1、武汉外国语学校20182019学年度上学期期中考试高二数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线的焦点坐标为（ B ）ABCD2下列命题中错误的是（ C ）A命题“若，则”的逆否命题是真命题B命题“”的否定是“”C若为真命题，则为真命题D在中，“”是“”的充要条件 3给定两个命题若是的必要而不充分条件，则是的（ A ）A充分不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆面，当时，这个椭圆的离心率为( A )A B C D5已知抛物线
2、的焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点，则该双曲线的离心率为（ A ）ABCD6 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入,的值分别为,则输出的值为（B）A B C D输入n,x开始v=1i0？输出v结束v=vx+ii=i-1i=n-1否是7已知圆： ， ： ，动圆满足与外切且与内切，若为 上的动点，且，则的最小值为（ A ）A B C D 8若坐标原点和分别为双曲线()的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为( B )A
3、B C D9.过双曲线的右焦点，作渐近线的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率的取值范围为( C )A B C D10双曲线的方程为，分别为双曲线的左右焦点，过点作直线与双曲线的右半支交于点，使，则的内切圆半径为（ B ）ABCD11.已知圆上的动点和定点，则的最小值为（ D ）ABCD12已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（ A ）A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则为 14.从双曲线的左焦点处发出的光线，经过
4、该双曲线左支上一点反射后，反射光线所在直线方程为 15.已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左右焦点，过点作椭圆的切线和两轴分别交于点，当（为坐标原点）的面积最小时，则椭圆的离心率为 .16.已知点，点在圆上，为坐标原点，则的最小值为 .三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题双曲线的离心率，若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.解：若命题方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题时，则 解得 ，则命题为假命题时，或，若命题双曲线的离心率为真命题时，则 即即 则命题为假命题时，或 ，“”为假命题，“”为真命题，则
5、命题中有且只有一个为真命题，当真假时，当假真时，综上所述，实数的取值范围是：，或18.（本小题满分10分）（）已知某椭圆过两点,求该椭圆的标准方程（）求与双曲线有共同的渐近线，经过点的双曲线的标准方程【答案】（）. （）.（）设椭圆方程为 ，解得，所以椭圆方程为. （）设双曲线方程为，代入点解得 即双曲线方程为.19.（本小题满分12分）抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点.（）求抛物线方程；（）求的取值范围解：（）因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或当时，故舍去，所以抛物线方程为5分（）因为，所以是正三角形，边
6、长为，其内切圆方程为，如图所示，设点（为参数），则，12分20（本小题满分12分）已知圆的圆心在直线上，且圆经过曲线与轴的交点.（）求圆的方程；（）已知过坐标原点的直线与圆交两点，若，求直线的方程.解：（1）因为，令得，解得：或 所以曲线与轴的交点坐标为 1分 设圆的方程为：，则依题意得： ， 2分解得：4分 所以圆的方程为：. 5分 （2）解法一： 直线的斜率显然存在，故设直线的斜率为，则直线的方程为： 6分 联立消并整理得： 7分 设则， 8分 因为所以， 9分 所以， 10分 解得：或， 11分所以直线的方程为或.12分解法二：如图取的中点，连接，则设，由，得：由,6分所以：7分解得：
7、8分所以圆心到直线的距离等于2设直线的方程为，即：9分所以：,10分解得：或 11分所以：直线的方程为：或.12分21.（本小题满分12分）已知椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为.（）求椭圆的方程；（）若直线：与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（）由已知得，则的方程为； . .4分（）假设存在点,使得为定值，联立, 得.6分设，则，. .7分. . .9分要使上式为定值, 即与无关, 应有解得,此时 .11分所以，存在点使得为定值 12分22.（本小题满分14分）如图,已知是椭圆的长轴顶点,是椭圆上的两点,且满足,其中、分别为直线AP、QB的斜率.（）求证：直线和的交点在定直线上；（）求证：直线过定点；（）求和面积的比值.
