1、第4节 基本不等式 A级基础巩固1若x0，y0，则“x2y2”的一个充分不必要条件是()Axy Bx2yCx2且y1 Dxy或y1解析：因为x0，y0，所以x2y2，当且仅当x2y时取等号故“x2且y1”是“x2y2”的充分不必要条件答案：C2下列结论正确的是()A当x0且x1时，lg x2B当x时，sin x的最小值为4C当x0时，2D当0x2时，x无最大值解析：对于A，当0x1时，lg x0时，22，当且仅当x1时等号成立；对于D，当00，若关于x的不等式x5在(1，)上恒成立，则a的最小值为()A16 B9 C4 D2解析：在(1，)上，x(x1)12 121(当且仅当x1时取等号)，由
2、题意知215.所以24，2，a4，a的最小值为4.答案：C4若P为圆x2y21上的一个动点，且A(1，0)，B(1，0)，则|PA|PB|的最大值为()A2 B2C4 D4解析：由题意知APB90，所以|PA|2|PB|24，所以2(当且仅当|PA|PB|时取等号)， 所以|PA|PB|2，所以|PA|PB|的最大值为2.故选B.答案：B5(多选题)已知a0，b0，ab2，则对于()A取得最值时a B最大值是5C取得最值时b D最小值是解析：因为a0，b0，且ab2，所以(ab)2，当且仅当，即a，b时取等号，故的最小值为，此时a，b.答案：AD6(2020晋冀鲁豫名校联考)已知函数f(x)x
3、2ex，若a0，b0，pf ，qf ，rf(ab)，则()Aqrp BqprCrpq Drqp解析：因为0，所以.又(a0，b0)，所以ab.又f(x)x2ex在区间(0，)上单调递增，所以f(ab)f f，即rqp.答案：D7某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800 元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1 元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品的件数是()A60 B80 C100 D120 解析：若每批生产产品x件，则每件产品的生产准备费用是 元，仓储费用是 元，总的费用是 元，由基本不等式得220，当且仅当，即x80
4、时取等号答案：B8已知函数f(x)ax2bx(a0，b0)的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为2，则的最小值是()A10 B9 C8 D3解析：由函数f(x)ax2bx，得f(x)2axb，由函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2ab2，所以(2ab)(108)9，当且仅当，即a，b时等号成立，所以的最小值为9.答案：B9已知一次函数yx1的图象分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是_，取得最大值时a的值为_解析：易知A(2，0)，B(0，1)，所以线段AB的方程为y1(0x2)又点P(a，b)在线段AB上，知b1(
5、0a2)，所以21，则ab，当且仅当b，即a1，且b时取等号，所以当a1，且b时，ab有最大值.答案：110(2020吉安期末检测)已知函数f(x)，则f(x)的最大值为_解析：设tsin x2，则t1，3，则sin2x(t2)2，则g(t)t4(1t3)由“对勾函数”的性质可得g(t)在1，2)上为减函数，在(2，3上为增函数，又g(1)1，g(3)，所以g(t)maxg(1)1，即f(x)的最大值为1.答案：111在各项都为正数的等比数列an中，若a2 018，则的最小值为_解析：因为an为等比数列，所以a2 017a2 019a.所以224.当且仅当，即a2 0192a2 017时，等号
6、成立所以的最小值为4.答案：412(2020江门模拟)对任意正数x，满足xy24y2，则正实数y的最大值为_解析：因为y为正数，xy24y2，所以x4y.因为x2(x为整数)，所以4y2，由y0，得2y2y10，解得00，b0)经过圆x2y22x4y10的圆心，则的最小值为()A4 B.C. D6解析：圆的标准方程为(x1)2(y2)24，依题设，圆心(1，2)在直线axby20上，所以a2b2，且a0，b0.所以(a2b)(52)(当且仅当ab时取等号)答案：B14(2020广东惠州三调)在ABC中，点D是AC上一点，且4，P为BD上一点，向量(0，0)，则的最小值为()A16 B8 C4
7、D2解析：由题意可知，4，又B，P，D共线，由三点共线的充分必要条件可得41，又因为0，0，所以(4)88216.当且仅当，时等号成立，故的最小值为16.答案：A15正数a，b满足1，若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是_解析：因为a0，b0，1，所以ab(ab)1016，当且仅当，即a4，b12时取等号依题意，16x24x18m，即x24x2m对任意实数x恒成立，又x24x2(x2)26，所以x24x2的最小值为6，所以6m，即m6.答案：6，)C级素养升华16某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小，最小为_万元解析：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1k1x(k10)，y2(k20)，因为工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，所以k15，k220，所以运费与仓储费之和为万元，因为5x220，当且仅当5x，即x2时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元答案：220
