1、1.直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 0.(2)范围：直线的倾斜角 的取值范围是0，180).2.斜率公式(1)若直线 l 的倾斜角 90，则斜率 ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上且 x1x2，则 l 的斜率 ky2y1x2x1.3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy1k(xx1)不含直线 xx1斜截式ykxb不含垂直于 x 轴的直线两点式yy1y2y1 xx1x2x
2、1不含直线 xx1(x1x2)和直线 yy1(y1y2)截距式xayb1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A，B 不全为 0)平面直角坐标系内的直线都适用【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(4)直线的斜率为 tan，则其倾斜角为.()(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(6)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.
3、()1.(2016常州模拟)若直线 l 与直线 y1，x7 分别交于点 P，Q，且线段 PQ 的中点坐标为(1，1)，则直线 l 的斜率为_.答案 13解析 设 P(m,1)，Q(7，n)，由题意知m721，n12 1，解得m5，n3.所以 P(5,1)，Q(7，3)，所以 k3175 13.2.直线 x(a21)y10 的倾斜角的取值范围是_.答案 34，)解析 由直线方程可得该直线的斜率为1a21，又11a210，所以倾斜角的取值范围是34，).3.如图所示，直线 l 过点 P(1,2)，且与以 A(2，3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线 l的斜率的取值范围为_.答案(，125，)
4、解析 设 PA 与 PB 的倾斜角分别为、，直线 PA 的斜率 k15，直线 PB 的斜率 k212.当直线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的位置 PC 时，它的倾斜角由 增到 90，斜率的变化范围为5，)；当直线 l 由 PC 变化到 PB 的位置时，它的倾斜角为 90增至，斜率的变化范围为(，12，故直线 l 的斜率的取值范围是(，125，).4.(教材改编)直线 l：axy2a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则实数 a_.答案 1 或2解析 令 x0，得直线 l 在 y 轴上的截距为 2a；令 y0，得直线 l 在 x 轴上的截距为 12a.依题意 2a12a，解得 a1 或
5、a2.5.过点 A(2，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_.答案 3x2y0 或 xy50解析 当直线过原点时，直线方程为 y32x，即 3x2y0；当直线不过原点时，设直线方程为xaya1，即 xya，将点 A(2，3)代入，得 a5，即直线方程为 xy50.故所求直线的方程为 3x2y0 或 xy50.题型一 直线的倾斜角与斜率例 1(1)(2016镇江模拟)直线 xsin y20 的倾斜角的取值范围是_.(2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为_.答案(1)0，434，)(2)(，31，)解析(
6、1)设直线的倾斜角为，则有 tan sin.因为 sin 1,1，所以1tan 1，又 0，)，所以 04或34.(2)如图，kAP10211，kBP 3001 3，k(，3 1，).引申探究1.若将本例(2)中 P(1,0)改为 P(1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围.解 P(1,0)，A(2,1)，B(0，3)，kAP102113，kBP3001 3.如图可知，直线 l 斜率的取值范围为13，3.2.若将本例(2)中的 B 点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线 l 倾斜角的范围.解 如图，直线 PA 的倾斜角为 45，直线 PB 的倾斜角为 135，由图象知 l 的倾
7、斜角的范围为0，45135，180).思维升华 直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，2 与2，两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当0，2 时，斜率 k0，)；当 2时，斜率不存在；当 2，时，斜率 k(，0).(2016南京模拟)已知过定点 P(2,0)的直线 l 与曲线 y 2x2相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取到最大值时，直线 l 的倾斜角的大小为_.答案 150解析 由 y 2x2，得 x2y22(y0)，它表示以原点 O 为圆心，以 2为半径的圆的一部分，其图象如图所示.显然直线 l 的斜率存在，
8、设过点 P(2,0)的直线 l 为 yk(x2)，则圆心到此直线的距离 d|2k|1k2，弦长 AB22|2k|1k22222k21k2，所以 SAOB12|2k|1k2222k21k22k222k221k21，当且仅当(2k)222k2，即 k213时等号成立，由图可得 k 33(k 33 舍去)，故直线 l 的倾斜角为 150.题型二 求直线的方程例 2 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为 1010；(2)经过点 P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5,10)，且直线到原点的距离为 5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式
9、.设倾斜角为，则 sin 1010(00，b0)，把点 P(3,2)代入得3a2b126ab，得 ab24，从而 SAOB12ab12，当且仅当3a2b时等号成立，这时 kba23，从而所求直线方程为2x3y120.方法二 依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k0.则直线 l 的方程为 y2k(x3)(k0)，且有 A32k，0，B(0,23k)，SABO12(23k)32k12129k 4k121229k4k12(1212)12.当且仅当9k 4k，即 k23时，等号成立.即ABO 的面积的最小值为 12.故所求直线的方程为 2x3y120.命题点 2 由直线方程解决参数问题例 4 已知
10、直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1，l2 与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a 的值.解 由题意知直线 l1，l2 恒过定点 P(2,2)，直线 l1 在 y 轴上的截距为 2a，直线 l2 在 x 轴上的截距为 a22，所以四边形的面积 S122(2a)122(a22)a2a4a122154，当 a12时，面积最小.思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写
11、出方程.(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.(2016盐城模拟)直线 l 过点 P(1,4)，分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于 A，B 两点，O 为坐标原点，当 OAOB 最小时，求直线 l 的方程.解 依题意，直线 l 的斜率存在且斜率为负，设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y4k(x1)(k0).令 y0，可得 A(14k，0)；令 x0，可得 B(0,4k).OAOB(14k)(4k)5(k4k)5(k 4k)549.当且仅当k 4k且 k0 且 k20，所以6kx02，则y0 x0的取值范围为_.答
12、案(12，15)解析 设 A(x1，y1)，y0 x0k，则 y0kx0，AB 的中点为 P(x0，y0)，B(2x0 x1,2y0y1).A，B 分别在直线 x2y10 和 x2y30 上，x12y110,2x0 x12(2y0y1)30，2x04y020，即 x02y010.y0kx0，x02kx010，即 x0112k.又 y0 x02，kx0 x02，即(k1)x02，即(k1)(112k)2，即5k12k10，解得12k15.4.(2016徐州模拟)已知两点 M(2，3)，N(3，2)，直线 l 过点 P(1,1)且与线段 MN 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是_.答案(，
13、434，)解析 如图所示，kPN121334，kPM13124.要使直线 l 与线段 MN 相交，当 l 的倾斜角小于 90时，kkPN；当 l 的倾斜角大于 90时，kkPM.由已知得 k34或 k4.5.(2016无锡模拟)已知两点 A(1，5)，B(3，2)，若直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半，则 l 的斜率是_.答案 13解析 设直线 AB 的倾斜角为 2，则直线 l 的倾斜角为，所以 02.又 kABtan 22531 34 2tan 1tan2，所以 tan 13或 tan 3(舍去)，所以 k13.6.(2016无锡模拟)已知点 A(1,0)，B(cos，sin)，且
14、 AB 3，则直线 AB 的方程为_.答案 x 3y10 或 x 3y10解析 AB cos 12sin2 22cos 3，所以 cos 12，sin 32，所以 kAB 33，即直线 AB 的方程为 y 33(x1)，即 x 3y10 或 x 3y10.7.已知 A(3,0)，B(0,4)，直线 AB 上一动点 P(x，y)，则 xy 的最大值是_.答案 3解析 直线 AB 的方程为x3y41，动点 P(x，y)在直线 AB 上，则 x334y，xy3y34y234(y24y)34(y2)243.即当 P 点坐标为32，2 时，xy 取最大值 3.8.(2016苏州模拟)已知直线 l1：a(
15、xy2)2xy30(aR)与直线 l2 的距离为 1，若 l2 不与坐标轴平行，且在 y 轴上的截距为2，则 l2 的方程为_.答案 4x3y60解析 由题意可知，直线 l1 过直线 xy20 与 2xy30 的交点 P(1,1)，由两条直线间的距离为 1 可得，点 P 到直线 l2 的距离为 1，设 l2 的方程为 ykx2，则|k12|k211，解得 k43，故 l2 的方程为 y43x2，即 4x3y60.9.设点 A(1,0)，B(1,0)，直线 2xyb0 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是_.答案 2,2解析 b 为直线 y2xb 在 y 轴上的截距，如图，当直线 y2xb
16、过点 A(1,0)和点 B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值.b 的取值范围是2,2.10.(2016泰州模拟)平面上三条直线 x2y10，x10，xky0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数 k 的取值集合为_.答案 0，1，2解析 直线 x2y10 与 x10 相交于点 P(1,1)，当 P(1,1)在直线 xky0 上，即 k1 时满足条件；当直线 x2y10 与 xky0 平行，即 k2 时满足条件；当直线 x10 与 xky0 平行，即 k0 时满足条件，故实数 k 的取值集合为0，1，2.11.已知两点 A(1,2)，B(m,3).(1)求直线 AB 的方程；(2)已知
17、实数 m 33 1，31，求直线 AB 的倾斜角 的取值范围.解(1)当 m1 时，直线 AB 的方程为 x1；当 m1 时，直线 AB 的方程为 y21m1(x1).即 x(m1)y2m30.(2)当 m1 时，2；当 m1 时，m1 33，0)(0，3，k1m1(，3 33，)，6，2)(2，23.综合知，直线 AB 的倾斜角 的取值范围为6，23.12.已知点 P(2，1).(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程；(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请
18、说明理由.解(1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2，1)，显然，过点 P(2，1)且垂直于 x 轴的直线满足条件，此时直线 l 的斜率不存在，其方程为 x2.若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10.由已知得|2k1|k21 2，解得 k34.此时 l 的方程为 3x4y100.综上可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y100.(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图所示.由 lOP，得 klkOP1，所以 kl 1kOP2.由直线方程的点斜式，得 y12(x2)，即 2xy50.所
19、以直线 2xy50 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线，最大距离为|5|5 5.(3)由(2)可知，过点 P 不存在到原点的距离超过 5的直线，因此不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线.*13.如图，射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45和 30角，过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y12x 上时，求直线 AB 的方程.解 由题意可得 kOAtan 451，kOBtan(18030)33，所以直线 lOA：yx，lOB：y 33 x.设 A(m，m)，B(3n，n)，所以 AB 的中点 Cm 3n2，mn2，由点 C 在直线 y12x 上，且 A、P、B 三点共线得mn212m 3n2，m0m1n0 3n1，解得 m 3，所以 A(3，3).又 P(1,0)，所以 kABkAP3313 32，所以 lAB：y3 32(x1)，即直线 AB 的方程为(3 3)x2y3 30.
