运算6.单调性： 设函数的定义域为A，区间，如果取区间M中的任意两个值x1，x2，当该变量时，有，那么就称函数在区间M上是增函数，当该变量时，有，那么就称函数在区间M上是减函数；(1)若函数f(x)在区间D上是单调函数，则x1x2f(x1)f(x2)(2)若函数f(x)在区间D上是单调函数，则方程f(x)0在区间D上至多有一个实数根(3)若函数f(x)与g (x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)g(x)亦与它们的单调性相同7.函数单调性的判断方法： 定义法；图象法8.奇偶性： 偶函数：设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个，都有，则这个函数叫做偶函数。
3、奇函数：设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个，都有，则这个函数叫做奇函数。9.图象性质: 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称. 10.判断奇偶性方法：图象法，定义法。11.增函数的定义： 一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是增函数。12. 减函数的定义： 一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是减函数。13.函数最大值的定义： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存
4、在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有； （2）存在x0I，使得。那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.14.函数最小值的定义： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有； （2）存在x0I，使得。那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.二、 典型例题例1：已知全集UR，集合Ax|2x3，Bx|x2或x4，那么集合(UA)(UB)等于()Ax|3x4Bx|x3或x4Cx|3x4Dx|1x3【答案】A【解析】方法1：UAx|x2或x3，UBx|2x4(UA)(UB)x|3x4，故选A方法2：ABx|x3或x4，(UA)(UB)U(AB)x
5、|3x4故选A.变式练习1：集合Ax|1x1，Bx|xa，若ABx|x1，则实数a的取值范围是() A1a1 B1a1 C1a1 D1a1【答案】A 【解析】如图所示：Ax|1x1，Bx|xa，且ABx|x1，所以数轴上点xa，应在x1和x1之间，注意端点，故选A.例2：已知函数，则（ ） A B C D4【答案】C【解析】因为，所以，故选C变式练习2：已知函数，则（ ）A0 B C D9【答案】B【解析】由已知，所以，故选B.例3：设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xb，则f(1)等于() A0 B2 C2 D1【答案】C【解析】f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，即
6、b0，当x0时，f(x)2x，f(1)f(1)2，故选C.变式练习3：已知偶函数f(x)的定义域为5，5，且在区间0,5上的图象如图所示，则f(x)0的x 的取值范围是_.【答案】2,25,5【解析】f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，由f(x)在0,5上的图象作出f(x)在5,0上的图象，从而得到f(x)在5,5上的图象(如图) 根据图象可知：使f(x)0的x的取值范围为2,25,5例4：函数f(x)(3x1)0的定义域是() A(，) B(，1) C(，) D(，)(，1)【解析】由题意得，解得x1且x.变式训练4：已知函数yf(x1)定义域是2,3，则yf(2x1)的定义域是()A0，
7、 B1,4B1,4C5,5 D3,7【解析】由2x3，得1x14，故12x14，解得0x.例5：当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小值.【解析】作出函数的图象如图，当x1时，ymin4；当x2时，ymax5.变式训练5：求函数f(x)x22ax1在0,2上的最值.三、 课堂练习1.已知集合，或，则（ ） A. B.或 C. D.或 【答案】C【解析】由题意得，故选C.2.函数yf(x)是R上的偶函数，且在(，0上是增函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是() Aa2 Ba2 C2a2 Da2或a2【答案】D【解析】yf(x)是偶函数，且在(，0上是增函数，yf(x)在0，)上是
8、减函数，由f(a)f(2)，得f(|a|)f(2)，|a|2，得a2或a2，故选D.3.奇函数f(x)在区间3,7上是增函数，在区间3,6上的最大值为8，最小值为1，则2f(6)f(3)_.【答案】-15【解析】由题意知f(3)1，f(6)8，又f(x)为奇函数，2f(6)f(3)2f (6)f(3)15.4.已知函数，若,则 【答案】【解析】或四、 课后练习1设UR，Ax|x0，Bx|x1，则A(UB)等于()Ax|0x1Bx|0x1Cx|x0Dx|x1【答案】B【解析】画出数轴，如图所示，UBx|x1，则AUBx|0x1，故选B.2.函数f(x)x3x的图象关于() Ay轴对称B直线yx对
9、称 C原点对称D直线yx对称【答案】C【解析】f(x)f(x)，且定义域为R，f(x)是奇函数，图象关于原点对称故选C.3.设函数f(x)为奇函数，则a_.【答案】-1【解析】f(x)(x1)(xa)为奇函数g(x)(x1)(xa)为偶函数，故g(1)g(1)，a1.4.设函数，则（ ） A B C D【答案】C【解析】设5.已知全集为R，集合MxR|2x2，Px|xa，并且MRP，则a的取值范围是_.【答案】a2.【解析】Mx|2x2，RPx|xaMRP，由数轴知a2.6.定义区间的长度为，区间在映射所得的对应区间为，若区间的长度比区间的长度大5，则 【答案】5【解析】依题意，则，得.故本题应填5.7.已知函数（1）在坐标系中作出函数的图象；（2）若，求的取值集合；【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1）（2）当a-1时，f（a）=a+2=，可得：a=；当-1a2时，f（a）=，可得：；当a2时，f（a）=2a=，可得：a=（舍去）；综上所述，a的取值构成集合为8已知函数f(x)x2(x0，常数aR).(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在2，)上为增函数，求实数a的取值范围【答案】 见解析
