1、题组层级快练(三十三)1(2015北京，文)设 a，b 是非零向量“ab|a|b|”是“ab”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 若 ab|a|b|，则 a 与 b 的方向相同，所以 ab.若 ab，则 ab|a|b|，或 ab|a|b|，所以“ab|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件，选 A.2已知 a(1，2)，2ab(3，1)，则 ab()A2 B3C4D5答案 D解析 a(1，2)，2ab(3，1)，b2a(3，1)2(1，2)(3，1)(1，3)ab(1，2)(1，3)1235.3已知|a|6，|b|3，ab12，则向量 a
2、 在向量 b 方向上的投影是()A4B4C2D2答案 A解析 ab|a|b|cosa，b18cosa，b12，cosa，b23.a 在 b 方向上的投影是|a|cosa，b4.4(2019黑龙江大庆第一次质检)已知向量 a(1，2)，b(2，m)，若 ab，则|2a3b|()A.70B4 5C3 5D2 5答案 B解析 a(1，2)，b(2，m)，且 ab，1m2(2)，m4.a(1，2)，b(2，4)，2a3b(4，8)，|2a3b|（4）2（8）24 5.故选 B.5已知向量 a(1，2)，ab5，|ab|2 5，则|b|等于()A.5B2 5C5D25答案 C解析 由 a(1，2)，可得
3、 a2|a|212225.|ab|2 5，a22abb220.525b220.b225.|b|5，故选 C.6(2019保定模拟)若向量 a，b 满足|a|b|1，(ab)b32，则向量 a，b 的夹角为()A30B45C60D90答案 C解析(ab)bb2ab1ab32，ab|a|b|cosa，b12，cosa，b12，a，b60.故选 C.7设 a，b，c 是单位向量，且 abc，则 ac 的值为()A2B.12C3D.13答案 B解析 由|a|b|c|1，bca，两边平方得 b2(ca)2，1112ac，ac12.8(2019江南十校联考)已知平面向量 a，b，|a|1，|b|3，且|2
4、ab|7，则向量 a 与向量 ab 的夹角为()A.2B.3C.6D答案 B解析 由题意，得|2ab|244ab37，所以 ab0，所以 a(ab)1，且|ab|（ab）22，故 cosa，aba（ab）|a|ab|12，所以a，ab3，故选 B.9已知|a|1，|b|3，ab(3，1)，则 ab 与 ab 的夹角为()A.6B.3C.23D.56答案 C解析 由 ab(3，1)，得|ab|2(ab)24，又|a|1，|b|3，所以|a|22ab|b|212ab34，解得 2ab0，所以|ab|ab|2|a|22ab|b|22，设 ab 与 ab 的夹角为，则由夹角公式可得 cos（ab）（a
5、b）|ab|ab|a|2|b|222 12，且 0，所以 23，即 ab 与 ab 的夹角为23.10(2019人大附中模拟)已知 a，b 是非零向量，且向量 a，b 的夹角为3，若向量 p a|a|b|b|，则|p|()A2 3B.2 3C3D.3答案 D解析|p|2112cos33，|p|3.11如图所示，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是()A.P1P2 P1P3B.P1P2 P1P4C.P1P2 P1P5D.P1P2 P1P6答案 A解析 由于P1P2 P1P5，故其数量积是 0，可排除 C；P1P2 与P1P6 的夹角为23，故其数量积小于 0，可排
6、除 D；设正六边形的边长是 a，则P1P2 P1P3|P1P2|P1P3|cos3032a2，P1P2 P1P4|P1P2|P1P4|cos60a2.故选 A.12(2019沧州七校联考)已知 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 的边 BC 上的动点，则AP(ABAC)()A有最大值为 8B是定值 6C有最小值为 2D与点的位置有关答案 B解析 因为点 P 在边 BC 上，所以存在实数，使APAB(1)AC，所以AP(AB AC)AB(1)AC(AB AC)4AB AC 6.故选 B.13.(2019河南鹤壁高级中学段考)如图，BC，DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，BF2FO，则F
7、DFE等于()A34B89C14D49答案 B解析 BF2FO，圆 O 的半径为 1，|FO|13，FDFE(FOOD)(FOOE)|FO|2FO(OE OD)OD OE(13)20189.故选 B.14(2019河南豫北名校联盟对抗赛)已知ABC 的外接圆的半径为 1，圆心为点 O，且 3OA4OB 5OC 0，则OC AB()A.85B.75C15D.45答案 C解析 因为|OA|OB|OC|1，由 3OA 4OB 5OC 0 得 3OA 5OC 4OB 和 4OB 5OC 3OA，两个式子分别平方可得OA OC 35和OB OC 45.所以OC AB OC(OBOA)OC OB OC O
8、A 15.故选 C.15(2019江西上饶一模)在边长为 1 的正方形 ABCD 中，2AE EB，BC 的中点为 F，EF2FG，则EG BD _答案 14解析 以 A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系 正方形 ABCD 的边长为 1，B(1，0)，D(0，1)，E(13，0)，F(1，12)设 G(a，b)，由EF2FG，得(23，12)2(a1，b12)，解得a43，b34，G(43，34)EG(1，34)BD(1，1)，EG BD 13414.16(2015浙江)已知 e1，e2 是平面单位向量，且 e1e212.若平面向量 b 满足 be1be21，则|b|_答案 2 33解析
9、因为 be1be21，|e1|e2|1，由数量积的几何意义，知 b 在 e1，e2 方向上的投影相等，且都为 1，所以 b 与 e1，e2 所成的角相等由 e1e212，知 e1 与 e2 的夹角为 60，所以 b 与 e1，e2 所成的角均为 30，即|b|cos301，所以|b|1cos302 33.17若平面向量 a，b 满足|2ab|3，则 ab 的最小值是_答案 98解析 由|2ab|3 可知，4a2b24ab9，所以 4a2b294ab.而 4a2b2|2a|2|b|22|2a|b|4ab，所以 ab98，当且仅当 2ab 时取等号18设两个向量 e1，e2 满足|e1|2，|e2|1，e1 与 e2 的夹角为3，若向量 2te17e2 与 e1te2的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围答案(7，142)(142，12)解析 由向量 2te17e2 与 e1te2 的夹角为钝角，得（2te17e2）（e1te2）|2te17e2|e1te2|0，即(2te17e2)(e1te2)0，化简即得 2t215t70，解得7t12.当夹角为 时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角 设 2te17e2(e1te2)，0，可求得2t，7t，0，14，t 142.所求实数 t 的范围是(7，142)(142，12)
