1、4.6 简单的三角恒等变换最新考纲 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)1公式的常见变形【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)y3sin x4cos x 的最大值是 7.()(2)设(，2)，则1cos（）2sin 2.()(3)在非直角三角形中有：tan Atan Btan Ctan Atan BtanC()(4)设52 3，且|cos|15，那么 sin 2 的值为155.()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(5)公式 asin xbc
2、os x a2b2sin(x)中 的取值与 a，b的值无关()(6)函数 f(x)cos2x 3sin xcos x 在区间4，3 上的最大值为32.()1化简：sin 2 cos sin cos 2等于()Asin Bcos Csin Dcos【解析】原式2sin cos2sin cos 2 sin（2cos21）cos 2sin.【答案】C【答案】B2已知 cos 13，(，2)，则 cos 2 等于()A.63B 63C.33D 33【解析】2 2，cos 2 1cos 22363.【答案】D3(2016漳州模拟)如果 2，且 sin 45，那么sin 4 cos 4 等于()A.4 2
3、5B4 25C.3 25D3 25【解析】由已知 cos 35，sin4 cos4 2sin4 4 2cos 35 2.4(2015贵州贵阳监测)已知 sin3 sin 4 35，则sin 76的值是()A2 35B.2 35C.45D45【答案】D【解析】sin3 sin 4 35 sin 3 cos cos 3 sin sin 4 35 32sin 32 cos 4 35 32 sin 12cos 45，故 sin76sin cos 76 cos sin 76 32 sin 12cos 45.题型一 三角函数式的化简求值【例 1】(1)化简：（1sin cos ）sin 2 cos 222
4、cos(0)_(2)已知 sin 12cos ，且 0，2，则cos 2sin 4的值为_【解析】(1)原式 2sin 2 cos 2 2cos22 sin 2 cos 24cos22 cos 2 sin22 cos22cos 2cos 2cos cos 2.因为 0，所以 02 0，所以原式cos.(2)方法一：sin 12cos，sin cos 12，2sin4 12，sin4 24.又0，2，4 4，4，cos4 144，cos 2sin24 2sin4 cos4 2 24 144 74，cos 2sin4 7424 142.方法二：sin 12cos，sin cos 12，(sin c
5、os)212sin cos 14，2sin cos 34，0，2，sin cos sin2cos22sin cos 134 72，cos 2sin4（cos sin）（cos sin）22（sin cos）2(sin cos)142.【答案】(1)cos (2)142【思维升华】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点 跟踪训练 1(1)若1cos 2sin 212，则 tan 2 等于()A.54 B54C.43D43(2)设 为锐角，若 cos
6、 6 45，则 sin2 12 的值为_【解析】(1)1cos 2sin 22cos22sin cos cos sin 12，tan 2，tan 2 2tan 1tan2 41443.(2)为锐角，cos6 45，sin6 35，sin23 2sin6 cos6 2425，cos23 2cos26 1 725，sin212 sin23 4 22 sin23 cos2317 250.【答案】(1)D(2)1750 2题型二 三角函数的求角问题【例 2】(1)已知锐角，满足 sin 55，cos 3 1010，则 等于()A.34B.4 或34C.4D2k 4(kZ)(2)已知函数 f(x)tan
7、2x4，若 0，4 且 f2 2cos 2，则 _【解析】(1)由 sin 55，cos 3 1010 且，为锐角，可知 cos 2 55，sin 1010，故 cos()cos cos sin sin 2 55 3 1010 55 1010 22，又 0，故 4.(2)由 f2 2cos 2，得 tan4 2cos 2，sin4cos42(cos2sin2)，整理得sin cos cos sin 2(cos sin)(cos sin)0，4，sin cos 0.(cos sin)212，即 sin 212.由 0，4，得 20，2，26，即 12.【答案】(1)C(2)12【思维升华】(1)
8、由三角函数值求角，一定要考虑角的范围；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为2，2，选正弦较好跟踪训练 2(1)已知 sin 55，sin()1010，均为锐角，则角 等于()A.512B.3C.4D.6(2)在ABC 中，tan Atan B 3 3tan Atan B，则 C 等于()A.3B.23C.6D.4 【解析】(1)、均为锐角，2 2.又 sin()1010，cos()3 1010.又 sin 55，cos
9、 2 55，sin sin()sin cos()cos sin()55 3 1010 2 55 1010 22.4.【答案】(1)C(2)A(2)由已知可得 tan Atan B 3(tan Atan B1)，tan(AB)tan Atan B1tan Atan B 3，又 0AB0)，且 yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.(1)求 的值；(2)求 f(x)在区间，32上的最大值和最小值【审题路线图】【规范解答】(1)f(x)32 3sin2xsin xcos x 32 31cos 2x212sin 2x 32 cos 2x12sin 2xsin2x3.依题意知2244，0
10、，所以 1.(6 分)(2)由(1)知 f(x)sin2x3.当x32 时，53 2x3 83.所以 32 sin2x3 1.所以1f(x)32.(10 分)故 f(x)在区间，32上的最大值和最小值分别为 32 和1.(12分)【温馨提醒】(1)讨论三角函数性质要先利用三角变换将函数化成 yAsin(x)的形式(2)解题中将 2x3 视为一个整体，可以借助图象求函数最值方法与技巧 1三角函数的求值与化简要有联系的观点，注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换 2利用三角函数值求角要考虑角的范围 3与三角函数的图象与性质相结合的综合问题借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)Asin(x)的形式，然后借助三角函数图象解决 失误与防范 1利用辅助角公式，asin xbcos x转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角 2计算形如ysin(x)，xa，b形式的函数最值时，不要将x的范围和x的范围混淆