1、2016-2017学年浙江省杭州市高三（上）第一次教学质量检测数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合A=x|x22x0，B=x|1x2，则（RA）B=（）Ax|1x0Bx|0x2Cx|1x0Dx|1x02若sinx2cosx=，则tanx=（）ABC2D23某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（）AB2CD4命题：“x0R，x02+10或x0sinx0”的否定是（）AxR，x2+10且xsinxBxR，x2+10或xsinxCx0R，x+10且x0sinx0Dx0R，x+
2、10或x0sinx05设x，满足f（a）f（b）f（c）0（0abc），若函数f（x）存在零点x0，则（）Ax0aBx0aCx0cDx0c6设点P为有公共焦点F1、F2的椭圆M和双曲线的一个交点，且cosF1PF2=，椭圆M的离心率为e1，双曲线的离心率为e2若e2=2e1，则e1=（）ABCD7在RtABC中，C是直角，CA=4，CB=3，ABC的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点（不包含边界）若=x+y，则x+y的值可以是（）A1B2C4D88记Sn是各项均为正数的等差数列an的前n项和，若a11，则（）AS2mS2nSm+n2，lnS2mlnS2nln2Sm+nBS
3、2mS2nSm+n2，lnS2mlnS2nln2Sm+nCS2mS2nSm+n2，lnS2mlnS2nln2Sm+nDS2mS2nSm+n2，lnS2mlnS2nln2Sm+n二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9设ln2=a，ln3=b，则ea+eb=（其中e为自然对数的底数）10设函数f（x）=ln（x+1）；g（x）=，则g（2）=；函数y=g（x）+1的零点是11设实数x，y满足不等式组，若z=2x+y，则z的最大值等于，z的最小值等于12设直线l1：（m+1）x（m3）y8=0（mR），则直线l1恒过定点；若过原点作直线l2l1，则当直线l1与l2的
4、距离最大时，直线l2的方程为13如图，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，BCD=90，且BC=CD=3将ABC沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在BCD内部（含边界），则点M的轨迹的最大长度等于；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于14设x0，y0，且（x）2=，则当x+取最小值时，x2+=15已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M=K|=，当K1，K2M时，若对于任意的r2，不等式|c|恒成立，则实数c的最小值为三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16在ABC中，A，B，C所对的边分
5、别为a，b，c，（1）求C；（2）若，求a，b，c17如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，平面A1BC平面A1ABB1（1）求证：ABBC；（2）设直线AC与平面A1BC所成的角为，二面角A1BCA的大小为，试比较和的大小关系，并证明你的结论18设数列an满足a1=，an+1=an2+an+1（nN*）（1）证明：3；（2）设数列的前n项和为Sn，证明：Sn319设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB=1若=（0）（）求点C的轨迹；（）过点D作轨迹的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直线m交轨迹于不同的两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得+=恒成立，并说明理
6、由20设二次函数f（x）=ax2+2bx+c（cba），其图象过点（1，0），且与直线y=a有交点（1）求证：；（2）若直线y=a与函数y=|f（x）|的图象从左到右依次交于A，B，C，D四点，若线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，求的取值范围2016-2017学年浙江省杭州市高三（上）第一次教学质量检测数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合A=x|x22x0，B=x|1x2，则（RA）B=（）Ax|1x0Bx|0x2Cx|1x0Dx|1x0【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集
7、合A以及它的补集，然后求解交集即可【解答】解：集合A=x|x22x0=x|x0或x2，B=x|1x2，则RA=x|0x2（RA）B=x|0x2故选：B2若sinx2cosx=，则tanx=（）ABC2D2【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由已知可得sinx=2cosx+，两边平方，整理可得：5cos2x+4+4cosx=0，解得：cosx=，可求sinx，利用同角三角函数基本关系式即可求值【解答】解：sinx2cosx=，sinx=2cosx+，两边平方得：sin2x=1cos2x=4cos2x+5+4cosx，整理可得：5cos2x+4+4cosx=0，解得：cosx=，解得：sin
8、x=2（）+=，tanx=故选：A3某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（）AB2CD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直该几何体的侧面PAB的面积=故选：D4命题：“x0R，x02+10或x0sinx0”的否定是（）AxR，x2+10且xsinxBxR，x2+10或xsinxCx0R，x+10且x0sinx0Dx0R，x+10或x0sinx0【考点】命题的否定【分析】利用特称命题的否定是全称命题，
9、写出结果即可【解答】解：因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题：“x0R，x02+10或x0sinx0”的否定为：xR，x2+10且xsinx故选：A5设x，满足f（a）f（b）f（c）0（0abc），若函数f（x）存在零点x0，则（）Ax0aBx0aCx0cDx0c【考点】函数零点的判定定理【分析】确定函数为增函数，进而可得f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的，分类讨论，结合函数的零点存在定理，从而得到答案【解答】解：y=2x在（0，+）上是增函数，y=logx在（0，+）上是减函数，可得x在（0，+）上是增函数，由0abc，且 f（a）f（b）f（c）0
10、，f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的即f（a）0，0f（b）f（c）；或f（a）f（b）f（c）0由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（a）0，0f（b）f（c）时，ax0b，此时B成立当f（a）f（b）f（c）0时，x0ca综上可得，B成立故选：B6设点P为有公共焦点F1、F2的椭圆M和双曲线的一个交点，且cosF1PF2=，椭圆M的离心率为e1，双曲线的离心率为e2若e2=2e1，则e1=（）ABCD【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质【分析】如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为： =1，=1（ai，bi0，a1b1，i=1，2），a1
11、2b12=a22+b22=c2，c0设|PF1|=m，|PF2|=n可得m+n=2a1，nm=2a2，由于cosF1PF2=，在PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n22mn，结合e2=2e1，化简整理即可得出【解答】解：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为： =1，=1（ai，bi0，a1b1，i=1，2），a12b12=a22+b22=c2，c0设|PF1|=m，|PF2|=n则m+n=2a1，nm=2a2，解得m=a1a2，n=a1+a2，由cosF1PF2=，在PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n22mn，4c2=（a1a2）2+（a1+a2）2（a1a2
12、）（a1+a2），化为5c2=a12+4a22，+=5e2=2e1，e1=，故选：C7在RtABC中，C是直角，CA=4，CB=3，ABC的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点（不包含边界）若=x+y，则x+y的值可以是（）A1B2C4D8【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】求出内切圆半径，根据三点共线原理得出x+y分别对于1，2，4，8时P点的轨迹，从而判断出答案【解答】解：设圆心为O，半径为r，则ODAC，OEBC，3r+4r=5，解得r=1连结DE，则当x+y=1时，P在线段DE上，排除A；在AC上取点M，在CB上取点N，使得CM=2CD，CN=2CE，连结MN
13、，=+则点P在线段MN上时， +=1，故x+y=2同理，当x+y=4或x+y=8时，P点不在三角形内部排除C，D故选：B8记Sn是各项均为正数的等差数列an的前n项和，若a11，则（）AS2mS2nSm+n2，lnS2mlnS2nln2Sm+nBS2mS2nSm+n2，lnS2mlnS2nln2Sm+nCS2mS2nSm+n2，lnS2mlnS2nln2Sm+nDS2mS2nSm+n2，lnS2mlnS2nln2Sm+n【考点】等差数列的性质【分析】举出符合条件的数列，采用验证得答案【解答】解：由Sn是各项均为正数的等差数列an的前n项和，可采用取特殊数列方法验证排除，如：数列1，2，3，4，
14、5，6，取m=1，n=1，则S2m=S2=3，S2n=S4=10，Sm+n=S3=6，S2mS2n=S2S4=3036=Sm+n2，lnS2mlnS2n=ln3ln10ln26=ln2Sm+n故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9设ln2=a，ln3=b，则ea+eb=5（其中e为自然对数的底数）【考点】对数的运算性质【分析】直接利用导数的运算法则化简求解即可【解答】解：ln2=a，ln3=b，则ea+eb=eln2+eln3=2+3=5故答案为：510设函数f（x）=ln（x+1）；g（x）=，则g（2）=ln3；函数y=g（x）+1的零点是1e【考
15、点】函数零点的判定定理；函数的值【分析】g（2）=f（2），令g（x）=1，对x进行讨论，列方程组解出x即可【解答】解：当x0时，g（x）=f（x），g（2）=f（2）=ln3令y=g（x）+1=0得g（x）=1，或，解得x=1e故答案为：ln3，1e11设实数x，y满足不等式组，若z=2x+y，则z的最大值等于2，z的最小值等于0【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化z=2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过O时，直线在y轴上的截距最小，z有最
16、小值为0；当直线过A（1，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2故答案为：2，012设直线l1：（m+1）x（m3）y8=0（mR），则直线l1恒过定点（2，2）；若过原点作直线l2l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为x+y=0【考点】恒过定点的直线；点到直线的距离公式【分析】直线l1：（m+1）x（m3）y8=0（mR），化为：m（xy）+（x+3y8）=0，可得，解出可得直线l1恒过定点（2，2）过原点作直线l2l1，可设l2方程为：（m+1）x（m3）y=0，经过两点（0，0）与（2，2）的直线方程为：y=x则当直线l1与l2的距离最大时，l2与直线y=x垂直即
17、可得出【解答】解：直线l1：（m+1）x（m3）y8=0（mR），化为：m（xy）+（x+3y8）=0，可得，解得x=y=2，则直线l1恒过定点（2，2）过原点作直线l2l1，可设l2方程为：（m+1）x（m3）y=0，则经过两点（0，0）与（2，2）的直线方程为：y=x则当直线l1与l2的距离最大时，l2与直线y=x垂直直线l2的方程为x+y=0故答案分别为：（2，2）；x+y=013如图，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，BCD=90，且BC=CD=3将ABC沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在BCD内部（含边界），则点M的轨迹的最大长度等于；在翻折过程中，当点M位
18、于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于【考点】异面直线及其所成的角；轨迹方程【分析】点A的射影M的轨迹为CD的中位线，可得其长度；当点M位于线段BD上时，取BC中点为N，AC中点为P，可得MNP或其补角即为直线AB和CD所成的角，由已知数据和余弦定理可得【解答】解：由题意可得点A的射影M的轨迹为CD的中位线，其长度为CD=；当点M位于线段BD上时，AM平面ACD，取BC中点为N，AC中点为P，MNP或其补角即为直线AB和CD所成的角，则由中位线可得MN=CD=，PC=AB=，又MP为RTAMC斜边AC的中线，故MP=AC=，在MNP中，由余弦定理可得cosMNP=，故答案为：；14
19、设x0，y0，且（x）2=，则当x+取最小值时，x2+=12【考点】基本不等式【分析】当x+取最小值时，（x+）2取最小值，变形可得（x+）2=+由基本不等式和等号成立的条件可得【解答】解：x0，y0，当x+取最小值时，（x+）2取最小值，（x+）2=x2+，（x）2=，x2+=+，（x+）2=+2=16，x+4，当且仅当=即x=2y时取等号，x2+=16，x2+=16，x2+=16=12，故答案为：1215已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M=K|=，当K1，K2M时，若对于任意的r2，不等式|c|恒成立，则实数c的最小值为【考点】平面向量数量积的运算【分析】由=+，可得A，B，C共
20、线，再由向量的数量积的几何意义可得KC为AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得=r，可得K的轨迹为圆，求得圆的直径与AB的关系，即可得到所求最值【解答】解：由=+，可得A，B，C共线，由=，可得|cosAKC=|cosBKC，即有AKC=BKC，则KC为AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得=r，即有K的轨迹为圆心在AB上的圆，由|K1A|=r|K1B|，可得|K1B|=，由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=，可得|K1K2|=+=|AB|=|AB|，由r在r2递增，可得r2=，即有|K1K2|AB|，即，由题意可得c，故c的最小值为故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共74分.
21、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1）求C；（2）若，求a，b，c【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算【分析】（1）先利用正弦定理把题设条件中的边转化成角的正弦，进而利用两角和的公式化简整理求的cotC的值，进而求得C（2）根据求得ab的值，进而利用题设中和正弦定理联立方程组，求得a，b和c【解答】解：（1）由得则有=得cotC=1即、（2）由推出；而，即得，则有解得17如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，平面A1BC平面A1ABB1（1）求证：ABBC；（2）设直线AC与平面A1BC所成的角为，二面角A1BCA
22、的大小为，试比较和的大小关系，并证明你的结论【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，推导出AD面A1BC，ADBC，AA1BC，从而BC侧面A1ABB1，由此能证明ABBC（2）连结CD，求出ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，ABA1是二面角A1BCA的平面角，从而ACD=，ABA1=，由此能求出【解答】证明：（1）过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，面A1BC面A1ABB1，面A1BC面A1ABB1=A1B，AD面A1BC，BC平面A1BC，ADBC，AA1平面ABC，AA1BC，AA1AD=A，BC
23、侧面A1ABB1，AB面A1ABB1，ABBC解：（2）连结CD，由（1）知ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，又ABA1是二面角A1BCA的平面角，设ACD=，ABA1=，在RtADC中，sin，在RtADB中，sin=，ABAC，sinsin，18设数列an满足a1=，an+1=an2+an+1（nN*）（1）证明：3；（2）设数列的前n项和为Sn，证明：Sn3【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）数列an满足a1=，an+1=an2+an+1（nN*）可得an0，变形=an+1，利用基本不等式的性质即可证明；（2）由（1）可得anan+1可得可得当n2时， =2即可证明【解答】
24、证明：（1）数列an满足a1=，an+1=an2+an+1（nN*）an0，=an+1+1=3，当且仅当an=1时取等号，3（2）由（1）可得anan+1当n2时， =2Sn2=2=3an1，Sn319设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB=1若=（0）（）求点C的轨迹；（）过点D作轨迹的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直线m交轨迹于不同的两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得+=恒成立，并说明理由【考点】轨迹方程【分析】（）由题意可知，C在线段BA的延长线上，设出A（m，0），B（0，n），可得m2+n2=1，再设C（x，y），由向量等式把m，n用含有x，y的代数式表示，代
25、入m2+n2=1可得点C的轨迹；（）分别设出E，F，K的横坐标分别为：xE，xF，xK，点D（s，t），可得直线PQ的方程为：，再设直线m的方程：y=kx+b，得到t=ks+b，进一步求得xK，联立直线方程与椭圆m的方程，利用根与系数的关系得到xE+xF，xExF，求得为定值2得答案【解答】解：（）由题意可知，C在线段BA的延长线上，设A（m，0），B（0，n），则m2+n2=1，再设C（x，y），由=（0），得（xm，y）=（m，n），得，代入m2+n2=1，得；（）设E，F，K的横坐标分别为：xE，xF，xK，设点D（s，t），则直线PQ的方程为：，设直线m的方程：y=kx+b，t=ks+
26、b，得，将直线m代入椭圆方程得：，=2验经证当m的斜率不存在时成立，故存在实数t=2，使得+=恒成立20设二次函数f（x）=ax2+2bx+c（cba），其图象过点（1，0），且与直线y=a有交点（1）求证：；（2）若直线y=a与函数y=|f（x）|的图象从左到右依次交于A，B，C，D四点，若线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，求的取值范围【考点】二次函数的性质【分析】（1）函数f（x）的其图象与直线y=a有交点，得到ax2+2bx+c+a=0有实根，根据判别式即可求出答案，（2）点A与点D，点B与点C关于对称轴对称，设|AB|=|CD|=m，|BC|=n，根据线段AB，BC，CD能构成钝角
27、三角形，得到m，n的关系，再设x1，x2是方程ax2+2bx+c+a=0的两根和x3，x4是方程ax2+2bx+ca=0的两根，代入计算即可【解答】解：（1）a+2b+c=0，cba，a0，c0，a2bba，1，函数f（x）的其图象与直线y=a有交点，ax2+2bx+c+a=0有实根，即=4b24a（c+a）=4b2+8ab0，4（）2+80，知2或0，综上所述可得01，（2）点A与点D，点B与点C关于对称轴对称，设|AB|=|CD|=m，|BC|=n，线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，得n2mn，2n2m+n（+1）n，2|BC|AD|（+1）|BC|，设x1，x2是方程ax2+2bx+c+a=0的两根，则|BC|=，设x3，x4是方程ax2+2bx+ca=0的两根，则|AD|=，2（+1），解得1+1+2016年10月18日
