1、上海市十校2009届高三第二学期联合考试数学（理科）试卷一、 填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分1. 若，则_2. 若复数满足（是虚数单位），则_3. 已知，则_4. 由，六个数字组成无重复数字且数字，相邻的四位数共_个（结果用数字表示）5. 函数的单调递增区间是_6. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量强度，则里氏震级量度可定义为2008年5月12日，四川汶川发生的地震是级，而1976年唐山地震的震级为级，那么汶川地震所散发的相对能量是唐山地震所散发的相对能量的_倍（精确到个位）7. 在一个水平放
2、置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为cm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升cm，则_cm8. 已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别是和，则_9. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是_10. 有一道解三角形的问题，缺少一个条件具体如下：“在中，已知，_，求角的大小”经推断缺少的条件为三角形一边的长度，且答案提示，试将所缺的条件补充完整11. 如图，设是棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：有个顶点；有条棱；有个面；
3、表面积为；体积为其中正确的结论是_（要求填上所有正确结论的序号）12. 在解决问题：“证明数集没有最小数”时，可用反证法证明假设是中的最小数，则取，可得：，与假设中“是中的最小数”矛盾！那么对于问题：“证明数集没有最大数”，也可以用反证法证明我们可以假设是中的最大数，则可以找到_（用，表示），由此可知，这与假设矛盾！所以数集没有最大数二选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.13. 圆与圆的位置关系是 ( )(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切14.
4、已知无穷等比数列的前项和为，各项的和为，且，则其首项的取值范围是 ( )(A) (B)(C) (D)15. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图像上有且仅有个整点，则称函数为阶整点函数有下列函数：； ； ； ，其中是一阶整点函数的个数为 （ ）（A） （B） （C） （D）16. 已知正方形的面积为，平行于轴，顶点、和分别在函数、和（其中）的图像上，则实数的值为 ( )(A) (B) (C) (D) 三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.17. (本题满分12分)已知函数，有反函数，且函数的
5、最大值为，求实数的值.18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，且（1） 若点、分别在棱、上，且，求证：平面；（2） 若点在线段上，且三棱锥的体积为，试求线段的长19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列满足，且对任意，都有（1） 求证：数列为等差数列；（2） 试问数列中任意连续两项的乘积是否仍是中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由20. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.定义区间，的
6、长度均为，其中（1） 若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值；（2） 已知关于的不等式，的解集构成的各区间的长度和超过，求实数的取值范围；（3） 已知关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为，求实数的取值范围21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。22. 已知等轴双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是坐标原点，且双曲线经过点（1） 若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程：；请确定哪个是等轴双曲线的方程，并求出此双曲线的实轴长；（2） 现要在等轴双曲线上选一处建一座码头，向、两地转运货物经测算，从到、从到修建公路
7、的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？（3） 如图，函数的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）理科答案说明1. 本解答列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分
8、.3. 第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一、（第1至12题）每题正确的给5分，否则一律得零分.1. 2. . 3. . 4. .5. . 6. . 7. . 8. .9. 10. . 11. 12.答案不惟一，二、（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.题 号13141516代 号CBBC三、（第17至21题）17.【解】 因为函数有反函数，所以在定义域内是一一对应的函数的对称轴为，所以或 3分若，在区间上函数是单调递增的，所以，解得，符合 7分若，在区间上函数是单调递减的，所以，解得，与
9、矛盾，舍去 11分综上所述，满足题意的实数的值为 12分18.【解】（1）以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系 1分则，因为，所以， 3分则， 5分，即垂直于平面中两条相交直线，所以平面 7分（2），可设，所以向量的坐标为， 8分平面的法向量为点到平面的距离 10分中，所以 12分三棱锥的体积，所以 13分此时向量的坐标为，即线段的长为 14分19.【解】（1）由及可知数列的每一项都是正的 1分，即， 3分所以， 4分所以数列是以为首项，公差为的等差数列 6分（2）由（1）可得数列的通项公式为，所以 8分 10分因为， 11分当时，一定是正整数，所以是正整数 13分所以是数
10、列中的项，是第项 14分20.【解】（1）时不合题意； 1分时，方程的两根设为、，则，由题意知， 2分解得或（舍）， 3分所以 4分（2）因为， 5分设，原不等式等价于“，”， 6分因为函数的最小正周期为，的长度恰为函数的一个正周期，所以当时，的解集构成的各区间的长度和超过，即的取值范围为 9分（3）先解不等式，整理得，即所以不等式的解集 10分设不等式的解集为，不等式组的解集为不等式等价于 11分所以，不等式组的解集的各区间长度和为，所以不等式组，当时，恒成立 12分当时，不等式恒成立，得 13分当时，不等式恒成立，即恒成立 14分当时，的取值范围为，所以实数 15分综上所述，的取值范围为
11、16分21.【解】（1）双曲线的焦点在轴上，所以不是双曲线的方程1分双曲线不经过点，所以不是双曲线的方程 2分所以是等轴双曲线的方程 3分等轴双曲线的焦点、在直线上，所以双曲线的顶点也在直线上， 4分联立方程，解得双曲线的两顶点坐标为，所以双曲线的实轴长为 5分（2） 所求问题即为：在双曲线求一点，使最小首先，点应该选择在等轴双曲线的中第一象限的那一支上 6分等轴双曲线的的长轴长为，所以其焦距为又因为双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是原点，所以是的一个焦点， 7分设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的定义知：所以，要求的最小值，只需求的最小值 8分直线的方程为，所以直线与双曲线在第一象限的交点为 9分所以码头应在建点处，才能使修建两条公路的总费用最低 10分（3） ，此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点； 1分 渐近线是和当时，当无限增大时，无限趋近于，与无限趋近；当无限增大时，无限趋近于 2分 双曲线的对称轴是和 3分 双曲线的顶点为，实轴在直线上，实轴长为 4分虚轴在直线，虚轴长为 5分焦点坐标为，焦距 6分说明：（i）若考生能把上述六条双曲线的性质都写出，建议此小题给满分8分（ii）若考生未能写全上述六条双曲线的性质，但是给出了的一些函数性质（诸如单调性、最值），那么这些函数性质部分最多给1分
