1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。5正 态 分 布【必备知识自主学习】导思1.什么叫正态曲线与正态分布？2正态曲线的性质有哪些？1.正态曲线，(x)，x(，)，其中实数和(0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线如果随机变量X服从正态分布，且其总体密度曲线对应的函数是(x) (xR)，那么EX等于多少？提示：22正态分布(1)正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型(
2、2)如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数，(0)确定，记为XN(，2).其中EX，DX2.3正态曲线的特点(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，关于直线x对称；(3)曲线的最高点位于x处；(4)当x时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线；(5)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；(6)当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中P(X)和P(X)有什么关系？各等于多少？提示：P(X)P(X)0.543原则(1)正态分布在三个特殊区间内取值的概率
3、：P(X)0.682_6，P(2X2)0.954_4，P(3115)0.16所以人数大约为1000.1616.答案：16【关键能力合作学习】类型一正态曲线及其性质(直观想象)【典例】某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的分布密度曲线如图所示(由于人数众多，可视为正态分布)，则由如图所示曲线可得下列说法中正确的一项是()A.甲科总体的标准差最小B丙科总体的平均数最小C乙科总体的标准差及平均数都居中D甲、乙、丙的总体的平均数不相同【思路导引】观察图象结合正态曲线的性质进行判断【解析】选A.由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态曲线的性质，可知越大，正态曲线越扁平；越小，正
4、态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙 利用正态曲线的性质可以求参数，(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x对称，由此性质结合图象求.(2)正态曲线在x处达到峰值，由此性质结合图象可求.(3)由的大小区分曲线的胖瘦(2021郑州高二检测)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(1，)，N(2，)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是()A.甲类水果的平均质量10.4 kgB甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D乙类水果的质量服从正态分布的参数21.99【解析】选D.由图象可知，甲类水果的平均质量10
5、.4 kg，乙类水果的平均质量20.8 kg，故A，B，C正确；乙类水果的质量服从的正态分布，1.99，所以21.99，故D不正确类型二正态分布下的概率计算(数学运算)1已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(0c1)P(Xc1).(1)求c的值；(2)求P(4x8).【解析】1.选C.因为随机变量服从正态分布N(2，2)，所以2，对称轴是x2.因为P(4)0.8，所以P(4)P(0)0.2，所以P(04)0.6，所以P(0c1)P(Xc1)，故有2(c1)(c1)2，所以c2.(2)P(4x8)P(223x223)0.954 4. 正态变量在某个区间内取值概率的求解策略
6、(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)注意概率值的求解转化：P(Xa)1P(Xa)；P(Xa)P(Xa)；若b，则P(Xb).(3)熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值类型三正态分布的实际应用(数学运算)【典例】设在一次数学考试中，某班学生的分数XN(110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分及以上)的人数和130分及以上的人数【思路导引】将P(X90)转化为P(X)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X)0.682 61，进而求出P(X90)的值，同理可解得P(X130)的值【解析】110，20，P
7、(X90)P(X11020)P(X)，因为P(X)P(X)P(X)2P(X)0.682 61，所以P(X)0.158 7，所以P(X90)1P(X)10.158 70.841 3.所以540.841 345(人)，即及格人数约为45人因为P(X130)P(X11020)P(X)，所以P(X)P(X)P(X)0.682 62P(X)1，所以P(X)0.158 7，即P(X130)0.158 7.所以540.158 79(人)，即130分及以上的人数约为9人如果把题设条件“这个班的学生共54人”换成“现已知该班同学中不及格的人数有9人”，求相应结论【解析】因为XN(110，202)，所以110，2
8、0，所以P(11020X11020)0.682 6，所以X90的概率为(10.682 6)0.158 7.设该班学生共有x人，则0.158 7x9，即x57(人)，所以P(X90)10.158 70.841 3，所以这个班这次数学考试中及格的人数为0.841 35748(人)，又P(X90)P(X130)，所以130分及以上的人数有9人 正态分布的实际应用题的求解策略解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(，(2，2，(3，3三个区间内的概率在此过程中用到归纳思想和数形结合思想【补偿训练】在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布，即XN(90，100).(1)试
9、求考试成绩X位于区间(70，110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名学生，试估计考试成绩在(70，110)间的考生大约有多少人？【解析】因为XN(90，100)所以90，10.(1)由于X在区间(2，2)内取值的概率是0.954 4，又该正态分布中，29021070，290210110，于是考试成绩X位于区间(70，110)内的概率就是0.954 4.(2)由(1)知P(70X110)0.954 4，所以估计成绩在(70，110)间的考生大约为2 0000.954 41 909(人). 备选类型正态分布与概率的综合问题(数学运算)【典例】(2021潍坊高二检测)有一片产量很大的
10、水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量(均在1至11 kg)频数分布表如下(单位：kg)：分组1，3)3，5)5，7)7，9)9，11频数103040155以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率(1)由种植经验认为，种植园内的水果质量X近似服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，24.请估计该种植园内水果质量在(5.5，9.5)内的百分比；(2)现在从质量为1，3)，3，5)，5，7)的三组水果中，用分层随机抽样方法抽取8个水果，再从这8个水果中随机抽取2个若水果质量在1，3)，3，5)，5，7)的水果每销售一个所获得的利润分别为2元，4元，6元，记随
11、机抽取的2个水果总利润为Y元，求Y的分布列和数学期望附：若服从正态分布N(，2)，则P()0.682 6，P(22)0.954 4.【思路导引】第(1)问先求平均值，再分析数据所在范围，求正态分布概率；第(2)问由分层随机抽样求出抽取的样本，再确定总利润Y的取值，求出对应的概率即可【解析】(1)(210430640815105)5.5，由正态分布知，P(5.5X9.5)P(X2)P(282.7)P(Z)0.158 7，在这2 000名毕业生中，能参加三家公司面试的估计有2 0000.158 7317人【课堂检测素养达标】1设随机变量X的正态密度函数为f(x)，x(，)，则参数，的值分别是()A
12、3，2 B3，2C3， D3，【解析】选D.由正态密度函数表达式知3，.2设随机变量XN(3，1)，若P(X4)p，则P(2X4)()Ap B1pC12p Dp【解析】选C.由XN(3，1)得3，所以P(3X4)p，即P(2X4)2P(3X4)12p.3(教材练习改编)设随机变量XN(3，1.52)，P(X4)0.7，则P(X2)()A0.3 B0.4 C0.2 D0.1【解析】选A.由于P(X4)0.7，故P(X4)0.3则P(X2)P(X4)0.3.4设XN，则P(1X1)_【解析】因为XN，所以0，所以P(1X1)P(02X02)0.954 4.答案：0.954 45某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N(90，2).若分数在(70，110内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为_【解析】由题意可知正态分布N(90，2)的对称轴为x90，据此可估计这次考试分数不超过70的人数为：1 000150.答案：150关闭Word文档返回原板块
