1、专题能力训练21不等式选讲(选修45)一、能力突破训练1.已知函数f(x)=|2x+2|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)若y=f(x)的最小值为m,当正数a,b满足2b+1a=m时,求a+2b的最小值.2.设函数f(x)=x+1a+|x-a|(a0).(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)5,求a的取值范围.3.已知关于x的不等式m-|x-2|1,其解集为0,4.(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.4.已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|1的解集;(2
2、)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.二、思维提升训练6.(2020全国,文23)设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca0;(2)用maxa,b,c表示a,b,c中的最大值,证明:maxa,b,c34.7.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)-12;(2)若存在实数a,使得不等式f(x)a成立,求实数a的取值范围.8.设x,y,zR,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)213成立,证明:a-3 或a-1.专题能力训练2
3、1不等式选讲(选修45)一、能力突破训练1.解(1)f(x)=-3x-1,x1.画出y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知f(x)min=f(-1)=2,m=2.2b+1a=2.a+2b=12(a+2b)2b+1a=ab+ba+522abba+52=92,当且仅当ab=ba,即a=b=32时等号成立.a+2b的最小值为92.2.(1)证明由a0,有f(x)=x+1a+|x-a|x+1a-(x-a)=1a+a2.故f(x)2.(2)解f(3)=3+1a+|3-a|.当a3时,f(3)=a+1a,由f(3)5,得3a5+212.当0a3时,f(3)=6-a+1a,由f(3)5,得1+52a3
4、.综上,a的取值范围是1+52,5+212.3.解(1)不等式m-|x-2|1可化为|x-2|m-1,1-mx-2m-1,即3-mxm+1.其解集为0,4,3-m=0,m+1=4,m=3.(2)由(1)知a+b=3.(方法一:利用基本不等式)(a+b)2=a2+b2+2ab(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),a2+b292,当且仅当a=b=32时取等号,a2+b2的最小值为92.(方法二:消元法求二次函数的最值)a+b=3,b=3-a,a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2a-322+9292,a2+b2的最小值为92.4.(1)解f(x)=-2x,x-12,1,-
5、12x12,2x,x12.当x-12时,由f(x)2得-2x-1;当-12x12时,f(x)2;当x12时,由f(x)2得2x2,解得x1.所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(2)证明由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0.因此|a+b|1+ab|.5.解(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1x1的解集为xx12.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,|ax-1|1的解集为0x2a,所以2a1,故
6、0a2.综上,a的取值范围为(0,2.二、思维提升训练6.证明(1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=12(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=-12(a2+b2+c2)0,b0,c0.由bc(b+c)24,可得abca34,故a34,所以maxa,b,c34.7.解(1)a=2,f(x)=|x-3|-|x-2|=1,x2,5-2x,2x3,-1,x3,f(x)-12等价于x2,1-12或5-2x-12,2x3或x3,-1-12.解得114x3或x3,不等式的解集为xx114.(2)由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,若存
7、在实数x,使得不等式f(x)a成立,则|a-3|a,解得a32.实数a的取值范围是-,32.8.(1)解由于(x-1)+(y+1)+(z+1)2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)3(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)243,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2(2+a)23,当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)2313,解得a-3或a-1.
