1、专题强化练(五)1(2020吉林省实验中学第一次检测)在公差为2的等差数列an中,a11,a22,a34成等比数列(1)求an的通项公式;(2)求数列an2n的前n项和Sn.解:(1)因为an的公差为d2,所以a2a12,a3a14.因为a11,a22,a34成等比数列,所以(a11)(a18)(a14)2,解得a18,从而an82(n1)2n6.(2)由(1)得an2n6,所以an2n(2n6)2n所以Sn(8102n6)(2222n)n(n7)(2n12)n27n2n12.2(2020江西省名校第二次联考)已知首项为4的数列an满足an1.(1)证明:数列是等差数列;(2)令bnlog2a
2、n,求数列bn的前n项和Sn.(1)证明:因为an1,所以(n1)an12nan2n1,所以1.所以1.因为a14,所以2.故数列是首项为2,公差为1的等差数列(2)解:由(1)可知n1,则an2n.因为bnlog2an,所以bnlog2log2log22nlog2n,则Snb1b2b3bn(log221)(123n)log2(n1).3(2020湖南八校第二次联考)已知数列an是递增的等比数列,且a1a49,a2a38.(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn为数列an的前n项和,bnlog2(Sn1),求数列的前n项和Tn.解:(1)设等比数列an的公比为q,所以有a1a4a1(1q3)9
3、,a2a3aq38,联立两式可得或者又因为数列an为递增数列,所以q1,所以所以数列an的通项公式为an2n1.(2)根据等比数列的求和公式,有Sn2n1,bnlog2(2n11)n,2,所以Tn22(1).4(2020德州模拟)给出以下三个条件:数列an是首项为 2,满足Sn14Sn2的数列;数列an是首项为2,满足3Sn22n1(R)的数列;数列an是首项为2,满足3Snan12的数列请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整,并求解设数列an的前n项和为Sn,an与Sn满足_,记数列bnlog2a1log2a2log2an,cn,求数列cn的前n项和Tn;解:选,由已知Sn14Sn2,
4、(1)当n2时,Sn4Sn12,(2)(1)(2)得:an14(SnSn1)4an,即an14an,当n1时,S24S12,由a12,所以2a2422,所以a28,满足a24a1,故an是以2为首项4为公比的等比数列,所以an22n1.bnlog2a1log2a2log2anlog2(a1a2an)13(2n1)n2,cn,所以Tnc1c1cn1.选,由已知3Sn22n1,(1)当n2时,3Sn122n1,(2)(1)(2)得,3an22n122n1322n1,即an22n1,当n1时,a12满足an22n1,故an是以2为首项,4为公比的等比数列,所以an22n1.下同选.选,由已知3Sna
5、n12,(1)则n2时,3Sn1an2,(2)(1)(2)得3anan1an,即an14an,当n1时,3a1a22,而a12,得a28,满足a24a1,故an是以2为首项,4为公比的等比数列,所以an22n1.下同选.5(2020沧州第一次模拟)已知Sn为数列an的前n项和,且2Sn6an.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)当n1时,2S16a1,所以a12;当n2时,由2Sn6an,可得2Sn16an1,上述两个等式相减得2anan1an,所以,所以数列an是以2为首项,以为公比的等比数列,an2.(2)由(1)可知bn,故Tn,3Tn.,得2Tn,化简得Tn.6(2020淮北第一次模拟)已知数列an的前n项和Snn2n,等比数列bn的公比q(q1),且b3b4b528,b42是b3和b5的等差中项(1)求an和bn的通项公式;(2)令cnbn,cn的前n项和记为Tn,若2Tnm对一切nN*成立,求实数m的最大值解:(1)n1时,a1S12,当n2时,anSnSn12n,a12也符合上式,所以an2n(nN*),又b3b4b528和2(b42)b3b5,得b48,q2或q.因为q1,所以q2.所以bn2n1,nN*. (2)因为cnbn2n12n1所以 Tn(1)2n12n而Tn随着n的增大而增大,所以2Tn2T1,故有m最大值为.