1、第7节 抛物线 A级基础巩固1以x1为准线的抛物线的标准方程为()Ay22x By22x Cy24x Dy24x解析：由准线x1知，抛物线的方程为y22px(p0)且1，得p2，所以所求抛物线的标准方程为y24x.答案：D2已知点A(2，3)在抛物线C：y22px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A B1 C D解析：由已知得准线方程为x2，所以点F的坐标为(2，0)又A(2，3)，所以直线AF的斜率为k.答案：C3(2017全国卷)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MNl，则M到直线NF的距离为()A.
2、 B2C2 D3解析：抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y(x1)联立得方程组解得或因为点M在x轴的上方，所以M(3，2)因为MNl，所以N(1，2)所以|NF|4，|MF|MN|4.所以MNF是边长为4的等边三角形所以点M到直线NF的距离为2.故选C.答案：C4已知P为抛物线yx2上的动点，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是，则|PA|PM|的最小值是()A8 B. C10 D.解析：依题意可知焦点F的坐标为，准线方程为y，延长PM交准线于H(图略)，则|PF|PH|，|PM|PF|，|PM|PA|PF|PA|，因为|PF|PA|F
3、A|，又|FA| 10.所以|PM|PA|10.答案：B5(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6 C7 D8解析：由题意知直线MN的方程为y(x2)，联立直线与抛物线的方程，得解得或不妨设M为(1，2)，N为(4，4)又因为抛物线焦点为F(1，0)，所以(0，2)，(3，4)所以03248.故选D.答案：D6设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_解析：Q(2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理
4、得k2x2(4k28)x4k20，当k0时，l与抛物线有公共点；当k0时，64(1k2)0得1k0或00)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|PF|，则y0_解析：作PMl，垂足为M，由抛物线定义知|PM|PF|，又知|PK|PF|，所以在直角三角形PKM中，sinPKM，所以PKM45，所以PMK为等腰直角三角形，所以|PM|MK|4，又知点P在抛物线x22py(p0)上，所以解得答案：29已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
5、(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，所以p2，所以抛物线方程为y24x.(2)由(1)知点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)又因为F(1，0)，所以kFA.因为MNFA，所以kMN，所以FA的方程为y(x1)，MN的方程为yx2，由联立得x，y，所以点N的坐标为.10(2020泰安模拟)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解：(1)
6、直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2，由抛物线定义得|AB|x1x2p9，所以p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由(1)知p4，4x25pxp20可简化为x25x40，又x1x2，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4，4)设(x3，y3)(1，2)(4，4)(41，42)，又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.B级能力提升11(2020河南名校联考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，点M，N分别在抛物线C上，且30，直线MN交l于点P，NNl，垂足为N.若MNP的面积为24，
7、则F到l的距离为()A4 B6 C8 D12解析：作出图形如下图，作MMl，垂足为M，设|NF|m(m0)，则|NN|m.由30，得|MF|3m，则|MM|3m，过点N作NGMM，垂足为G，则|MG|m，|MG|2m，所以NMG60，所以|MP|6m，|NP|2m，|NP|m，SMNP|MM|NP|3mm24，所以m4.易知F为线段MP的中点，所以F到l的距离为p6.答案：B12(2020湖南名校大联考)已知P为抛物线C：yx2上一动点，直线l：y2x4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，4)且，则的最小值为_解析：由题意得M(2，0)，N(0，4)，设P(x，y)，由得(x2，y4)(0，
8、4)(2，0)，所以x22，y44.因此2，故的最小值为.答案：13(2019全国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解：设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2.又|AF|BF|4，所以x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0，所以y1y22.由联立，得y13，且y21.代入曲线C的方程得x13，x2.故|AB|.C级素养升华14
9、(多选题)若抛物线y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程可能是()Ay24x By236xCy232x Dy28x解析：因为抛物线y22px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P，则点P的坐标为(x0，6)因为点P到抛物线的焦点F的距离为10，所以由抛物线的定义得x010.因为点P在抛物线上，所以362px0.由解得p2，x09或p18，x01，则抛物线的方程为y24x或y236x.答案：AB素养培育数学运算高考解析几何问题中的“设而不求”(自主阅读)(1)数学运算是指在知道运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几
10、何正是利用数学运算解决几何问题(2)“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：灵活应用“点、线的几何性质”解题；根据题意，整体消参或整体代入等类型1巧妙运用抛物线定义得出与根与系数的关系典例1(一题多解)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_解析：法一设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|BF|yAyB4yAyBp，由可得a2y22pb2ya2b20，所以yAyBp，解得ab，
11、故该双曲线的渐近线方程为yx.法二(点差法)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.易知直线AB的斜率kAB.由得kAB，则，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.答案：yx类型2利用“点差法”求解对称问题典例2(1)ABC的三个顶点都在抛物线E：y22x上，其中A(2，2)，ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为_(2)抛物线E：y22x上存在两点关于直线yk(x2)对称，则k的取值范围是_解析：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，边BC的中点为M(x0
12、，y0)，易知G，则从而即M，又y2x1，y2x2，两式相减得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，则直线BC的斜率kBC1，故直线BC的方程为y(1)，即xy0.(2)当k0时，显然成立当k0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由y2x1，y2x2，两式相减得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，则直线BC的斜率kBC，由对称性知kBC，点M在直线yk(x2)上，所以y0k，y0k(x02)，所以x01.由点M在抛物线内，得y2x0，即(k)22，所以k，且k0.综上，k的取值范围为(，)答案：(1)xy0(2)(，)类型3利用“点差法”求中
13、点弦典例3已知双曲线x21，过点P(1，1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？解：假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1x2，由两式相减得(x1x2)(x1x2)0，又1，1，所以2(x1x2)(y1y2)0，所以kAB2，故直线l的方程为y12(x1)，即y2x1.由消去y得2x24x30，因为162480，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点类型4用“替代法”求解直线与圆锥曲线的相关问题典例4(2017全国卷改编)已知F为抛物线C：y22x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为_解析：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，不妨设l1的斜率为k，则l1：yk，l2：y.由消去y，得k2x2(k22)x0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21.由抛物线的定义知，|AB|x1x21112.同理可得，用替换|AB|中k，可得|DE|22k2，所以|AB|DE|222k242k2448，当且仅当2k2，即k1时等号成立，故|AB|DE|的最小值为8.答案：8
