1、专题二数列第1讲等差数列、等比数列全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2019等差数列的基本运算T9等差(比)数列的证明及通项公式的求法T19等比数列的基本运算T5等比数列的证明T21(2)等差数列的基本运算T142018等差数列基本量的计算T4等差数列基本量的计算、和的最值问题T17等比数列基本量的计算T172017等差数列的通项公式、前n项和公式T4等比数列的概念、前n项和公式、数学文化T3等差数列的前n项和公式、通项公式T9等比数列的通项公式T14等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本概念、基本运算的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差、等比数
2、列性质的考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和的最大、最小值等问题，属中低档题 例1(1)(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5Ban3n10CSn2n28nDSnn22n(2)(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和，若a11，S3，则S4_.(3)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b23.若a3b37，求bn的通项公式；若T313，求Sn.解析(1)设首项为a1，公差为d.由S40，a55可得解得所以an32(n1)2n5，Snn(3)2n24n.故选A.(2)设等
3、比数列的公比为q，则ana1qn1qn1. a11，S3， a1a2a31qq2，即4q24q10， q， S4.答案(1)A(2)解(3)设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.由a2b23，得dq4，()由a3b37，得2dq28, ()联立()()，解得q2或q0(舍去)，因此bn的通项公式为bn2n1.T31qq2，1qq213，解得q3或q4，由a2b23，得d4q，d1或d8.由Snna1n(n1)d，得Snn2n或Sn4n25n.解题方略等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量：首项a1和公差d(公比q)；(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a
4、1和d(或q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量多练强化1(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A16B8C4D2解析：选C由题意知解得 a3a1q24.故选C.2(2019沈阳市质量监测(一)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a112，S590，则等差数列an的公差d()A2 BC3D4解析：选C法一：依题意，512d90，解得d3.故选C.法二：因为等差数列an中，S590，所以5a390，即a318，因为a112，所以2da3a118126，所以d3.故选C.3(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知
5、S9a5.(1)若a34，求an的通项公式；(2)若a10，求使得Snan的n的取值范围解：(1)设an的公差为d.由S9a5得a14d0.由a34得a12d4.于是a18，d2.因此an的通项公式为an102n.(2)由(1)得a14d，故an(n5)d，Sn.由a10知d0，故Snan等价于n211n100，解得1n10，所以n的取值范围是n|1n10，nN. 例2(1)(2019贵阳模拟)等差数列an中，a2与a4是方程x24x30的两个根，则a1a2a3a4a5()A6B8C10D12(2)在等比数列an中，a3，a15是方程x26x20的根，则的值为()ABC.D或(3)在等差数列a
6、n中，已知a113，3a211a6，则数列an的前n项和Sn的最大值为_解析(1)根据题意有a2a44，在等差数列an中，a2a4a1a52a34a32，所以a1a2a3a4a55a310.故选C.(2)设等比数列an的公比为q，因为a3，a15是方程x26x20的根，所以a3a15a2，a3a156，所以a30，a150，则a9，所以a9.故选B.(3)设an的公差为d.法一：由3a211a6，得3(13d)11(135d)，解得d2，所以an13(n1)(2)2n15.由得解得6.5n7.5.因为nZ*，所以当n7时，数列an的前n项和Sn最大，最大值为S749.法二：由3a211a6，得
7、3(13d)11(135d)，解得d2，所以an13(n1)(2)2n15.所以Snn214n(n7)249，所以当n7时，数列an的前n项和Sn最大，最大值为S749.答案(1)C(2)B(3)49解题方略等差、等比数列性质问题的求解策略抓关系抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解用性质数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题多练强化1(2019蓉城名校第一次联考)若等差数列an的前n项和为Sn，且S520，a46，则a2的值为()A0B1C2D3解析：选CS55a320a34，根据等差数列的性质有2a3a2a
8、4，所以a22a3a4862.故选C.2(2019江西八所重点中学联考)已知数列an是等比数列，若ma6a7a2a4a9，且公比q(，2)，则实数m的取值范围是()A(2，6)B(2，5)C(3，6)D(3，5)解析：选Cma6a7a2a4a9，a6a7a4a9，m2q32，又q(，2)，3m0，则f(a1)f(a3)f(a5)的值()A恒为正数B恒为负数C恒为0D可以为正数也可以为负数解析：选A因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，又f(x)是R上的增函数，所以当x0时，有f(x)f(0)0，当x0时，有f(x)0，所以f(a3)0.因为数列an是等差数列，所以a30a1a50a1
9、a5f(a1)f(a5)，又f(a5)f(a5)，所以f(a1)f(a5)0，故f(a1)f(a3)f(a5)f(a1)f(a5)f(a3)0.故选A.4已知数列an满足an若对于任意的nN*都有anan1，则实数的取值范围是_解析：法一：因为anan1，所以数列an是递减数列，所以解得an1恒成立，所以01.若0，则当nan1；若1，则当nan1，所以a6a5，即51，解得，所以0时，S31q12 3，当且仅当q1时，等号成立；当公比q0时，S3112 1，当且仅当q1时，等号成立所以S3(，13，)故选D.答案D素养通路等比数列的公比q0时，数列中的各项符号相同用等比数列前n项和公式时，如果其公比q不确定，要分q1和q1两种情况进行讨论
