1、11.3 几何概型最新考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义 1几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_(或)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为 长度面积体积几何概型2几何概型中，事件A的概率的计算公式 P(A)_ 3要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有；(2)等可能性：每个结果的发生具有 无限多个等可能性4随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗
2、方法这个方法的基本步骤是用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计代表某意义的随机数的个数 M 和总的随机数个数 N；计算频率 fn(A)MN作为所求概率的近似值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形
3、的形状有关()(6)从区间1，10内任取一个数，取到 1 的概率是 P19.()1(教材自编)在线段0，3上任投一点，则此点坐标小于 1的概率为()A.12 B.13C.14D1【解析】坐标小于 1 的区间为0，1，长度为 1，0，3区间长度为 3，故所求概率为13.【答案】B2(2014辽宁)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中 AB2，BC1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是()A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A，则 P(A)阴影面积长方形面积121212 4.3(2014福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒
4、1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_【答案】0.18【解析】由题意知，这是个几何概型问题，S阴S正 1801 0000.18，S 正1，S 阴0.18.4(2015重庆)在区间0，5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_【解析】先根据方程有两个负根求得p的取值范围，然后利用几何概型求概率 方程x22px3p20有两个负根，4p24（3p2）0，x1x22p0，x1x23p20，解得23p1 或 p2.故所求概率 P123（52）523.【答案】23题型一 与长度、角度有关的几何概型【例 1】(1)在区间1，1上随机取一个数 x，求 c
5、os 2 x的值介于 0 到12之间的概率(2)如图所示，在ABC 中，B60，C45，高 AD 3，在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，求 BM1 的概率【解析】(1)如图，由函数 ycos 2 x 的图象知，当1x23或23x1 时，0cos 2 x12.由概率的几何概型知：cos 2 x 的值介于 0 到12之间的概率为23213.(2)因为B60，C45，所以BAC75，在 RtABD 中，AD 3，B60，所以 BDADtan 601，BAD30.记事件 N 为“在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使BM1”，则可得BAMBAD 时事件 N 发生 由几何概型的概率
6、公式，得 P(N)307525.【思维升华】几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率 跟踪训练 1(1)(2014湖南)在区间2，3上随机选取一个数 X，则 X1 的概率为()A.45 B.35C.25D.15(2)在半径为 1 的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是_【解析】(1)在区间2，3上随机选取一个数 X，则 X1，即2X1 的概率为 P35.(2)记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三
7、角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦为 CD 时，就是等边三角形的边长(此时 F 为OE中点)，弦长大于 CD的充要条件是圆心 O到弦的距离小于 OF，由几何概型公式得：P(A)1222 12.【答案】(1)B(2)12题型二 与面积、体积有关的几何概型【例 2】(1)设不等式组0 x2，0y2表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是()A.4B.22C.6D.44(2)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于
8、 1 的概率为_【思维点拨】求随机点所在区域与所有区域的面积或体积比【解析】(1)如图所示，正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D，且区域 D 的面积为 4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于 2 的区域易知该阴影部分的面积为4.因此满足条件的概率是44，所以选 D.(2)先求点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率，圆柱的体积 V 圆柱1222，以 O 为球心，1 为半径且在圆柱内部的半球的体积 V 半球12431323.则点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率为23213，故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 11323.【答案】(1)D(2
9、)23【思维升华】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的方法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图形中画出事件 A 发生的区域，通用公式：P(A)构成事件A的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.跟踪训练 2(1)(2015陕西)设复数 z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则 yx 的概率为()A.34 12B.12 1C.12 1D.14 12(2)(2016长沙模拟)在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点
10、 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为_【解析】(1)根据复数的模构造出基本事件空间和随机事件对应的几何图形，转化为面积的比值|z|（x1）2y21，即(x1)2y21，表示的是圆及其内部，如图所示 当|z|1 时，yx 表示的是图中阴影部分，其面积为 S1412121124.又圆的面积为，根据几何概型公式得概率 P24 14 12.(2)V 正238，V 半球12431323，V半球V正 28312，故点 P 到 O 的距离大于 1 的概率为 112.【答案】(1)D(2)112题型三 生活中的几何概型问题【例3】(2016西安模拟)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它
11、们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率【思维点拨】当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决【解析】这是一个几何概型问题设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，则0 x24，0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件构成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0，24，y0，24 A为图中阴影
12、部分，全部结果构成集合为边长是24的正方形及其内部 所求概率为 P(A)A的面积的面积（241）212（242）212242 506.5576 1 0131 152.【思维升华】生活中的几何概型度量区域的构造方法：(1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息(2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型(3)解模：求解建立的数学模型(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论 跟踪训练3(2014重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：307：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_(用数字作答)【解析】在平面直角坐
13、标系中画出由小王(x)和小张(y)到校的时间对应的点(x，y)所构成的平面区域，再画出小张比小王至少早到5分钟对应的点(x，y)所构成的平面区域，计算出两区域的面积，利用几何概型的概率公式计算即可 设小王到校时间为 x，小张到校时间为 y，则小张比小王至少早到 5 分钟时满足 xy5.如图，原点 O 表示 7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为 400，小张比小王至少早到 5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为1215152252，故所求概率 P2252400 932.【答案】932易错警示系列14 混淆长度型与面积型几何概
14、型致误【典例】(12分)在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率【易错分析】不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率【规范解答】设x、y表示三段长度中的任意两个 因为是长度，所以应有0 x1，0y1，0 xy1，即(x，y)对应着坐标系中以(0，1)、(1，0)和(0，0)为顶点的三角形内的点，如图所示(4分)要形成三角形，由构成三角形的条件知xy1xy，1xyxy，1xyyx，所以 x12，y12，且 xy12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件(8 分)因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14.(12
15、 分)【温馨提醒】解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误 方法与技巧 1区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个 2转化思想的应用 对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型 失误与防范 1准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果