1、四川省成都外国语学校2019-2020学年高二数学5月月考试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，若是实数，则实数的值为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：,所以.故C正确.考点：复数的运算.2. 命题“，”的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据全称命题与特称命题之间的关系求解.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定为“，”故选A【点睛】本题考查全称命题和特称命题的否定，属于基础题.3. 曲线 在点 处的切线方程为A.
2、 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先对曲线求导，再根据点斜式写出切线方程即可【详解】由，所以过点切线方程为答案选B【点睛】本题考查在曲线上某一点切线方程的求法，相对比较简单，一般解题步骤为：先求曲线导数表达式，求出，最终表示出切线方程4. 已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则的渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件求出值，即可求解.【详解】由题意知的焦点坐标为，顶点为，故渐近线方程为.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及简单的几何性质，属于基础题.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A. B. C. D.
3、 【答案】C【解析】【分析】根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的的值.【详解】执行如图所示的程序框图如下：不成立，；不成立，；不成立，；不成立，.成立，跳出循环体，输出的值为，故选C.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.6. 已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题为假；当时，命题为真，根据复合命题的真假关系，
4、即可得出结论.【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物不相切，可得命题是假命题，当时，方程表示椭圆命题是真命题，则是真命题.故选:B.【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.7. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和
5、位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法8. 阿基米德（公元前287年公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为
6、圆柱的表面积公式为，所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.9. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线
7、与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题10. 函数，在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知在区间上恒成立，即可由定义域及不等式求得的取值范围.【详解】函数，.则，因为在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即， 所以在区间上恒成立，所以，解得，故选：C.【点睛】本题考查了函数单调性与导函数关系，由函数单调性确定参数的取值范围，属于基础题.11. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为（ ）
8、A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，可得，然后，即，又由可得，然后可得，然后即可求出.【详解】由题意可得，联立两个方程可得，又为直径，所以四边形为矩形，所以，即，即，由，得，即，所以，即.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质、圆的性质的综合应用，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.12. 已知函数恰有一个极值点为，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可知，有且只有一个解，因为是它的唯一解，所以方程在上无解，利用导数判断函数在上的单调性，即可求出【详解】由题意知函数的定义域为，因为恰有一个极值点为，所以有且只有一个解，即是它
9、的唯一解，也就是说另一个方程无解.令，则，所以函数在上单增，从而，所以，当时，无解，恰有一个极值点，所以实数的取值范围是故选：C【点睛】本题主要考查极值点的存在条件应用，以及利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力，属于中档题非选择题部分（共90分）二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在复平面内，与复数对应的点位于第_象限.【答案】四【解析】【分析】，然后即可得出答案.【详解】因为，所以其对应的点为，位于第四象限故答案为：四【点睛】本题考查的是复数的计算及其几何意义，较简单.14. 已知函数，则的单调递增区间为_【答案】【解析】【分析】求出函
10、数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可【详解】解：的定义域是，令，解得：，故在递增，故答案为【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题15. 已知，则方程恰有2个不同的实根，实数取值范围_.【答案】【解析】【分析】采用数形结合，先计算直线直线与曲线相切时，的值，然后讨论，的情况，最后判断可得结果.【详解】作出函数的图象如图所示：先考虑直线与曲线相切时，的取值，设切点为，对函数求导得，切线方程为，即，则有，解得，由图象可知，当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有一个公共点，不合乎题意；当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有两个公共点，合乎题意；当时，
11、直线与函数在上的图象只有一个公共点，在有两个公共点，不合乎题意；当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在没有公共点，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查方程根的个数求解参数，采用数形结合，形象直观，考查分析能力以及计算能力，属中档题.16. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为_【答案】6【解析】【分析】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值.【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，由于线段的垂直平分线
12、过，所以有.根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即.所以，即最小值为.【点睛】本小题考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，是一个综合性较强的题目.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同.对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值.三、解答题（本大题共6小题，共70分）.17. 已知函数在点处的切线方程为(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的最大值与最小值【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），得到关于a的方程，求出a的值，从而求出函数的解析式
13、即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可【详解】（1） 函数在点处的切线的斜率 由题意可知，得 函数的解析式为 （2）由（1）知，令，解得令，解得 令，解得 列表：02119从上表可知，在区间上，当时，取得最大值19， 当时，取得最小值是.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题18. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组90，100），100，110），140，150后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在120，130
14、）内频率；（2）估计本次考试的中位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段120，130）内的概率【答案】（1）0.3；（2）（3）【解析】分析】(1)根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为1，求出分数在内的概率；(2)由直方图左右两边面积相等处横坐标计算出中位数；(3)计算出与分数段的人数，用分层抽样的方法求出在各分数段内抽取的人数组成样本，利用古典概率公式求出“从样本中任取2人，至多有1人在分数段内”的概率即可.【详解】（1）分数在120，130）内的频率为1（0.1+0.15+0.15
15、+0.25+0.05）=10.7=0.3；（2）由于图中前3个小矩形面积之和为0.4则设中位数，则，则（3）依题意，110，120）分数段的人数为600.15=9（人），120，130）分数段的人数为600.3=18（人）；用分层抽样的方法在分数段为110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，需在110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在120，130）分数段内抽取4人，并分别记a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段120，130）内”为事件A，则基本事件有（m，n），（m，a），（m，d），（n，a），（n，d），（a，b），（c，d）共15种；则事件A包含
16、的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种；P（A）=【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.19. 已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（I）证明：平面平面；（）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值
17、. 图一图二【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)设AC的中点为O,证明PO垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可.【详解】（）设的中点为，连接，.由题意，得，.因为在中，为的中点，所以，因为在中，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（）由（）知，平面，所以是直线与平面所成的角，且，所以当最短时，即是的中点时，最大.由平面，所以，于是以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则由得：.令，得，即.设平面的法向量为，由得：，令，得，即.由图可
18、知，二面角的余弦值为.【点睛】本道题考查了二面角计算以及平面与平面垂直的判定,难度较大.20. 在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求，交点的直角坐标；（2）设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值.【答案】（1）， ；（2）.【解析】【分析】（1）结合，得到曲线的普通方程，即可计算交点坐标.（2）结合三角形面积计算公式， 结合三角函数性质和辅助角公式，可计算最值.【详解】(1)，.联立方程组得，解得，所求交点的坐标为，.(2)设，则.的面积当时，.【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程，考查了极坐标方程化为普通
19、方程，考查了三角函数的辅助角公式，属于中档题.21. 已知点，直线为平面内的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且. （1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线（与轴不重合）交轨迹于，两点，求三角形面积的取值范围.（为坐标原点）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）处理向量等式，代入向量坐标，计算方程，即可（2）分直线斜率是否存在考虑，设出直线l的方程，代入椭圆方程，用m表示三角形面积，换元，结合函数性质，计算范围，即可【详解】（1）设动点，则由即 化简得 （2）由(1)知轨迹的方程为，当直线斜率不存在时，当直线斜率存在时，设直线方程为 ，设 由得.则， 令，则 令，则，当时，在上单调递增
20、，综上所述，三角形面积取值范围是【点睛】本道题考查了曲线轨迹方程计算，考查了直线与椭圆位置关系，考查了函数的性质，属于综合性问题，难度偏难22. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个不相等的实数根，求证：【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数进行求导，根据的不同取值，结合函数的定义域，以及二次方程根的情况进行分类讨论求解即可；（2）令，由方程有两个不相等的实数根，问题转化为函数有两个零点，对求导，然后根据的不同取值，分类讨论最后求出的取值范围，要证明，可以通过构造新函数，求导，利用新函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）易知的定义域为，且，时，在上恒正，
21、所以在上单调递增，时，对于，当，即时，在上是增函数；当，即时，有两个正根，所以，单调递增，单调递减综上，时，在上是增函数，时，在和上是增函数,在上是减函数 （2）令，方程有两个不相等的实根函数有两个零点，由定义域为且当时，恒成立，在上单调递增，则至多有一个零点，不符合题意；当时，得，在上单调递增，在上单调递减要使有两个零点，则，由解得 此时 易知当时，令，所以，时，在为增函数，在为增函数，所以，即所以函数在与各存在一个零点综上所述，. 证明证明时，成立设，则易知在上递减，在上单调递减，所以.【点睛】本题考查了利用导数研究含参数函数的单调区间，考查了构造函数利用导数证明不等式，考查了数学运算能力.
