1、课时作业(七十五)1已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为_答案解析2x2(xa)2a22a2a47，a.2若不等式|a1|x2y2z，对满足x2y2z21的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是_答案a4或a2解析由柯西不等式得(x2y2z)2(122222)(x2y2z2)9，由题意|a1|3，a4或a2.3已知a0，b0，c0，abc.求证：.证明本题若通分去分母，运算量较大，考虑到a0，b0可先试试分式的放缩a0，b0，只需证：.而函数f(x)1在(0，)上递增，且abc，f(ab)f(c)即，原不等式成立4已知实数a、b、c满足a2bc1，a2b2c
2、21，求证：c1.证明因为a2bc1，a2b2c21，所以a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式：(1222)(a2b2)(a2b)2，5(1c2)(1c)2，整理得3c2c20，解得c1.5已知x，y，z均为正数求证：.证明因为x，y，z均为正数，所以()，同理可得，当且仅当xyz时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得.6已知x22y23z2，求3x2yz的最小值解析(x22y23z2)32()2()2(3xyz)2(3x2yz)2，(3x2yz)212，23x2yz2.当且仅当x，y，z时，3x2yz取最小值，最小值为2.7已知实数x、y、z满足x24y29z
3、2a(a0)，且xyz的最大值是1，求a的值解析由柯西不等式知：x2(2y)2(3z)212()2()2(x2y3z)2(当且仅当x4y9z时取等号)因为x24y29z2a(a0)，所以a(xyz)2，即xyz.因为xyz的最大值是1，所以1，a，所以当x，y，z时，xyz取最大值1，所以a的值为.8(2012苏锡常镇一模)已知abc0，求证：a6.(并指出等号成立的条件)解析因为abc0，所以ab0，bc0，所以a(ab)(bc)c3，当且仅当abbcc时，等号成立，所以a326，当且仅当3时，等号成立，故可求得a3，b2，c1时等号成立9(2012衡水调研卷)已知实数m，n0.(1)求证：
4、；(2)求函数yx(0，)的最小值解析(1)证明因为m，n0，利用柯西不等式，得(mn)()(ab)2，所以.(2)解由(1)，函数y25，所以函数yx(0，)的最小值为25，当且仅当x时取得10(2011辽宁理)已知函数f(x)|x2|x5|.()证明：3f(x)3；()求不等式f(x)x28x15的解集解析()f(x)|x2|x5|当2x5时，32x73.所以3f(x)3.()由()可知，当x2时，f(x)x28x15的解集为空集；当2x5时，f(x)x28x15的解集为x|5x5；当x5时，f(x)x28x15的解集为x|5x6综上，不等式f(x)x28x15的解集为x|5x611已知实
5、数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，试求a的最值解由柯西不等式，得(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2，由条件，可得5a2(3a)2，解得1a2，当且仅当时等号成立，即当b，c，d，amax2；b1，c，d时，amin1.12(2011安徽理)()设x1，y1，证明：xyxy；()设10时，f(x)0；()从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：p()190时，f(x)0，所以f(x)为增函数，又f(0)0，因此当x0时，f(x)0.()p.又9981902,9882902，9189902，所以p0时，ln(1x)，因此(1)ln(1x)2.在上式中，令x，则19ln2，即()19e2.所以p()19.4已知f(x)，ab，求证：|f(a)f(b)|ab|.证明|f(a)f(b)| |ab|.5(2012南通)设nN*，求证：证明由柯西不等式，得()2(111)(CCC)n(11)21n(2n1).高考资源网w w 高 考 资源 网
