1、午间半小时(九)(30分钟 50分)一、单选题1已知向量a(1,2),b(3,4),则a在b上的投影向量的模为()A 5 B 5 C1 D1【解析】选C.向量a(1,2),b(3,4),则a在b上的投影向量的模为|ab|b|1.2a(4,3),b(5,6),则3|a|24ab等于()A23 B57 C63 D83【解析】选D.因为|a|2(4)23225,ab(4)5362,所以3|a|24ab3254(2)83.3设向量a与b的夹角为,a(2,1),a3b(5,4),则sin 等于()A 1010 B13 C3 1010 D45【解析】选A.设b(x,y),则a3b(23x,13y)(5,4
2、),所以23x5,13y4,解得x1,y1,即b(1,1),所以cos ab|a|b|310,所以sin 1cos2 1010.4已知向量a(1,1),b(1,2),向量c满足(cb)a,(ca)b,则c等于()A(2,1)B(1,0)C32,12 D(0,1)【解析】选A.设向量c(x,y),则cb(x1,y2),ca(x1,y1),因为(cb)a,所以(cb)ax1(y2)xy10,因为(ca)b,所以x11y12,即2xy30.由 xy 102xy30 ,解得x2,y1,所以c(2,1).5如图所示,已知点A(1,1),单位圆上半部分上的点B满足OA OB 0,则向量OB 的坐标为()A
3、 22,22 B35,45 C35,45 D22,22【解析】选A.根据题意可设B(cos,sin)(0),OA(1,1),OB(cos,sin).由OA OB 0得sin cos 0,tan 1,所以34,cos 34 22,sin 34 22,所以OB(22,22).6已知在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的动点,则|PA 3PB|的最小值为()A3 B5 C7 D8【解析】选B.如图,以D为原点,DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设DCa,DPx,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),P(0,x)(0 xa),则PA 3
4、PB(2,x)3(1,ax)(5,3a4x),所以|PA 3PB|25(3a4x)2 5.二、多选题7已知a(1,1),b(,1),a与b的夹角为钝角,则的取值不能是()A1 B6 C12 D1【解析】选AD.由题意可得:ab10,解得:1,且a与b的夹角不能为180,即1 11,所以1,据此可得的取值范围是1或11.三、填空题8已知向量OA(2,2),OB(4,1),在x轴上存在一点P使AP BP 有最小值,则点P的坐标是_.【解析】设点P的坐标是(x,0),则AP(x2,2),BP(x4,1),所以AP BP(x2)(x4)2x26x10(x3)21,当x3时,AP BP 取得最小值,故点P的坐标为(3,0).答案:(3,0)9已知四边形ABCD为矩形,且A(2,1),B(3,2),D(1,4).则点C的坐标为_;矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值为_【解析】因为四边形ABCD为矩形,所以AB DC.设C点坐标为(x,y),则AB(1,1),DC(x1,y4),所以x11,y41,得x0,y5.所以C点坐标为(0,5).因为AC(2,4),BD(4,2),所以AC BD 88160,|AC|2 5,|BD|2 5.设AC 与BD 夹角为,则cos AC BD|AC|BD|1620 45,所以矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.答案:(0,5)45