1、 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次) 1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左
2、负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值高频考点一不含参数的函数的单调性例1、求函数f(x)的单调区间【变式探究】函数yx2lnx的单调递减区间为()A(1,
3、1 B(0,1C高频考点二含参数的函数的单调性例2、已知函数f(x)ln(ex1)ax(a0)(1)若函数yf(x)的导函数是奇函数，求a的值；(2)求函数yf(x)的单调区间解(1)函数f(x)的定义域为R.由已知得f(x)a.函数yf(x)的导函数是奇函数，【感悟提升】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数【变式探究】讨论函数f(x)(a1)lnx
4、ax21的单调性解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x，则当x(0, )时，f(x)0，故f(x)在(0, )上单调递减，在( ，)上单调递增高频考点三利用函数单调性求参数例3、设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围【变式探究】若g(x)在(2，1)
5、上不单调，求a的取值范围解由引申探究1知g(x)在(2，1)上为减函数，a的范围是(，3，若g(x)在(2，1)上为增函数，可知ax在(2，1)上恒成立，又yx的值域为(3，2 ，a的范围是上的最小值【感悟提升】求函数f(x)在上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值【变式探究】已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)lnxax (a)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A. B. C. D1答案D解析
6、由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间，则f(m)f(n)的最小值是()A13B15C10D15答案A解析对函数f(x)求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在上单调递增，当m时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n时，f(n)minf(1)9.故f(m)f
7、(n)的最小值为13.【2016高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( )(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2【答案】D【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数 (I)讨论的单调性；(II)若有两个零点,求的取值范围.【答案】见解析(II) 【解析】（）（）设，则由（）知，在单调递减，在单调递增.又，取b满足b0且，则，所以有两个零点.（）设a=0，则，所以只有一个零点.（iii）设a0，若，则由（）知，在单调递增.又当时，0，故不存在两个零点；若，则由（）知，在单调递减，在单调递增.又当时0，故不存在两个零点.综上，a的取值范围为.【2016高考新课标文数】设函数（
8、I）讨论的单调性；（II）证明当时，；（III）设，证明当时，.【答案】（）当时，单调递增；当时，单调递减；（）见解析；（）见解析【2016高考山东文数】(本小题满分13分)设f(x)=xlnxax2+(2a1)x，aR.()令g(x)=f(x)，求g(x)的单调区间；()已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.【答案】()当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. () .【解析】（）由 可得，则，（）由（）知，.当时，单调递减.所以当时，单调递减.当时，单调递增.所以在x=1处取得极小值，不合题意.当时，由()知在内单调递增，可得当当时，时，所以在(
9、0,1)内单调递减，在内单调递增，所以在x=1处取得极小值，不合题意.当时，即时，在(0,1)内单调递增，在 内单调递减，所以当时， 单调递减，不合题意.当时，即 ，当时，单调递增,当时，单调递减，所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.综上可知，实数a的取值范围为.【2016高考天津文数】（本小题满分14分）设函数，其中（）求的单调区间；（）若存在极值点，且，其中，求证：；（）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【答案】（）递减区间为，递增区间为，.（）详见解析（）详见解析当变化时，的变化情况如下表：0单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（）证明
10、：因为存在极值点，所以由（）知且.由题意，得，即，进而，又，且，由题意及（）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以.（3）当时，由（）和（）知，所以在区间上的取值范围为，因此，.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.【2015高考福建，文12】“对任意，”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，构造函数，则故在单调递增，故，则； 当时，不等式等价于，构造函数，则，故在递增，故，则综上所述，“对任意，”是“”的必要不充分条件，选B【2015高考湖南，文8】设函数，则是( )A、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B、奇函
11、数，且在（0,1）上是减函数C、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D、偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【2015高考安徽，文21】已知函数（）求的定义域，并讨论的单调性；（）若，求在内的极值.【答案】（）递增区间是（-r,r）;递减区间为（-，-r）和（r，+）；（）极大值为100；无极小值.【解析】（）由题意可知 所求的定义域为.，所以当或时，当时， 【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数，（I）求的单调区间和极值；（II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点【答案】（I）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（II）证明详见解析.【解析】（）由，（）得.由解
12、得.与在区间上的情况如下：所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.【2015高考湖北，文21】设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，其中e为自然对数的底数. （）求，的解析式，并证明：当时，；（）设，证明：当时，.【答案】（），.证明：当时，故 又由基本不等式，有，即 （）由（）得 当时，等价于 等价于 于是设函数 ，由，有 当时，（1）若，由，得，故在上为增函数，从而，即，故成立.（2）若，由，得，故在上为减函数，从而，即，故成立.综合，得 .【解析】（）由, 的奇偶性及,得： 联立解得，当时，故 【2015高考山东，文20】设函数. 已知曲线 在点处的切线与直线平行.
13、（）求的值；（）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；（）设函数（表示，中的较小值），求的最大值.【答案】（I） ；(II) ；(III) .【解析】（I）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，所以，又所以.（II）时，方程在内存在唯一的根.设当时，.（2014福建卷）已知函数f(x)exax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x0，)时，恒有xcex.【解析】解：方法一：(1)由f(x)exax，
14、得f(x)exa.又f(0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.当xln 2时，f(x)0，f(x)单调递减；当xln 2时，f(x)0，f(x)单调递增所以当xln 2时，f(x)有极小值，且极小值为f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2)证明：令g(x)exx2，则g(x)ex2x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，即g(x)0.所以g(x)在R上单调递增，又g(0)10，所以当x0时，g(x)g(0)0，即x2ex.(3)证明：对任意给定的正数c，取x0，由(2)知，当x0时，x2ex.所以当
15、xx0时，exx2x，即x0)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN*.(1)求2f1f2的值；(2)证明：对任意的nN*，等式都成立 (i)当n1时，由上可知等式成立(ii)假设当nk时等式成立，即kfk1(x)xfk(x)sin.因为kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x)，cossin，所以(k1)fk(x)xfk1(x)sin，因此当nk1时，等式也成立综合(i)(ii)可知，等式nfn1(x)xfn(x)sin对所有的nN*都成立令x，可得nfn1fnsin(nN*)，所以 (nN*)（2014全国新课标卷 设函数f(x)aln xx2bx(a1)，曲线
16、yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f(x0)，求a的取值范围（2014山东卷）设函数f(x)aln x，其中a为常数(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2.因为x10，所以，x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调
17、递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f (x)单调递减综上可得，当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增1设函数f(x)x29lnx在区间上单调递减，则实数a的取值范围是()A1a2Ba4Ca2D0a3答案A2已知f(x)是可导的函数，且f(x)f(x)对于xR恒成立，则()Af(1)e2016f(0)Bf(1)ef(0)，f(2016)e2016f(0)Cf(1)ef(0)，f(2016)e2016f(0)Df(1)ef(0)，f(2016)e2016f(0)答案D解析令g(x)，则g(
18、x)()0，所以函数g(x)是单调减函数，所以g(1)g(0)，g(2016)g(0)，即，故f(1)ef(0)，f(2016)e2016f(0)3若函数f(x)x3x22ax在，)上存在单调递增区间，则a的取值范围是_答案(，)4已知函数f(x)x24x3lnx在区间上不单调，则t的取值范围是_答案(0,1)(2,3)解析由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，)；当a0时，f(x)的增区间为(1，)，
19、减区间为(0,1)；当a0时，f(x)不是单调函数(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，f(x)2lnx2x3，f(x).g(x)x3(2)x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g(x)0在区间(t,3)上有变号零点由于g(0)2，当g(t)0，即3t2(m4)t20对任意t恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m0，即m.所以m1，则不等式exf(x)ex1的解集是()Ax|x0Bx|x0Cx|x1Dx|x1或0x0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是_答案(1,1)解析令f(x)3x23a0，
20、得x，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间是(1,1)9若函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是_答案2,1)不等式a33af(1)2，即a33a20，即a313(a1)0，即(a1)(a2a2)0，即(a1)2(a2)0，即a2.故实数a的取值范围是2,1)10设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围解对f(x)求导得f(x)ex.(1)当a时，若f(x)0，则4x28x30，解得x1，x2.结合，可知xf(x)00f(x)极大值极小值所以x1是极小值点，x2是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.所以a的取值范围为a|0a111已知函数f(x)ae2xbe2xcx(a，b，cR)的导函数f(x)为偶函数，且曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为4c.(1)确定a，b的值；(2)若c3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围
