1、第六节 幂函数与二次函数【知识梳理】1.幂函数(1)定义:一般地,函数_叫做幂函数,其中底数_ 是自变量,是常数.y=x x(2)幂函数的图象比较:2.二次函数(1)解析式:一般式:f(x)=_.顶点式:f(x)=_.两根式:f(x)=_.ax2+bx+c(a0)a(x-h)2+k(a0)a(x-x1)(x-x2)(a0)(2)图象与性质:解析式 f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=ax2+bx+c(a0;当 时,恒有f(x)0),g(x)=logax的图象可能是()【解析】选D.因为a0,所以f(x)=xa在(0,+)上为增函数,故A错,在B中,由f(x)的图象知a1,由g(x)的图
2、象知0a1,矛盾,故B错.在C中,由f(x)的图象知0a1,矛盾,故C错;在D中,由f(x)的图象知0a1,由g(x)的图象知0abc B.acb C.cab D.bca 232555322a()b()c()555，(2)已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(mN*)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,则m的值为 .【解题导引】(1)利用幂函数与指数函数的单调性比较.(2)先利用幂函数的单调性求出m的取值范围,再利用函数的对称性确定m的值.【规范解答】(1)选B.因为y=在第一象限内为增 函数,所以 因为y=是减函数,所以 所以acb.25x225532a()c()55，x2()52
3、35522c()b()55，(2)因为f(x)在(0,+)上是减函数,所以m2-2m-30,解得-1m3.又mN*,所以m=1或m=2.由于f(x)的图象关于y轴对称,所以m2-2m-3为偶数,又当m=2时,m2-2m-3为奇数,所以m=2舍去,因此m=1.答案:1【易错警示】解答本例题(2)易出现以下错误(1)对幂函数的图象不理解,不清楚x(0,+)时函数递减的含义.(2)在求得m后没有进行检验.【母题变式】1.若本例(2)中,将函数“f(x)=xm2-2m-3”变为“f(x)=(m2+2m-2)xm2-3m”,其他条件不变,则m的值如何?【解析】由于f(x)为幂函数,所以m2+2m-2=1
4、,解得m=1或m=-3,经检验只有m=1适合题意,所以m=1.2.若本例(2)中已知条件不变,则 中实数a的取值范围如何?mm22(a1)(32a)【解析】由典例(2)知,m=1,因为y=在0,+)上 为增函数,所以 等价于0a+13-2a,解之得-1a10 1 10 1 0特殊点过(0,0),(1,1)过(0,0),(1,1)过(1,1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2y=y=x-1,y=12x12x【变式训练】(2016青岛模拟)已知幂函数y=f(x)的图象过点 则log9f(3)的值为()A.B.-C.2 D.-2 13(,)33，1414【解析】选A.设幂函数f(x)=
5、x(为常数),由题意得 解得=所以f(x)=所以log9f(3)=31()33，12，12x，1291log 3.4【加固训练】1.(2016西安模拟)函数y=的图象大致是()32x【解析】选C.y=其定义域为xR,排除A,B,又0 1,图象在第一象限为上凸的,排除D,故选C.2323xx，232.(2015郑州模拟)幂函数y=xa,当a取不同的正数时,在区间0,1上它们的图象是一组美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x,y=x 的图象三等分,即有BM=MN=NA.那么 =()A.1 B.2 C.3 D.无法确定【解析】选A.由条件得
6、 由一般性,可得 即 所以 1 22 1M(,)N(,)3 33 3，1221()()3333，213312loglog.33 ，213312lglg1233loglog1.2133lglg33 3.(2016太原模拟)当0 xg(x)f(x).答案:h(x)g(x)f(x)考向二 二次函数的解析式【典例2】(1)已知二次函数f(x)的最大值为8且满足f(-1)=f(2)=-1,则此二次函数的解析式f(x)=.(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),且不等式f(x)+2x0的解集为x|1x3,方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根,则不等式f(x)0的解集为 .【解题导引】(1
7、)根据条件,利用二次函数一般式、顶点式或两根式求解.(2)先根据条件求出二次函数的解析式,然后利用解一元二次不等式的方法求f(x)0的解集为(1,3),设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0,所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0.因为方程有两个相等的根,所以=-(2+4a)2-4a9a=0,解得a=1或a=由于a0,舍去a=1.因为f(x)0,解得x-3+或x0,解得 因为0 1,所以函数 g(x)的递增区间为(0,).2a0,b2,2a4.212log2x4.2x2，1222.已知二次函
8、数为y=x2+2kx+3-2k,则顶点位置最高时抛物线的解析式为 .【解析】由题意可知:y=x2+2kx+3-2k=(x+k)2-k2-2k+3,所以该抛物线的顶点坐标为(-k,-k2-2k+3).设顶点的纵坐标为y=-k2-2k+3=-(k+1)2+4,所以当k=-1时,顶点位置最高.此时抛物线的解析式为y=x2-2x+5.答案:y=x2-2x+5 3.已知二次函数图象的顶点是 与x轴的两 个交点之间的距离为6,则这个二次函数的解析式 为 .3(2)2，【解析】方法一:设二次函数为y=a(x+2)2+即y=ax2+4ax+4a+设与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0).则|x1-x2|
9、=得a=所以二次函数的解析式为y=32，3.221212xx4x x23644(4)62aa，1.62125xx.636方法二:设图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0)(x10,bR,cR).若函数 f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=则F(2)+F(-2)=.f x,x0,f x,x0,【解析】由已知c=1,a-b+c=0,且 =-1,解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2.所以F(x)=所以F(2)+F(-2)=(2+1)2+-(-2+1)2=8.答案:8 b2a22x1,x0,x1,x0.考向三 二次函数的图象和性质【考情快递】命题方向命题视角二次函
10、数图象的识别考查二次函数图象的画法及二次函数的图象特征,属中档题二次函数的最值问题考查二次函数最大值及最小值的求法,属中档题二次函数中恒成立问题以二次函数为载体,考查不等式恒成立问题的求解方法,属稍难题【考题例析】命题方向1:二次函数图象的识别【典例3】(2016聊城模拟)已知函数y=ax2+bx+c,如果abc,且a+b+c=0,则它的图象是()【解题导引】先依据条件判断a0,且cbc,且a+b+c=0,得a0,且c0,所以f(0)=c0,所以函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,与y轴的交点在y轴的负半轴上.命题方向2:二次函数的最值问题【典例4】已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a
11、在x0,1时有最大值2,则实数a的值为 .【解题导引】先求出二次函数的对称轴,然后讨论对称轴与0,1的关系,从而确定a的值.【规范解答】函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a.当a1时,f(x)max=f(1)=a,所以a=2.综上可知,a=-1或a=2.答案:-1或2 152命题方向3:二次函数中恒成立问题【典例5】(2016济宁模拟)已知 x-1,1时,f(x)=x2-ax+0恒 成立,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(2,+)C.(0,+)D.(0,4)a2【解题导引】f(x)0恒成立f(x)min0.求函数f(x)=x2-ax+
12、的最小值应抓住问题中的区间两端点与对称轴的位置关系进行分类讨论,结合图象和函数的单调性及恒成立条件建立关于a的不等式求解.a2【规范解答】选A.二次函数图象开口向上,对称轴为 x=,又x-1,1时,f(x)=x2-ax+0恒成立,即f(x)min0.当 -1,即a-2时,f(-1)=1+a+0,解得a 与a-2矛盾;a2a2a2a223，当 1,即a2时,f(1)=1-a+0,解得a2,与 a2矛盾;当-1 1,即-2a2时,解得0a2.综上得实数a的取值范围是(0,2).a2a2a222a11af()aa0,2422【技法感悟】1.二次函数图象的识别方法 二次函数的图象应从开口方向、对称轴、
13、顶点坐标以及图象与坐标的交点等方面识别.2.二次函数的最值问题的类型及求解策略(1)类型:对称轴、区间都是给定的;对称轴动、区间固定;对称轴定、区间变动.(2)求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.3.二次函数中恒成立问题的求解思路(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:af(x)af(x)max,af(x)af(x)min.【题组通关】1.(2016成都模拟)两个二次函数f(x
14、)=ax2+bx+c(a0)与g(x)=bx2+ax+c(b0)的图象只可能是()【解析】选D.因为f(x)的对称轴为 g(x)的对称轴 为 所以排除A,B;若 都小于0,则a,b同号,函数f(x),g(x)开口方向相同,故排除C.b2a，aba12b2a2b4，ba2a2b和2.(2016滨州模拟)若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间0,2上是增函数,且f(m)f(0),则实数m的取值范围是()A.0m4 B.0m2 C.m0 D.m0或m4【解析】选A.函数f(x)的对称轴是x=2,因为函数f(x)在0,2上是增函数,所以在2,4上是减函数,所以f(0)=f(4),又f
15、(m)f(0),所以0m4.3.(2016青岛模拟)函数f(x)=|x2-a|在区间-1,1 上的最大值M(a)的最小值是()A.B.C.1 D.2 1214【解析】选B.当a0时,f(x)=x2-a在0,1上递增,M(a)=1-a1.当0a 时,f(x)=且f(1)f(0),所以M(a)=f(x)max=f(1)=1-a 1222ax,0 xa,xa,ax1.1,1).2当 f(1),所以M(a)=f(x)max=f(0)=a 当a1时,f(x)=a-x2,M(a)=f(x)max=f(0)=a1,综上所述M(a)的最小值为 1222ax,0 xa,xa,ax1.1(,1.21.24.(2016泰安模拟)已知f(x)=x2+2(a-2)x+4,如 果对x-3,1,f(x)0恒成立,则实数a的取值范 围为 .【解析】因为f(x)=x2+2(a-2)x+4,对称轴x=-(a-2),对x-3,1,f(x)0恒成立,所以讨论对称轴与区间-3,1的位置关系得:a23,a21,3a21,f30,f 10,0,或或解得a或1a4或 a1,所以a的取值范围为 答案:1(,4).2121(,4)2
