1、第三课时 导数的综合应用 考向一 利用导数研究函数的零点或方程的根【典例1】(2015全国卷)设函数f(x)=e2x-alnx.(1)讨论f(x)的导函数f(x)的零点的个数.(2)证明:当a0时,f(x)2a+aln .2a【解题导引】(1)先对函数f(x)=e2x-alnx求导,再分a0,a0两种情况讨论函数的单调性,从而确定f(x)的零点的个数.(2)结合(1)求出函数f(x)的最小值.【规范解答】(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2e2x-(x0).当a0时,f(x)0,f(x)没有零点;ax当a0时,因为y=e2x单调递增,y=-单调递增,所以 f(x)在(0,+)上单调
2、递增.由y=2e2x与y=的大致 图象如图所示,存在交点A,则当xx0时,f(x)x0时,f(x)0,故f(x)存在唯一零点.axax(2)由(1),可设f(x)在(0,+)的唯一零点为x0,当x(0,x0)时,f(x)0.故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).00002x2x0000000000000002x2x0000a2e0f xealn xxa2ax2axaln x2xa2ax(2axaln x)2xa2axa 2xln x2xaa2e0,e,x2xa2xln,2x由于，所以，因为所以由两边取对数得：00
3、0000000aaf x2axa(ln ln x)2x2xaaa222axaln 2axaln2aaln.2x22xaa2a0,f x2aaln.a所以故当 时【规律方法】利用导数研究方程根的方法(1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.(2)根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置.(3)通过数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.【变式训练】(2015北京高考)设函数f(x)=k0.(1)求f(x)的单调区间和极值.(2)证明若f(x)有零点,则f(x)在区间 上仅有一个 零点.2xkln x,2(
4、1,e)【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=因为k0,所以令f(x)=0得 列表如下:2kxkx.xxxk，x f(x)-0+f(x)极小值 (0,k)k(k,)减区间为 增区间为 当x=时,取得极小值 (0,k)，(k,).kkkln kf(k).2(2)当 1,即0k1时,f(x)在 上单调递增,f(1)=所以f(x)在区间 上没有零点.当 即1k0).若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,则a的取值 范围是()3211 axxaxa32，11A.(0,)B.(,1)C.1,2 D.(0,)33【解析】选A.f(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a)
5、.由f(x)=0,得x=-1或a(a0).当x变化时f(x)与f(x)的变化情况如表:x(-,-1)-1(-1,a)a(a,+)f(x)+0-0+f(x)极大值 极小值 故函数f(x)的单调递增区间是(-,-1),(a,+);单调递减区间是(-1,a).可知函数f(x)在区间(-2,-1)内单调递增;在区间(-1,0)内单调递减.从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,当且仅当 解得 所以a的取值范围是 f(2)0,f(1)0,f(0)0,10a.3 1(0).3，2.(2016临沂模拟)已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx的图象与直线y=b有两个不同的交点,则b的取值范围是
6、 .【解析】设g(x)=f(x)-b=x2+xsinx+cosx-b.令g(x)=f(x)-0=x(2+cosx)=0,得x=0.当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如表:x(-,0)0(0,+)g(x)-0+g(x)1-b 所以函数g(x)在区间(-,0)上单调递减,在区间(0,+)上单调递增,且g(x)的最小值为g(0)=1-b.当1-b0时,即b1时,g(x)=0至多有一个实根,曲线y=f(x)与y=b最多有一个交点,不合题意.当1-b1时,有g(0)=1-b4b-2b-1-b0.所以y=g(x)在(0,2b)内存在零点.又y=g(x)在R上是偶函数,且g(x)在(0,+)上单调递增
7、,所以y=g(x)在(0,+)上有唯一零点,在(-,0)也有唯一零点.故当b1时,y=g(x)在R上有两个零点,则曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点.综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,+).答案:(1,+)3.已知函数f(x)=(2-a)x-2(1+lnx)+a.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在区间 上无零点,求a的最小值.1(0,)2【解析】(1)当a=1时,f(x)=x-1-2lnx,则f(x)=定义域x(0,+).由f(x)0,得x2,由f(x)0,得0 x0;h(x)=2lnx,x0,则f(x)=m(
8、x)-h(x).当a2时,m(x)在 上为增函数,h(x)在 上为增 函数,若f(x)在 上无零点,则 即 所以a2-4ln2,所以2-4ln2a2.1(0,)21(0,)21(0,)211m()h()22，112a(1)2ln 22，当a2时,在 上m(x)0,h(x)0,所以f(x)在 上无零点.由得a2-4ln2,所以amin=2-4ln2.1(0,)21(0,)24.(2014全国卷)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a.(2)证明:当k1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.【解析】(1)因
9、为f(x)=x3-3x2+ax+2,所以f(x)=3x2-6x+a,f(0)=a,设切点A(0,2),切线与x轴交点为B(-2,0),则 kAB=f(0),即 所以a=1.20a02，(2)当k1时,令f(x)-kx+2=x3-3x2+x-kx+4=0.则 令g(x)=则g(x)=令h(x)=2x3-3x2-4,则h(x)=6x2-6x=6x(x-1),所以当x(0,1)时,h(x)0,h(x)递增;且h(0)0,h(2)=0.所以当x2时,h(x)0,g(x)2时,h(x)0,g(x)0,g(x)在(2,+)上递增;所以当x(0,2)(2,+)时,g(x)g(2)=1,当x(-,0)时,单调
10、递减,且g(x)(-,+).所以当k1时,g(x)=k仅有一个根,图象如图所示,所以当k-1,且x0,证明:g(x)0,f(x)单调递增;当x(0,+)时,f(x)0时,f(x)0,g(x)01.当-1x0时,g(x)x.设h(x)=f(x)-x,则h(x)=-xex-1.当x(-1,0)时,0-x1,0ex1,则0-xex1,从而当x(-1,0)时,h(x)0,h(x)在(-1,0)上单调递减.当-1xh(0)=0,即g(x)1.综上,总有g(x)a0,1恒成立,求m的取值范围.mx f bf aba【解题导引】(1)先判断f(x)的符号,再求解.(2)将不等式变形为左边为关于b的代数式,右
11、边为关于a的代数式的形式,再构造函数,转化为最值问题.【规范解答】(1)由题设,当m=e时,f(x)=lnx+,则f(x)=所以当x(0,e)时,f(x)0,f(x)在(e,+)上单调递增,所以x=e时,f(x)取得极小值f(e)=lne+=2,所以f(x)的极小值为2.ex2xex，ee(2)对任意的ba0,1恒成立,等价于f(b)-b0),所以(*)等价于h(x)在(0,+)上单调递减.mx f bf aba由h(x)=-10在(0,+)恒成立,得m-x2+x=(x0)恒成立,所以m (对m=,h(x)=0仅在x=时成立),所以m的取值范围 ,+).21mxx211(x)241414141
12、4【技法感悟】1.利用导数证明不等式的方法 证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果F(x)0,则F(x)在(a,b)上是减函数,同时若F(a)0,由减函数的定义可知,x(a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)0 B.f(x)0 C.f(x)=0 D.无法确定【解析】选B.因为函数f(x)在区间(a,b)内函数的导数为正,所以函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,而f(b)0,则函数f(x)在(a,b)内有f(x)0,即x(0,1时,f(x)=ax3-3x+10,可化为 设g(x)=则g(x)=所以g(x)在区间 上单调递增,在区间 上单调 递减
13、,2331a.xx2331xx，43(12x)x，1(02，1,12因此g(x)max=从而a4.当x0,即x-1,0时,同理,g(x)在区间-1,0上单调递增,所以g(x)min=g(-1)=4,从而a4,综上,可知a=4.答案:4 1g()42 ，2331a.xx3.(2016淄博模拟)已知函数f(x)=x-(a+1)lnx-(aR),g(x)=x2+ex-xex.(1)当x1,e时,求f(x)的最小值.(2)当a1时,若存在x1e,e2,使得对任意的x2-2,0,f(x1)g(x2)恒成立,求a的取值范围.ax12【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=当a1时,x1,e,
14、f(x)0,f(x)为增函数,f(x)min=f(1)=1-a.当1ae时,x1,a时,f(x)0,f(x)为减函数;xa,e时,f(x)0,f(x)为增函数.所以f(x)min=f(a)=a-(a+1)lna-1.2x 1 xa.x当ae时,x1,e时,f(x)0,f(x)在1,e上为减函数.f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.综上,当a1时,f(x)min=1-a;当1ae时,f(x)min=a-(a+1)lna-1;当ae时,f(x)min=e-(a+1)-.aeae(2)由题意知:f(x)(xe,e2)的最小值小于g(x)(x-2,0)的最小值.由(1)知f(x)在e,e2上单
15、调递增,f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.g(x)=(1-ex)x.ae当x-2,0时g(x)0,g(x)为减函数,g(x)min=g(0)=1,所以e-(a+1)-所以a的取值范围为(,1).ae2e2ee 1，2e2ee 1考向三 利用导数研究生活中的优化问题【典例4】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长 度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半 球形,按照设计要求容器的体积为 立方米.假设该容 器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平 方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为 4千元.设该容器的总建造费用为y千元.643(1)将y表示成r的函数
16、f(r),并求该函数的定义域.(2)讨论函数f(r)的单调性,并确定r和l为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用.【解题导引】(1)该组合体是由两个半球和一个圆柱体构成的,利用公式求出每部分的表面积.(2)利用导数求出函数的最值.【规范解答】(1)因为容器的体积为 立方米,所以 解得 所以圆柱的侧面积为2rl=两端两个半球的表面积之和为4r2,所以y=f(r)=又 所以定义域为 643324 r64r,33 l2644 r,3r3l226441288 r2 r(r)3r33r3，221288 r()34 r43r3 21288 r,r 432644 r0r23r3，l43(0,2)
17、.(2)因为 所以令y0,得 令y0,得0r0,得 令y0,得0r2,故当r 时,函数单调递减,故当 时,32212816(r8)y16 rrr ，432r2；3(0,23r2min310y.3【规律方法】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0.(3)比较函数在区间端点和f(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题,结合实际问题作答.【变式训练】(2016临沂模拟)某商场销售某种商品 的经验表明,该商品每日的
18、销售量y(单位:千克)与销售 价格x(单位:元/千克)满足关系式 其中3x6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日 可售出该商品11千克.2ay10 x6x3，(1)求a的值.(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】(1)因为x=5时,y=11,所以 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3)+10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3x9时,y0,所以函数y=-x3+81x-234在(9,+)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以x=9是函数的极大值点,又因为
19、函数在(0,+)上只有一个极大值点,所以函数在x=9处取得最大值.132.(2016吉林模拟)某蔬菜基地有一批黄瓜进入市场销售,通过市场调查,预测黄瓜的价格f(x)(单位:元/kg)与时间x(单位:天,x(0,8且xN+)的数据如表:时间x 8 6 2 价格f(x)8 4 20(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述黄 瓜价格f(x)与上市时间x的变化关系:f(x)=ax+b,f(x)=ax2+bx+c,f(x)=abx,其中a0,并求出此函数.(2)在日常生活中,黄瓜的价格除了与上市日期相关,与 供给量也密不可分.已知供给量h(x)=(xN+).在供给量的限定下,黄瓜实际价格g(x)
20、=f(x)h(x).求黄瓜实际价格g(x)的最小值.15x318【解析】(1)根据表中数据,表述黄瓜价格f(x)与上市时间x的变化关系的函数不是单调函数,这与函数f(x)=ax+b,f(x)=abx,均具有单调性不符,所以,在a0的前提下,可选取二次函数f(x)=ax2+bx+c进行描述.把表格提供的三对数据代入该解析式得到:解得a=1,b=-12,c=40.所以,黄瓜价格f(x)与上市时间x的函数关系是f(x)=x2-12x+40,x(0,8且xN+.64a8bc836a6ac44a2bc20，(2)因为g(x)=f(x)h(x),所以g(x)=所以g(x)=令g(x)=0,所以9x2-77
21、x+150=0,即(x-3)(9x-50)=0,所以x=3或 令g(x)0,所以 或x3.2321517750100(x12x40)(x)xxx31831839，27750 xx.9350 x.950 x9又因为x(0,8,且xN+,所以函数g(x)在区间(0,3)和 上是增函数.同理函数g(x)在区间 上是减函数.又xN+,且g(1)g(6)g(5),所以g(x)最小值=g(1)=所以黄瓜价格的最小值约为 元/千克.50(89，50(3)9，2918，29183.某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(6x11),年销量为u万件,若已知 与 成正比,且售 价为10元时,年销量为28万件.(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式.(2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.585u8 221(x)4【解析】(1)设 因为售价为10元时,年销量为28万件,所以 解得k=2.所以u=-2x2+21x+18.所以y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6x0;当x(9,11)时,y0.所以函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是递增的,在(9,11)上是递减的.所以当x=9时,y取最大值,且ymax=135,所以售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元.
